Kaavat geometristen muotojen pinta-alojen ja tilavuuksien laskemiseen

Kaavat pallon pinta-alan ja tilavuuden laskemiseksi ovat

• Pinta = 4πr ²
• Tilavuus = (4/3)πr ³

2. Kartion pinta-alan ja tilavuuden laskeminen

Kartio on pyramidi, jossa on pyöreä pohja ja jonka vinot sivut kohtaavat kartion akselin keskipisteessä, linjassa, joka on kohtisuorassa pohjan tasoon nähden, joka kulkee kartion pohjan muodostavan kehän keskipisteen kautta, kuten näkyy Näet yllä olevasta kuvasta. Sen pinta-alan tai tilavuuden laskemiseksi on tunnettava kannan r säde ja sivun pituus s . Jos sivun pituuden s arvoa ei tunneta , se voidaan laskea tietämällä kartion h korkeus (ks. kuva yllä).

s = √ (r ² + h ² )

Kartion kokonaispinta-ala voidaan laskea pohjan pinta-alan ja sivupinnan pinta-alan summana.

• Peruspinta-ala: πr ²
• Sivualue: πrs
• Kokonaispinta-ala = πr ²   + πrs

Kartion tilavuuden laskemiseen tarvitset vain pohjan säteen ja korkeuden.

• Tilavuus = 1/3 πr ² h

3. Sylinterin pinta-alan ja tilavuuden laskeminen

Pinta- ja tilavuuslaskelmat ovat helpompia sylinterille kuin kartiolle. Sylinterin pohja on pyöreä ja linjat, jotka pyöritettäessä muodostavat sivupinnan, ovat yhdensuuntaisia ​​ja kohtisuorassa pohjaan nähden. Sen pinta-alan tai tilavuuden laskemiseen tarvitaan vain säde r  ja korkeus h .

Kuten kartion tapauksessa, pinta-ala on pintojen summa, jotka muodostavat sen; ylemmän pohjan ja alemman pohjan (jotka ovat yhtä suuret) ja sivupinnan pinta-alan summa.

• Pinta = 2πr ²  + 2πrh
• Tilavuus = πr ^2h

4. Suorakaiteen muotoisen prisman pinnan ja tilavuuden laskeminen

Kolmiulotteisesta suorakulmiosta tulee suorakaiteen muotoinen prisma; Tai vain laatikko. Kun suorakaiteen muotoisen prisman kaikki sivut ovat yhtä suuret, prismasta tulee kuutio. Siksi sekä pinta-ala että tilavuus lasketaan samoilla kaavoilla. Tätä varten on tarpeen tietää prisman kolmen sivun suuruus; a, b ja c, ylemmässä kuvassa.

• Pinta-ala = 2(ab) + 2(bc) + 2(ac)
• tilavuus = abc

Jos meillä on kuutio, jonka sivu on a , aiemmista kaavoista tulee

• Kuution pinta-ala = 6a ²
• Kuution tilavuus ⁼ 3

5. Neliöpohjaisen pyramidin pinta-alan ja tilavuuden laskeminen

Tässä tapauksessa näemme kaavat, joilla lasketaan pinta-ala ja tilavuus pyramidille, jossa on neliökanta ja tasasivuiset kolmiot sen pinnoilla. Laskelmia varten on tiedettävä kannan b neliön sivu ja korkeus h , tämä on etäisyys kannan neliön keskipisteestä kärkeen, kuten yllä olevassa kuvassa näkyy. Ja s on jokaisen tasasivuisen kolmion, joka muodostaa pyramidin pinnat, korkeus, joka voidaan laskea seuraavalla kaavalla.

s = √ ((b/2) ² + h ² )

Kuten edellisissä tapauksissa, pinnan pinta-ala on pohjan pinta-alan summa plus kasvojen neljän tasasivuisen kolmion pinta-ala.

• Pinta = 2bs + b ²
• Tilavuus = (1/3) b ^2h

6. Tasakylkisen kolmioprisman pinta-alan ja tilavuuden laskeminen

Kaavojen soveltamiseksi tasakylkisen kolmioprisman pinta-alan ja tilavuuden laskemiseen tarvitaan kolme parametria yllä olevan kuvan mukaisesti; tasakylkisen kolmion b kanta, kolmion h korkeus ja prisman pituus l . Määritelmät täydennetään tasakylkisen kolmion sivuilla s . Kolmion sivut s voidaan laskea kolmion muista tiedoista seuraavalla kaavalla.

s = √ ((b/2) ² + h ² )

Kaavat pinta-alan ja tilavuuden laskemiseksi ovat seuraavat.

• Pinta-ala = bh + 2 l s + l b
• Tilavuus = (1/2)bh l

Jos haluat laskea sellaisen prisman pinta-alan ja tilavuuden, joka ei ole tasakylkinen kolmio, voit käyttää seuraavaa menettelyä. Voit määrittää pohjan alueen A ja kehä P ja käyttää seuraavia kaavoja.

• Pinta = 2A + P l
• Tilavuus = A l

7. Ympyränmuotoisen sektorin pinta-alan ja pituuden laskeminen

Ylempi kuva esittää ympyrän sektoria, jonka säde on r , jonka määrittelee kulma θ , joka voidaan ilmaista asteina tai radiaaneina. Pyöreän sektorin alueen ja kaaren pituuden laskemiseksi on välttämätöntä, että kulma θ ilmaistaan ​​radiaaneina, joten jos se ilmaistaan ​​asteina, muunnos on suoritettava seuraavalla kaavalla.

kulma θ radiaaneina = (kulma θ asteina) π /180

Pyöreän sektorin pinta-ala ja kaaren pituus lasketaan seuraavilla kaavoilla.

• Pinta-ala = (θ/2) r ²  θ radiaaneina
• Kaari L = θr   θ radiaaneina

Ympyrän pinta-ala ja ympärysmitta ovat sektorin erityistapaus, joka tapahtuu, kun kulma θ on yhtä suuri kuin 2 π . Joten ympyrän pinta-ala ja ympärysmitta lasketaan seuraavasti.

• Ympyrän pinta-ala = π r ² 
• Ympärysmitta = 2 π r

8. Ellipsin pinta-alan laskeminen

Ellipsi, joka tunnetaan myös ovaalina ja joka voidaan tunnistaa pitkänomaiseksi ympyräksi, on joukko pisteitä, joiden etäisyyksien summa kahteen kiinteään pisteeseen, jota kutsutaan polttopisteiksi, on vakio. Yllä olevassa kuvassa polttopisteitä edustaa kaksi pistettä. Ellipsi voidaan määritellä sen kahdella puoliakselilla, kuten kuvassa näkyy; puolisuurakseli a ja puolisuuri akseli b . Ellipsin pinta-ala lasketaan seuraavalla kaavalla.

• Pinta-ala = πab

9. Kolmion pinta-alan ja kehän laskeminen

Kolmio on yksi yksinkertaisimmista geometrisista muodoista ja kehän laskeminen on helppoa, kun tietää sen kunkin sivun a, b ja c pituus . 

• ympärysmitta = a + b + c

Kolmion pinta-alan laskemiseen tarvitaan sen yhden sivun pituus b  esim. yllä olevassa kuvassa ja sitä sivua vastaava korkeus h  , joka määritetään vastakkaisesta kärjestä kohtisuoraan vedetyn janan pituudeksi. sivulle b . Kolmion pinta-ala lasketaan seuraavasti

• Pinta-ala = (1/2)bh

10. Suunnikkaan pinta-alan ja kehän laskeminen

Suuntaviiva on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset, kuten yllä olevassa kuvassa näkyy. Koska vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaisia, vastakkaisten sivujen pituus on yhtä suuri. Kuvion tapauksessa ne ovat pituuden a ja b sivut . Suunnikkaan ympärysmitta on sen sivujen summa.

• Suunnikkaan ympärysmitta = 2a + 2b

Suunnikkaan pinta-alan laskemiseksi tarvitaan korkeus h ; kahden yhdensuuntaisen sivun välinen etäisyys. Pinta-ala voidaan laskea korkeudella ja sitä vastaavalla sivulla,  kuvan tapauksessa b .

• Suunnikkaan pinta-ala = bh

Suorakulmio on suuntaviivan erityinen tapaus; kun korkeus h on yhtä suuri kuin sivu a tai, joka on sama, kun viereiset sivut ovat kohtisuorassa, suunnikas on suorakulmio ja kehä- ja pintakaavat ovat seuraavat.

• Suorakulmion ympärysmitta = 2a + 2b 
• Suorakulmion pinta-ala = ab

Neliö puolestaan ​​on suuntaviivan ja suorakulmion erityinen tapaus; kun sivut a ja b ovat yhtä suuret ja vierekkäiset sivut ovat kohtisuorassa. Kaavat neliön, jonka sivu on a, kehä ja pinta-ala ovat seuraavat.

• neliön ympärysmitta = 4a 
• Suorakulmion pinta-ala = a ²

11. Puolisuunnikkaan pinta-alan ja kehän laskeminen

Puolisuunnikas on nelikulmio, jossa on kaksi vastakkaista sivua, jotka ovat yhdensuuntaisia. Siksi sen neljän sivun pituus on erilainen, ylemmässä kuvassa b , B , c ja d , ja sen kehän laskemiseksi on tarpeen tietää neljä arvoa. Puolisuunnikkaan ympärysmitta lasketaan lisäämällä neljä arvoa.

• Kehä = b + B + c + d

Puolisuunnikkaan pinta-alan laskemiseksi on tiedettävä korkeus h  , joka voidaan havaita ylemmästä kuvasta, ja se on kahden yhdensuuntaisen sivun välinen etäisyys.

• Pinta-ala = (1/2) (b + B)h

12. Säännöllisen kuusikulmion pinta-alan ja kehän laskeminen

Monikulmio, jossa on kuusi yhtä suurta sivua, on säännöllinen kuusikulmio. Kunkin sivun pituus r on yhtä suuri kuin kunkin kärjen etäisyys kuusikulmion keskustasta. Apoteemi ( a ylemmässä kuvassa) on pienin etäisyys kuusikulmion keskipisteestä toiseen sivuista; on kunkin kuusikulmion muodostavan tasasivuisen kolmion korkeus. Säännöllisen kuusikulmion ympärysmitta lasketaan seuraavasti

• ympärysmitta = 6r

Kun lasketaan säännöllisen kuusikulmion pinta-ala, käytetään seuraavaa kaavaa

• Pinta-ala = (3√3/2)r ²

13. Säännöllisen kahdeksankulmion pinta-alan ja kehän laskeminen

Säännöllinen kahdeksankulmio on monikulmio, jolla on kahdeksan yhtä suurta sivua. Jos kahdeksankulmion kummankin sivun pituus on r, säännöllisen kahdeksankulmion ympärysmitta lasketaan seuraavasti

• ympärysmitta = 8r

Kun lasketaan säännöllisen kahdeksankulmion pinta-ala, käytetään seuraavaa kaavaa

• Pinta-ala = 2(1+√2)r ²

Suihkulähde

Wenninger, Magnus J. Polyhedra Cambridge University Pressin mallit, 1974.