Tabla de Contenidos
”Maksimi” ja ”minimi” voidaan käyttää joko laskettaessa tietojoukon aluetta kuvaavassa tilastossa tai laskemaan funktion ääriarvot differentiaalilaskennassa. Täällä puhutaan molemmista käyttötavoista.
Maksimi ja minimi tilastoissa
Tilastoissa otoksen maksimi ja minimi, joita kutsutaan myös suurimmaksi ja pienimmäksi havainnot, ovat tietojoukon (eli otoksen) suurimman ja pienimmän elementin arvoja.
Jos otoksessa on poikkeamia, ne sisältävät välttämättä otoksen maksimi- tai minimiarvon tai molemmat sen mukaan, ovatko ne erittäin korkeat vai alhaiset. Jos ne eivät kuitenkaan ole epätavallisen kaukana muista havainnoista, otoksen maksimi ja minimi eivät välttämättä ole poikkeavia.
Siten minimi- ja maksimiarvot ovat hyödyllisiä myös tietyn tietojoukon ymmärtämiseen. Otetaan tämä esimerkki 12 lapsen painosta.
38 50 13 110 26 42 81 22 36 49 77 98
Yllä olevasta tietojoukosta lasten painot saadaan selville minimi- ja maksimiarvo. Minimi on yksinkertaisesti pienin havainto, kun taas maksimi on korkein havainto. Helpoin tapa tietää, mikä on tietojoukon vähimmäis- ja enimmäismäärä, on järjestää ne pienimmästä suurimpaan:
13 22 26 36 38 42 49 50 77 81 98 110
Tietojemme vähimmäisarvo on siis 13 ja maksimi 110.
Maksimi ja minimi laskennassa
Laskennassa termit maksimi ja minimi viittaavat funktion ääriarvoihin eli suuriin ja pienimpiin arvoihin, jotka funktio saavuttaa.
Maksimi tarkoittaa ylärajaa tai suurinta mahdollista määrää. Funktion absoluuttinen maksimi on suurin luku, joka sisältyy funktion väliin. Toisin sanoen, jos f(a) on suurempi tai yhtä suuri kuin f(x) , kaikille x: ille funktion alueella, niin f(a) on absoluuttinen maksimi.
Esimerkiksi funktion f(x) = -16×2 + 32x + 6 maksimiarvo on 22 , kun x = 1 . Jokainen x:n arvo tuottaa funktiolle arvon, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin 22, joten 22 on absoluuttinen maksimi. Graafisesti funktion absoluuttinen maksimi on funktion arvo, joka vastaa kaavion korkeinta pistettä.
Päinvastoin, minimi tarkoittaa alarajaa tai pienintä mahdollista määrää. Funktion absoluuttinen minimi on alueensa pienin luku ja se vastaa funktion arvoa sen kaavion alimmassa pisteessä.
Teoria funktion maksimi- ja minimiarvojen löytämiseksi perustuu siihen, että funktion derivaatta on yhtä suuri kuin tangentin kaltevuus. Kun funktion arvot kasvavat riippumattoman muuttujan arvon kasvaessa, funktion kaavion tangenttiviivojen kulmakerroin on positiivinen ja funktion sanotaan kasvavan.
Päinvastoin, kun funktion arvot pienenevät riippumattoman muuttujan arvon kasvaessa, tangenttiviivojen kulmakerroin on negatiivinen ja funktion sanotaan pienenevän. Tarkkaan kohdassa, jossa funktio siirtyy kasvavasta laskevaan tai pienenemisestä kasvavaan, tangenttiviiva on vaakasuora (kaltevuus 0) ja derivaatta on nolla.
Lähteet
- Becerril, E. (sf). Lisäävät ja vähentävät toimintoja .
- Franco, A. (2016). Tilastot: maksimi- ja minimiarvot.
- Requena, B. (2014). Funktion maksimi ja minimi .
- Santiago , R., Gomez, J. & Parra, B. (2003). Maksimien ja minimien teoria .
