Erot ekstrapoloinnin ja interpoloinnin välillä

Erityyppisiä laskelmia suoritettaessa, olipa kyse tieteestä tai tekniikasta, on hyvin yleistä turvautua kokeellisiin tietoihin, jotka on järjestetty eri taulukoihin. Nämä tiedot liittyvät yleensä kahteen muuttujaan, joiden tiedämme riippuvan toisistaan, mutta joiden matemaattista riippuvuutta emme tiedä. Tämä ei olisi ongelma, jos kaikki tarvitsemamme tiedot olisivat taulukossa, mutta näin tapahtuu harvoin. On yleisempää, että tarvitsemme yhden muuttujan arvon toisen muuttujan arvoon, jota ei löydy taulukosta.

Kun näin tapahtuu, voimme sovittaa kokeelliset tai taulukoidut tiedot polynomiseen matemaattiseen funktioon, jonka avulla voimme sitten arvioida kiinnostavan muuttujan tuntemattoman arvon. Tämä prosessi voi sisältää interpoloinnin tai ekstrapoloinnin.

Nämä kaksi prosessia liittyvät läheisesti toisiinsa ja perustuvat samaan perussäätömenettelyyn, mutta ne eivät ole samoja. Seuraavaksi keskustelemme tärkeimmistä eroista näiden kahden riippuvan muuttujan arvon estimointimenetelmän välillä riippumattoman muuttujan tietylle arvolle.

interpoloinnin määritelmä

Interpolointi on prosessi, jossa arvioidaan riippumattoman muuttujan arvo riippumattoman muuttujan tietylle arvolle tietojoukosta tai erillisistä pisteistä sen pisteen ylä- ja alapuolella, jonka haluamme estimoida. Toisin sanoen se on prosessi, jossa arvioidaan kahden tunnetun pisteen välissä sijaitseva piste. _{Seuraavassa kaaviossa näkyy joukko tietoja, joita edustavat siniset pisteet, ja punainen piste edustaa X 1:n} ja X _2:n pisteiden välistä interpolaatiota .

Sana interpolointi tulee kahden latinan sanan liitosta, jotka ovat etuliite inter-, joka tarkoittaa välissä tai välissä, ja -polire , joka tarkoittaa työntämistä tai työntämistä, mikä viittaa siihen tosiasiaan, että interpolointi liittyy kahden työntämiseen tai siirtämiseen. tiedot pisteeseen, joka on niiden välissä.

Ekstrapoloinnin määritelmä

Ekstrapolointi voidaan ymmärtää prosessina, jossa estimoitiin riippumattoman muuttujan arvo riippumattoman muuttujan arvolle joukosta pisteitä tai tietoja, jotka ovat joko kaikki suurempia tai kaikki pienempiä kuin arvioitava piste.

Toisin sanoen, se on prosessi, jossa arvioidaan pisteen arvo, joka on kaikkien tunnettujen pisteiden tai tietojen ylä- tai alapuolella. Seuraavassa kuvassa on esimerkki tietojen ekstrapoloinnista pisteeseen, joka on kaikkien tunnettujen tietojen yläpuolella.

Etymologisesta näkökulmasta katsottuna ekstrapolaatilla on sama latinalainen juuri –polire , mutta tällä kertaa sitä edeltää latinalainen etuliite extra- , joka tarkoittaa ulos. Siten termi viittaa niiden pisteiden estimaattiin, jotka ovat alkuperäisen tietojoukon alueen ulkopuolella, joko siksi, että se on suurempi tai pienempi kuin kaikki tunnetut tiedot.

Erot interpoloinnin ja ekstrapoloinnin epävarmuudessa

Verrattaessa interpolointia ekstrapolointiin voidaan havaita, että on olemassa tärkeä ero siinä riskissä, että saadaan tuloksia, jotka poikkeavat huomattavasti etsimämme datan todellisesta arvosta. Interpoloinnin tapauksessa, koska se suoritetaan kahden peräkkäisen pisteen välillä, voimme olla tietyssä määrin varmoja siitä, että interpoloima arvo on jossain näiden kahden pisteen välissä. Toisin sanoen meillä on jonkin verran varmuutta siitä, että tuntemattoman funktion arvo ei nouse tai laske ennen seuraavan pisteen saavuttamista, koska tiedämme missä se seuraava piste on.

Sen sijaan, kun teemme ekstrapoloinnin, projisoimme datan käyttäytymistä eteenpäin tai taaksepäin, ja koska edessä (tai kauempana, jos näin on) ei ole viitepisteitä, emme voi tietää miten se käyttäytyy. . todella muuttuja. Se voi jatkaa samalla tavalla kuin ennen, kuten se voi äkillisesti laukaista kumpaan tahansa suuntaan. Tästä syystä ekstrapolointi sisältää enemmän epävarmuutta kuin interpolointi.

Ne sovitetaan yleensä erilaisiin polynomifunktioihin

Ekstrapolointi- ja interpolointiprosessit perustuvat kahden tai useamman tunnetun pisteen sovittamiseen matemaattiseen funktioon, jonka avulla voimme ennustaa funktion arvon muissa tuntemattomissa pisteissä. Sekä interpoloinnissa että ekstrapoloinnissa yleisimmin käytetty estimointifunktio on lineaarinen funktio (y = mx +b). Vaikka tämä funktio sopii sekä interpolointiin että ekstrapolointiin, kun tuntematon arvo, jonka haluamme estimoida, on kohtuullisen lähellä tunnettuja pisteitä, näin ei enää ole, kun ekstrapoloidaan pois ääriarvoista.

Itse asiassa, jos data kokonaisuutena ei ole huomattavan lineaarinen käyttäytymisellään, ekstrapolaatiot voivat hyvin nopeasti ajautua pois todellisesta arvosta, kun siirrymme pois jommastakummasta äärimmäisestä. Tästä syystä ekstrapolointi vaatii yleensä enemmän huolellisuutta ja ekstrapolointifunktioiden käyttöä, jotka ovat monimutkaisempia tai korkeammat kuin interpoloinnissa käytetyt.

Jälkimmäisessä tapauksessa lineaarinen interpolointi on lähes aina riittävä olettaen, että tunnetut tiedot tai pisteet eivät ole liian kaukana toisistaan.

Ne voivat poiketa arvioon tarvittavien tietokohteiden lukumäärästä

Toinen tärkeä ero interpolaation ja ekstrapoloinnin välillä on arvioinnin suorittamiseen tarvittavien tietokohteiden määrä. Interpoloinnissa oletetaan lähes aina, että etsityn pisteen arvo on suoralla, joka yhdistää kaksi lähintä pistettä. Tässä tapauksessa näiden kahden pisteen tunteminen riittää interpoloinnin suorittamiseen. Toisin sanoen kaltevuusestimaatin virheen vaikutus interpolaatioon on harvoin vakava, koska arvioitu piste on lähes aina kahden tunnetun pisteen välissä.

Toisaalta ekstrapoloinnin tapauksessa, koska siirryttäessä kauemmas korkeimmasta (tai alimmasta) pisteestä, suoran kaltevuuden eroilla on kasvava vaikutus y:n arvoon, on erittäin riskialtista ottaa vain kaksi pisteitä kaltevuuden laskemiseksi. Näissä tapauksissa yleensä tehdään useiden pisteiden sovittaminen parhaaseen suoraan tai toiseen korkeamman asteen polynomifunktioon pienimmän neliösumman prosessin avulla, jolloin varmistetaan, että eteenpäin (tai taaksepäin) ekstrapoloima viiva heijastaa sen yleistä käyttäytymistä. tiedot kokonaisuudessaan, ei vain muutama niistä.

Lineaarisesti interpoloitu ja ekstrapoloitu

Lineaarisen interpoloinnin ja lineaarisen ekstrapoloinnin tapauksessa käytetään olennaisesti samoja matemaattisia yhtälöitä. Molemmissa tapauksissa interpolointifunktio on muotoa y = mx + b, missä y on arvo, jota etsimme tietylle x:n arvolle, m on sen suoran kaltevuus, johon sovitamme tiedot, ja b on leikkaus interpolointifunktion y-akselilla.

Lineaarifunktion kaltevuus voidaan laskea mistä tahansa kahdesta pisteestä kaavalla:

Voimme soveltaa tätä kaavaa kahdesti, kerran tunnetun datasarjan minkä tahansa kahden pisteen välillä ja toisen tunnetun pisteen ja sen pisteen välillä, jonka haluamme löytää. Koska molemmissa tapauksissa kulmakerroin on sama, voimme sovittaa molemmat lausekkeet ja saada siten kaavan, joka yhdistää etsimämme y:n arvon tiettyyn x:n arvoon, joka meillä on.

Esimerkki

Oletetaan, että haluamme käyttää kahta peräkkäistä pistettä p _k-1 =(x _k-1 ; y _k-1 ) ja p _k =(x _k ; y _k ) minkä tahansa pisteen (x ; y) interpoloimiseksi tai ekstrapoloimiseksi. Voimme sitten kirjoittaa kulmakertoimen kahdesti ja saada yhtälön:

Järjestämällä tämä yhtälö uudelleen, saamme:

Huomaa, että tässä tapauksessa pisteen (x ; y) sijainnista ei oleteta mitään suhteessa kahteen estimointiin käytettävään dataan, joten samaa yhtälöä käytetään sekä interpoloinnissa että ekstrapoloinnissa.

Jos varmistetaan, että x _k-1 < x < x _k , tai toisin sanoen, että x on x _k-1: n ja x _k:n välillä , niin kyseessä on interpolaatio. Toisaalta, jos x>x _max tai x<x _min , eli jos x on suurempi kuin datasarjan maksimiarvo tai pienempi kuin datasarjan minimiarvo, se on ekstrapolaatio.

esimerkki interpolaatiosta

Oletetaan, että tiedämme, että pizzan kysyntä Venezuelan Méridan kaupungissa on 500 000 yksikköä vuodessa, kun keskimääräinen yksikköhinta on 20 dollaria, kun taas 15 dollarin keskihinnalla kysyntä kasvaa 750 000 yksikköön. Olemme kiinnostuneita arvioimaan, mikä olisi kysyntä, jos asettaisimme hinnaksi 16,5 dollaria.

Ratkaisu

Huomaa, että tämä on esimerkki interpoloinnista, koska piste, jonka haluamme arvioida ja joka vastaa hintaa 16,5 dollaria, sijaitsee kahden tunnetun pisteen välissä (eli se on 15 ja 20 dollarin välillä). Tässä esimerkissä meillä on:

Nyt käyttämällä lineaarista interpolaatiokaavaa:

 Jos pizzan keskihinnaksi asetetaan 16,5 dollaria yksikköä kohden, vuotuinen kysyntä on 675 000 pizzaa vuodessa.

Esimerkkejä ekstrapoloinnista

Oletetaan, että samassa yllä olevassa esimerkissä haluamme määrittää, mikä olisi kysyntä, jos hinta nousisi 25 dollariin per yksikkö. Koska tässä tapauksessa varmistetaan, että x = $25 > $20, niin se on ekstrapolaatio. Jälleen tiedot ovat:

Korvaaminen:

Siksi ekstrapolaatio ennustaa, että jos hinta nousee 25 dollariin, kysyntä vähenee puoleen siitä, mikä se oli 20 dollarissa.

Viitteet

Alonso. (2006, 13. helmikuuta). 3 Pisteiden interpolointimenetelmät . Madridin yliopisto. https://www.um.es/geograf/sigmur/temariohtml/node43_mn.html

Gonza, D. (2016, syyskuu). Yksikkö: tietojen interpolointi ja ekstrapolointi . doloresgonza.files. https://doloresgonza.files.wordpress.com/2016/09/interpolacion-1.pdf

LesKanaris. (nd). Ero ekstrapoloinnin ja interpoloinnin välillä – Mielenkiintoista – 2022 . https://us.leskanaris.com/3668-the-difference-between-extrapolation-and-interpolation.html

Pinzón, J. (2013, 9. lokakuuta). Interpolointi ja ekstrapolointi . julianapinzon. https://julianapinzon.wordpress.com/interpolacion-y-extrapolacion/

UNIGAL. (2021, 14. syyskuuta). Lineaarinen interpolaatiokaava, määritelmä, esimerkit ja paljon muuta . https://unigal.mx/formula-de-interpolacion-lineal-definicion-ejemplos-y-mas/