Mikä on todennäköisyys valita satunnaisesti alkuluku?

Matematiikassa alkuluvut ovat yksi yleisimmistä aiheista kokonaislukuja tutkittaessa. Koska alkuluvut ovat äärettömiä, mielenkiintoinen harjoitus niiden kanssa on selvittää, mikä on todennäköisyys, että satunnaisesti valittu luku 1:stä X:ään on alkuluku.

Mitä ovat alkuluvut

Alkuluvut ovat niitä, jotka ovat jaollisia vain 1:llä ja itsellään, eli kyseessä olevalla luvulla. Tämä tarkoittaa, että jaettuna millä tahansa muulla luvulla tulos ei anna kokonaislukua. Lisäksi katsotaan, että alkulukuja on ääretön määrä.

Toisin kuin alkuluvut, yhdistelmäluvut ovat niitä, jotka voidaan jakaa yhdellä, itsellään ja muilla luvuilla.

Lukua 1 ei pidetä alkulukuna, eikä se ole yhdistelmäluku.

Alkuluvut ja Eratosthenes-seula

Löytääkseen nopeasti kaikki alkuluvut kreikkalainen matemaatikko Eratosthenes (3. vuosisadalla eKr.) loi nopean tavan saada kaikki alkuluvut tiettyyn lukuun. Tämä menetelmä tunnetaan nimellä ”Eratosthenes-seula”.

Eratosthenes Sieve on algoritmi, jonka avulla tiedetään kaikki tiettyä luonnollista lukua pienemmät alkuluvut. Tätä varten luodaan taulukko, jossa on kaikki luonnolliset luvut välillä 2 ja valittu luku (n). Tässä esimerkissä n on 100.

Sitten luvut, jotka eivät ole alkulukuja, yliviivataan. Aloita ensin numerolla 2 ja ylitä kaikki sen kerrannaiset. Kun yliviivaamaton luku löytyy, kaikki sen kerrannaiset yliviivataan ja niin edelleen. Tämä menettely päättyy, kun seuraavan alkuluvuksi vahvistetun luvun neliö on suurempi kuin ”n”.

Eratosthenes-seulaa käyttämällä saamme 25 alkulukua väliltä 0 ja 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 , 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Muita esimerkkejä alkuluvuista

Muita esimerkkejä alkuluvuista 100 ja 1000 välillä ovat: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173,9,17,17,9,1,1 , 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 3,3,3,1 349 , 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 7,4,4,7 499 , 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 607, 613, 617, 319, 6, 3, 46 659 , 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 773, 787, 797, 8,8,1 829 , 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971,9,8

alkulukujen ongelma

Kuten lähes aina matematiikassa, paras tapa ymmärtää alkulukujen laskeminen on ratkaista tehtäviä. Katsotaan nyt yksinkertainen tehtävä tietää, millä todennäköisyydellä voimme valita alkuluvun.

Ensin valitaan positiivinen kokonaisluku, joka voi olla 1, 2, 3 jne. tiettyyn numeroon X asti. Sitten meidän on valittava satunnaisesti yksi näistä luvuista. Tämä tarkoittaa, että kaikilla X-luvuilla on todennäköisyys tulla valituksi.

Ratkaisu tähän ongelmaan on yksinkertainen pienille luvuille X. Ongelma ratkaistaan ​​seuraavilla vaiheilla:

• Ensimmäinen askel:
  • Laske niiden alkulukujen määrä, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin X.
• Toinen vaihe:
  • Jaa X:tä pienempien tai yhtä suurien alkulukujen määrä itse luvulla X. Eli jos haluamme tietää todennäköisyyden valita tietty alkuluku 1:stä 10:een, meidän on jaettava alkulukujen määrä 10:llä.

Esimerkiksi, jotta voimme löytää todennäköisyyden, että alkuluku 1 – 10 valitaan, meidän on jaettava alkulukujen määrä 10:llä. Koska alkulukuja välillä 1 – 10 on 4: 2, 3, 5, 7, on todennäköisyys valita alkuluku. luvun alkuluku on: 4/10 = 0,4, eli 40 %.

Samalla tavalla, jos haluamme tietää, millä todennäköisyyksillä valitaan alkuluku 1 – 50, voidaan suorittaa edelliset vaiheet. Laskemme alkuluvut alle 50, jotka ovat 15: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 ja 47. Ja jaamme tämän määrän 50: 15/50 = 0,3, eli 30 %. Siksi on 30% mahdollisuus valita alkuluku väliltä 1-50.

Mikä on alkulukulause

Toinen tapa tietää alkuluvut tiettyyn lukuun asti ja laskea todennäköisyys valita jokin niistä on käyttää alkulukulausetta . Tämän lauseen esitti saksalainen matemaatikko Gauss 1700-luvulla, ja lähes vuosisataa myöhemmin muut matemaatikot, kuten ranskalainen Jacques Hadamard ja belgialainen Charles-Jean de la Vallée Poussin, osoittivat sen.

Alkulukulauseessa sanotaan, että on noin X / ln(X) alkulukuja, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin X. Tässä lauseessa:

• ln(X): on X:n luonnollinen logaritmi.
• X: on luku, johon asti haluamme tietää alkuluvut.

Kun X:n arvo kasvaa, suhteellinen virhe X:tä pienempien alkulukujen lukumäärän ja lauseen X / In(X) välillä pienenee.

Kuinka soveltaa alkulukulausetta

Alkulukulauseen avulla voimme ratkaista edellisen kaltaisia ​​tehtäviä, varsinkin jos haluamme tietää alkuluvut suurempien lukumäärien joukossa.

Alkulukulauseen perusteella tiedämme, että on noin X/ln(X) alkulukuja, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin X. Lisäksi on yhteensä X positiivista kokonaislukua, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin X. Siksi todennäköisyys että satunnaisesti valittu luku tällä alueella on alkuluku on: ( X / ln(X) ) / X = X / ( ln(X) . X ) = 1 / ln(X).

Voimme esimerkiksi käyttää tätä tulosta laskeaksemme likimääräisesti todennäköisyyden valita satunnaisesti alkuluku ensimmäisen miljoonan kokonaisluvun joukosta.

Tätä varten meidän on laskettava miljoonan luonnollinen logaritmi. Siksi meillä on:

P(1 000 000) = (X/ln(X) / X = 1 / ln(X)

P(1 000 000) = 1 / ln(1 000 000)

Joten saamme ln(1 000 000) = 13,8155 ja 1 / ln(1 000 000) on noin 0,07238. Siksi meillä on noin 7,238 % mahdollisuus valita satunnaisesti alkuluku ensimmäisestä miljoonasta kokonaisluvusta.

Bibliografia

• López Mateos, M. Perusmatematiikka. (2017). Espanja. Luo tilaa.
• dk. Matematiikan kirja. (2020). Espanja. dk.
• Gracian, E. Alkuluvut: pitkä matka äärettömyyteen. (2010). Espanja. RBA kirjat.