Tabla de Contenidos
Satunnaismuuttujan varianssi on mitta sen leviämisestä keskiarvon ympärille . Tämä tarkoittaa, että se on suure, joka ilmaisee mainitun muuttujan arvojen keskimääräistä hajoamista keskiarvon molemmille puolille tai sen todennäköisyysjakauman amplitudia. Tämä parametri on tärkeä suure kaikille satunnaismuuttujille sen todennäköisyysjakaumasta riippumatta.
Toisaalta Poisson -jakauma on diskreetti todennäköisyysjakauma, joka mallintaa diskreettien tapahtumien esiintymistiheyttä aikavälillä , vaikka siihen voidaan viitata myös suhteessa muihin jatkuviin muuttujiin, kuten johdon pituuteen. , pinta jne.
Poisson-jakaumalla on suuri merkitys, sillä se mahdollistaa prosessien mallintamisen niin päivittäin kuin pankkiautomaatin lipunmyyntijonoon saapuvien ihmisten lukumäärä, sekä niinkin monimutkaisia prosesseja kuin radioaktiivisten hajoamisten määrä tietyllä aikavälillä. ydinjätenäytteestä.
Poisson-jakauman matemaattinen määritelmä
Satunnaismuuttuja X seuraa Poisson-jakaumaa, jos sen todennäköisyysmassafunktio tai PMF on seuraavanlainen:
Kaavassa λ on aina positiivinen jakauman parametri ja x edustaa eri arvoja, jotka satunnaismuuttuja voi saada. Poisson-prosesseissa parametri λ edustaa yleensä nopeutta tai taajuutta aikayksikköä, pinta-alayksikköä kohti ja niin edelleen.
Kuten myöhemmin näytämme, λ on puolestaan Poisson-jakauman keskiarvo sekä sen varianssi.
Nyt kun tiedämme, mikä tämä jakaumafunktio on ja mihin se on tarkoitettu, katsotaanpa muodollisempaa varianssin määritelmää, yleistä tapaa laskea se ja lopuksi kuinka varianssi lasketaan Poisson-jakauman tietyssä tapauksessa.
Mikä on varianssi?
Matemaattisesti satunnaismuuttujan X varianssi, jota tilastoissa merkitään Var(X) : lla, vastaa mainitun muuttujan keskiarvosta poikkeaman neliön odotusarvoa, joka ilmaistaan seuraavalla kaavalla:
Vaikka edellistä määritelmää voidaan käyttää minkä tahansa satunnaismuuttujan varianssin laskemiseen, se voidaan laskea myös helpommin käyttämällä ensimmäistä ja toista tavallista momenttia tai origon ympärillä olevia momentteja (m 1 , m 2 ) seuraavasti :
Tämä varianssin laskentatapa on kätevämpi kuin ensimmäinen, joten käytämme sitä tässä artikkelissa Poisson-jakauman varianssin laskemiseen.
Poisson-jakauman varianssin laskenta
Keskimääräisen tai ensimmäisen tavallisen hetken laskeminen
Muistakaamme, että minkä tahansa diskreetin jakauman tapauksessa X:n keskiarvo tai odotus voidaan määrittää seuraavan lausekkeen avulla, joka määrittelee ensimmäisen hetken:
Voimme ottaa tämän summan arvosta x=1 eteenpäin, koska ensimmäinen termi on nolla. Myös, jos nyt kerromme ja jaamme kaikki λ: lla ja myös korvaamme x!/x :llä (x-1)! , saamme:
Tätä lauseketta voidaan yksinkertaistaa muuttamalla muuttujaa y = x – 1 , jolloin jää:
Summauksen sisällä oleva funktio on jälleen Poissonin todennäköisyysfunktio, joka määritelmän mukaan on minkä tahansa todennäköisyysfunktion kaikkien todennäköisyyksien summa nollasta äärettömyyteen, jonka tulee olla 1.
Meillä on jo Poisson-funktion ensimmäinen momentti eli keskiarvo. Käytämme nyt tätä tulosta ja X :n neliön odotusta varianssin löytämiseen.
Toisen tavallisen hetken laskenta
Toisen hetken antaa:
Voimme käyttää pientä temppua tämän summan ratkaisemiseen, joka koostuu x 2: n korvaamisesta x(x-1)+x:llä:
Kun käytämme edellistä tulosta summauksen toisessa termissä, kerromme ja jaamme λ 2: lla saadaksemme eksponentin λ x-2 ja otamme käyttöön muuttujan y = x – 2 muutosta .
Nyt on vain korvattava nämä kaksi momenttia varianssin kaavassa, ja meillä on odotettu tulos:
Viitteet
Devore, J. (2021). Todennäköisyys ja tilastot tekniikalle ja tieteelle . CENGAGE-OPPIMINEN.
Rodó, P. (2020, 4. marraskuuta). Poisson-jakauma . Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/distribucion-de-poisson.html
UNAM [Luis Rincon]. (2013, 16. joulukuuta). 0625 Poisson Distribution [Video]. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=y_dOx8FhHpQ
