Κανόνας πολλαπλασιασμού για ανεξάρτητα γεγονότα

Υπάρχουν πολλές καταστάσεις στις οποίες μας ενδιαφέρει να βρούμε την πιθανότητα δύο γεγονότων να συμβαίνουν ταυτόχρονα. Κάποιοι από αυτούς είναι:

• Βρείτε την πιθανότητα να ρίξετε ένα διπλό εξάρι όταν ρίχνετε δύο ζάρια ταυτόχρονα ή το ένα μετά το άλλο.
• Βρείτε την πιθανότητα ότι ένα άτομο που επιλέγεται τυχαία από μια ομάδα είναι και θηλυκό και μελαχρινό.
• Η πιθανότητα επιλογής ζευγαριού μαθητών αντίθετου φύλου από τμήμα του σχολείου.
• Η πιθανότητα δύο πλεονάζοντα συστήματα ελέγχου να αποτύχουν ταυτόχρονα σε μια εκτόξευση διαστημικού πυραύλου.

Αυτή η κατηγορία προβλημάτων μπορεί να λυθεί μέσω του γενικού κανόνα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων. Αυτός ο κανόνας ορίζει ότι, για δύο γεγονότα Α και Β, η πιθανότητα να συμβούν ταυτόχρονα, δηλαδή η πιθανότητα τομής, δίνεται από:

Σε αυτήν την εξίσωση, P(A|B) είναι η υπό όρους πιθανότητα να συμβεί το γεγονός Α δεδομένου του B. Το παραπάνω είναι ο γενικός κανόνας πολλαπλασιασμού και ισχύει για οποιοδήποτε ζεύγος γεγονότων. Σε ορισμένες περιπτώσεις, η υπό όρους πιθανότητα είναι άγνωστη ή δύσκολο να προσδιοριστεί. Ωστόσο, στην περίπτωση ανεξάρτητων γεγονότων, αυτή η πιθανότητα απλοποιείται για να δημιουργήσει τον κανόνα πολλαπλασιασμού για ανεξάρτητα γεγονότα.

Κανόνας πολλαπλασιασμού για ανεξάρτητα γεγονότα

Τι είναι οι ανεξάρτητες εκδηλώσεις;

Δύο γεγονότα Α και Β είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους εάν η εμφάνιση ενός από αυτά δεν επηρεάζει την πιθανότητα να συμβεί το άλλο. Με μαθηματικούς όρους, αυτό σημαίνει ότι η υπό όρους πιθανότητα να συμβεί ένα από τα δύο γεγονότα, δεδομένου ότι γνωρίζουμε ότι έχει συμβεί το άλλο, είναι ίση με την απλή πιθανότητα να συμβεί το πρώτο. Με άλλα λόγια, δύο γεγονότα θα είναι ανεξάρτητα μόνο εάν:

Η ερμηνεία των παραπάνω είναι ότι η πιθανότητα να συμβεί το Α δεδομένου ότι έχει συμβεί το Β είναι ίση με την πιθανότητα να συμβεί το Α. Αυτό σημαίνει ότι η εμφάνιση του Β δεν επηρέασε την πιθανότητα να συμβεί το Α, επομένως και τα δύο συμβάντα συμβαίνουν σε ανεξάρτητο τρόπος.

Οποιοδήποτε ζεύγος συμβάντων δεν ικανοποιεί την παραπάνω συνθήκη θα είναι εξαρτώμενα γεγονότα.

Πώς επηρεάζεται ο κανόνας του πολλαπλασιασμού σε αυτή την περίπτωση;

Όπως μπορούμε να δούμε, η πρώτη έκφραση της συνθήκης ανεξαρτησίας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να απλοποιήσει τον γενικό κανόνα πολλαπλασιασμού, αφού ο πρώτος παράγοντας μπορεί να αντικατασταθεί από την απλή πιθανότητα του Α, λαμβάνοντας έτσι την ακόλουθη έκφραση:

Η παραπάνω έκφραση είναι γνωστή ως ο κανόνας του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων για ανεξάρτητα γεγονότα . Υπονοεί ότι αν γνωρίζουμε ότι δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο και γνωρίζουμε τις πιθανότητες εμφάνισής τους, τότε μπορούμε να βρούμε την πιθανότητα να συμβούν και τα δύο ταυτόχρονα πολλαπλασιάζοντας απλώς αυτές τις πιθανότητες.

Παραδείγματα Ανεξάρτητων Γεγονότων

Η έλλειψη πληροφοριών μπορεί να δυσκολέψει τον προσδιορισμό του αν δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα. Για παράδειγμα, μπορεί να πιστεύουμε ότι τα καστανά μαλλιά δεν έχουν καμία σχέση με την εμφάνιση καρκίνου του μαστού, αλλά η φυσιολογία του ανθρώπινου σώματος είναι τόσο περίπλοκη που κανένας γιατρός δεν θα τολμούσε να κάνει αυτή τη δήλωση.

Ωστόσο, υπάρχουν πολλά απλά πειράματα στα οποία μπορούμε εύκολα να αναγνωρίσουμε εάν δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα ή όχι.

• Ρίξτε δύο ζάρια ταυτόχρονα. Κατά τη ρίψη δύο ζαριών, το αποτέλεσμα του ενός δεν επηρεάζει με κανέναν τρόπο το αποτέλεσμα που μπορεί να εμφανιστεί στο άλλο, επομένως το γεγονός που ο ένας πεθαίνει προσγειώνεται σε έναν δεδομένο αριθμό είναι ανεξάρτητο από το γεγονός που ο άλλος πεθαίνει προσγειώνεται σε έναν άλλο αριθμό. ή το ίδιο, ακόμη.
• Τα αποτελέσματα της κύλισης της ίδιας μήτρας δύο φορές στη σειρά είναι επίσης ανεξάρτητα μεταξύ τους για τους ίδιους λόγους.
• Γυρίστε ένα νόμισμα δύο φορές. Το γεγονός ότι προσγειώνεται με τα κεφάλια ή τις ουρές την πρώτη φορά δεν θα επηρεάσει το αποτέλεσμα της επόμενης ρίψης.
• Σε ένα εργοστάσιο ψυγείων που διαθέτει δύο ανεξάρτητες γραμμές παραγωγής εξαρτημάτων που χρησιμοποιούν ξεχωριστές πρώτες ύλες και εργασία, είναι αποδεκτό να υποθέσουμε ότι η πιθανότητα να αποτύχει ένα από τα δύο εξαρτήματα είναι ανεξάρτητη από την πιθανότητα να αποτύχει το άλλο.
• Το να τραβήξετε τυχαία ένα φύλλο ή μια τράπουλα από μια τράπουλα, να το αντικαταστήσετε και στη συνέχεια να τραβήξετε τυχαία ένα άλλο φύλλο από την τράπουλα είναι ξεχωριστά γεγονότα, καθώς η αντικατάσταση του αρχικού φύλλου στην τράπουλα επαναφέρει τις πιθανότητες να τραβήξετε οποιοδήποτε από τα αρχικά φύλλα.

Παραδείγματα γεγονότων που δεν είναι ανεξάρτητα

• Το να τραβήξετε τυχαία ένα φύλλο ή μια τράπουλα από μια τράπουλα και στη συνέχεια να τραβήξετε ένα άλλο φύλλο από την ίδια τράπουλα χωρίς να αντικαταστήσετε το πρώτο δεν είναι ανεξάρτητα γεγονότα, καθώς το τράβηγμα του πρώτου μειώνει τον συνολικό αριθμό των φύλλων που υπάρχουν στην τράπουλα, γεγονός που επηρεάζει την πιθανότητα οποιουδήποτε βγαίνει άλλη κάρτα. Επίσης, αν δεν αντικαταστήσουμε το πρώτο φύλλο, η πιθανότητα να βγει το φύλλο τη δεύτερη φορά μηδενίζεται.
• Σε ένα αυτοκίνητο που βρίσκεται σε λειτουργία, η πιθανότητα να υπερθερμανθεί ο κινητήρας του αυτοκινήτου και η πιθανότητα να χαλάσει η αντλία νερού που ψύχει τον κινητήρα δεν είναι ανεξάρτητα γεγονότα, αφού εάν η αντλία νερού αστοχήσει, είναι πολύ πιο πιθανό να υπερθερμανθεί ο κινητήρας.
• Ένα ακόμη πιο κατανοητό παράδειγμα είναι ότι η λήψη καλών βαθμών στα στατιστικά δεν είναι ανεξάρτητη από τη μελέτη , αφού αν μελετήσουμε, είναι πιο πιθανό να πάρουμε καλούς βαθμούς.

Παραδείγματα υπολογισμών πιθανοτήτων χρησιμοποιώντας τον κανόνα πολλαπλασιασμού για ανεξάρτητα συμβάντα

Παράδειγμα 1: Πέταγμα ενός νομίσματος δύο φορές

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα ότι όταν πετάμε ένα νόμισμα δύο φορές, το αποτέλεσμα είναι κεφαλές και στις δύο ρίψεις.

Αν ονομάσουμε Α το γεγονός στο οποίο η πρώτη ρίψη προσγειώνεται κεφαλές και Β το γεγονός στο οποίο η δεύτερη εκτίναξη προσγειώνεται, τότε η πιθανότητα που μας ζητείται να υπολογίσουμε είναι η πιθανότητα τομής του Α με το Β, αφού θέλουμε να συμβούν και τα δύο γεγονότα. . Δηλαδή ο άγνωστος είναι P(A∩B).

Δεδομένου ότι υπάρχουν μόνο δύο πιθανά αποτελέσματα για κάθε εκτίναξη, η πιθανότητα να συμβεί οποιοδήποτε γεγονός είναι η ίδια:

Τώρα, αφού γνωρίζουμε ότι τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του πολλαπλασιασμού για να προσδιορίσουμε την πιθανότητα τομής:

Παράδειγμα 2: Ρίχνοντας δύο ζάρια

Ας υπολογίσουμε την πιθανότητα, όταν ρίχνουμε δύο κοινά ζάρια έξι όψεων, το ένα να προσγειώνεται στο ένα και το δεύτερο σε ζυγό αριθμό.

Ας ονομάσουμε τα ακόλουθα γεγονότα Α και Β:

       A = ένα από τα ζάρια προσγειώνεται στο 1.

       B = ένα από τα ζάρια προσγειώνεται σε ζυγό αριθμό.

Αυτό που θέλουμε να υπολογίσουμε είναι, πάλι, P(A∩B).

Δεδομένου ότι το αποτέλεσμα κάθε μήτρας είναι ανεξάρτητο από τον αριθμό που προκύπτει στον άλλο, μπορούμε να υπολογίσουμε το P(A∩B) χρησιμοποιώντας τον κανόνα πολλαπλασιασμού για ανεξάρτητα συμβάντα. Αλλά πρώτα, χρειαζόμαστε τις πιθανότητες του Α και του Β.

Το ζάρι έχει 6 όψεις με τους αριθμούς από το 1 έως το 6, που δεν επαναλαμβάνονται. Επομένως, υπάρχει μόνο ένα 1, και υπάρχουν τρεις ζυγοί αριθμοί, δηλαδή 2, 4 και 6. Επομένως, οι πιθανότητες να συμβούν ξεχωριστά γεγονότα είναι:

Χρησιμοποιώντας αυτές τις πιθανότητες και τον κανόνα πολλαπλασιασμού, λαμβάνουμε την επιθυμητή πιθανότητα:

Παράδειγμα 3: Εξαρτήματα που αστοχούν

Ένα εργοστάσιο που κατασκευάζει εξοπλισμό υπολογιστών χρησιμοποιεί, μεταξύ άλλων εξαρτημάτων, δύο διαφορετικά τσιπ ή ολοκληρωμένα κυκλώματα από δύο διαφορετικούς κατασκευαστές. Σύμφωνα με τον κατασκευαστή του πρώτου τσιπ, η πιθανότητα να αποτύχει υπό κανονικές συνθήκες λειτουργίας είναι 0,00133. Από την πλευρά του, ο δεύτερος κατασκευαστής υπερηφανεύεται ότι μόνο δύο από τα τσιπ του αποτυγχάνουν για κάθε 5.000 εγκατεστημένες μονάδες. Ο ιδιοκτήτης του εργοστασίου θέλει να βρει την πιθανότητα να αποτύχουν και τα δύο εξαρτήματα ταυτόχρονα. Η αποτυχία κάθε μάρκας τσιπ μπορεί να θεωρηθεί ανεξάρτητη από την άλλη.

Σε αυτήν την περίπτωση, η ίδια η δήλωση προσδιορίζει ότι τα δύο συμβάντα είναι ανεξάρτητα, επομένως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον παραπάνω κανόνα πολλαπλασιασμού. Επιπλέον, παρέχεται επίσης η πιθανότητα αποτυχίας του πρώτου τσιπ, το οποίο θα ονομάσουμε συμβάν Α. Η πιθανότητα αποτυχίας του δεύτερου τσιπ (γεγονός Β) μπορεί να υπολογιστεί από τις πληροφορίες που παρέχονται από τον κατασκευαστή:

Άρα η πιθανότητα να αποτύχουν και τα δύο στοιχεία ταυτόχρονα είναι:

βιβλιογραφικές αναφορές

Υπό όρους Πιθανότητα και Ανεξαρτησία . (ν). University of Florida Health. https://bolt.mph.ufl.edu/6050-6052/unit-3/module-7/

Devore, JL (1998). ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ . International Thomson Publishers, SA

Frost, J. (2021, 10 Μαΐου). Κανόνας πολλαπλασιασμού για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων . Στατιστικά του Jim. https://statisticsbyjim.com/probability/multiplication-rule-calculating-probabilities/

Κανόνας πολλαπλασιασμού, λυμένες ασκήσεις . (2021, 1 Ιανουαρίου). MateMobile. https://matemovil.com/regla-de-la-multiplicacion-o-producto-de-probabilidades/

Κανόνας πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων . (ν). Καθηγητές Πανεπιστημίου. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/multiplication-rule-of-probability

Κανόνας πολλαπλασιασμού (Πιθανότητα) [Παραδείγματα] . (ν). Fhybea. https://www.fhybea.com/multiplication-rule.html

Ο γενικός κανόνας πολλαπλασιασμού . (ν). Ακαδημία Khan. https://www.khanacademy.org/math/ap-statistics/probability-ap/probability-multiplication-rule/a/general-multiplication-rule