Tabla de Contenidos
Το παραγοντικό ενός θετικού ακέραιου είναι το γινόμενο όλων των ακεραίων μικρότερων ή ίσων με αυτόν και συμβολίζεται με το σύμβολο !. Για παράδειγμα, το παραγοντικό του αριθμού 4 εκφράζεται ως 4! και ισούται με 24:
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
Συγκεκριμένα, το παραγοντικό του αριθμού 0, (δηλαδή 0!), ορίζεται ίσο με 1, αν και αυτή η τιμή δεν προκύπτει από τον ορισμό του παραγοντικού, ο οποίος ισχύει μόνο για κάθε ακέραιο αριθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 1. Γιατί γιατί το παραγοντικό του αριθμού 0 ορίζεται ως 1 αν υπάρχει ένας μαθηματικός κανόνας που λέει ότι οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιαζόμενος με το μηδέν είναι ίσος με μηδέν;
Πέρα από τη σύγχυση που μπορεί να προκαλέσει αυτή η κατάσταση, πρέπει να σημειωθεί ότι η τιμή του παραγοντικού του αριθμού 0 είναι ένας ορισμός . δηλαδή μαθηματικά ορίζεται ότι 0! = 1. Ας δούμε παρακάτω τα θεμέλια αυτού του ορισμού.
Ο ορισμός του παραγοντικού του αριθμού 0
Όπως αναφέραμε ήδη, το πρώτο πράγμα που πρέπει να σημειωθεί είναι ότι η αντιστοίχιση της τιμής 1 στο παραγοντικό του αριθμού 0 (0! = 1) είναι ένας ορισμός, αν και κατ’ αρχήν αυτό δεν οδηγεί σε μια ικανοποιητική εξήγηση αν κοιτάξουμε μόνο στον ορισμό του παραγοντικού.
Θυμηθείτε ότι ο ορισμός ενός παραγοντικού ενός θετικού ακέραιου είναι το γινόμενο όλων των ακεραίων αριθμών ίσων ή μικρότερων από αυτόν. Σημειώστε ότι αυτός ο ορισμός υπονοεί επίσης ότι το παραγοντικό συσχετίζεται με όλους τους πιθανούς συνδυασμούς αριθμών μικρότερους ή ίσους με τον αριθμό που εξετάζουμε.
Ο αριθμός 0 δεν έχει θετικούς ακέραιους μικρότερους από αυτόν, αλλά εξακολουθεί να είναι ένας αριθμός και υπάρχει μόνο ένας πιθανός συνδυασμός αυτού του συγκεκριμένου συνόλου αριθμών που αποτελείται μόνο από τον αριθμό 0. Αυτός ο συνδυασμός είναι ένας, όπως και στην περίπτωση του αριθμού 1.
Για να κατανοήσουμε καλύτερα τη μαθηματική έννοια αυτού του ορισμού, πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η παραγοντική έννοια περιλαμβάνει επίσης άλλες πληροφορίες που περιέχονται σε έναν αριθμό, συγκεκριμένα τις πιθανές μεταθέσεις των παραγόντων του. Ακόμη και στο κενό σύνολο που αντιπροσωπεύεται από τον αριθμό 0 μπορεί να θεωρηθεί ότι υπάρχει τρόπος να παραγγείλετε αυτό το σύνολο.
Μεταθέσεις και παραγοντικά
Η έννοια του παραγοντικού χρησιμοποιείται στον κλάδο των μαθηματικών που ονομάζεται συνδυαστική, ένας κλάδος στον οποίο ορίζεται η έννοια της μετάθεσης στοιχείων. Μια μετάθεση είναι μια συγκεκριμένη και μοναδική σειρά των στοιχείων που συνθέτουν ένα συγκεκριμένο σύνολο. Για παράδειγμα, υπάρχουν έξι πιθανές μεταθέσεις του συνόλου {1, 2, 3}, που περιέχουν τρία στοιχεία, αφού μπορούμε να γράψουμε αυτά τα στοιχεία με τους εξής έξι τρόπους:
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
Θα μπορούσαμε επίσης να εκφράσουμε αυτή την έννοια μέσω της παραγοντικής έκφρασης των τριών, 3! = 6, που μας επιτρέπει να υπολογίσουμε το πλήρες σύνολο των μεταθέσεων μιας ομάδας 3 στοιχείων. Ομοίως, υπάρχουν 24 μεταθέσεις (4!=24) ενός συνόλου με τέσσερα στοιχεία και 120 πιθανές μεταθέσεις (5!=120) ενός συνόλου με πέντε στοιχεία. Έτσι, ένας εναλλακτικός τρόπος σκέψης για την έννοια του παραγοντικού είναι να αφήσουμε στην άκρη την ιδέα ότι σχετίζεται με έναν φυσικό αριθμό n και να σκεφτούμε ότι n ! είναι ο αριθμός των μεταθέσεων ενός συνόλου που αποτελείται από n στοιχεία.
Ας δούμε μερικά παραδείγματα εξετάζοντας τώρα αυτή τη νέα αντίληψη του παραγοντικού ενός αριθμού. Ένα σύνολο που αποτελείται από δύο στοιχεία έχει δύο πιθανές μεταθέσεις: το {a, b} μπορεί να ταξινομηθεί ως (a, b) ή ως (b, a). Αυτό σχετίζεται με τον ορισμό του παραγοντικού του αριθμού 2. 2! = 2. Ένα σύνολο που αποτελείται από ένα μόνο στοιχείο, {a}, έχει μόνο μία πιθανή μετάθεση και σχετίζεται με τον ορισμό του παραγοντικού του αριθμού 1. 1! = 1.
Ας επιστρέψουμε τώρα στην περίπτωση του παραγοντικού του 0. Το σύνολο που ενσωματώνεται με μηδενικά στοιχεία ονομάζεται κενό σύνολο. Για να βρούμε την τιμή του παραγοντικού του 0 μπορούμε να αναρωτηθούμε, με πόσους τρόπους μπορούμε να παραγγείλουμε ένα σύνολο χωρίς στοιχεία; Και ενώ μια απάντηση μπορεί να είναι ότι δεν υπάρχει τίποτα να παραγγείλετε σε ένα κενό σύνολο, έχουμε επίσης την εναλλακτική λύση ότι ακόμη και κενό είναι ένα σύνολο, οπότε η απάντηση θα μπορούσε να είναι 1, και άρα 0! = 1.
Άλλες εφαρμογές του παραγοντικού
Όπως είπαμε ήδη, η παραγοντική έννοια χρησιμοποιείται στη συνδυαστική και αυτό το μαθηματικό εργαλείο χρησιμοποιείται για την εκτέλεση υπολογισμών σε τύπους που εκφράζουν μεταθέσεις και συνδυασμούς ομάδων στοιχείων. Αν και αυτές οι εφαρμογές δεν παρέχουν μια άμεση αιτιολόγηση για την εκχώρηση του 1 στο παραγοντικό του αριθμού 0, μπορεί να γίνει κατανοητό γιατί ορίζεται με αυτόν τον τρόπο.
Η έννοια του συνδυασμού μιας ομάδας στοιχείων αναφέρεται στον αριθμό των υποομάδων που μπορούν να ληφθούν με αυτά, ανεξάρτητα από τη σειρά με την οποία εξετάζονται. Για παράδειγμα, το σύνολο {1, 2, 3} έχει μόνο μία ένωση εάν ληφθούν τρία στοιχεία, ανεξάρτητα από τη σειρά. Αλλά αν τα παίρναμε με δύο στοιχεία, θα είχαμε τρεις πιθανούς συνδυασμούς, {1, 3}, {2, 3} και {1, 2}, όπως και αν τους παίρναμε με ένα στοιχείο, {1}, {2} και {3}. Ο γενικός τύπος για τον υπολογισμό του αριθμού των συνδυασμών χωρίς επανάληψη ενός συγκεκριμένου συνόλου n στοιχείων που λαμβάνονται σε υποομάδες p στοιχείων είναι C ( n , p ) = n !/ p !( n–p ) !.
Εάν χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο για να προσδιορίσουμε τον αριθμό συνδυασμού των τριών στοιχείων που λαμβάνονται τρία, βλέπουμε ότι το αποτέλεσμα πρέπει να είναι 1, εκφρασμένο με C (3, 3) = 3! / 3! (3-3)! = 3! / 3! 0!, οπότε είναι απαραίτητο να ορίσουμε το 0! = 1 για να έχει νόημα η μαθηματική έκφραση.
Με τον ίδιο τρόπο, υπάρχουν και άλλες καταστάσεις που καθιστούν απαραίτητο να ορίσουμε το παραγοντικό του αριθμού 0 ως 1, 0! = 1, ως μέρος της γενικής αντίληψης για την ανάπτυξη των μαθηματικών που υποδεικνύει ότι όταν δημιουργούνται νέες ιδέες και ενσωματώνονται νέοι ορισμοί, πρέπει να υπάρχει συμβατότητα με προϋπάρχουσες δομές.
Βιβλιογραφία
Μηδενικό παραγοντικό ή 0!. Ακαδημία Khan .
Υπάρχει παραγοντικό 0; Κανάλι YouTube Drifting .
