Πώς υπολογίζεται η διακύμανση μιας κατανομής Poisson

Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ένα μέτρο της εξάπλωσής της γύρω από το μέσο όρο . Αυτό σημαίνει ότι είναι μια ποσότητα που υποδεικνύει τη μέση διασπορά των τιμών της εν λόγω μεταβλητής και στις δύο πλευρές του μέσου όρου ή το πλάτος της κατανομής πιθανοτήτων της. Αυτή η παράμετρος είναι μια σημαντική ποσότητα για οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή, ανεξάρτητα από την κατανομή πιθανοτήτων.

Από την άλλη πλευρά, η κατανομή Poisson είναι μια διακριτή κατανομή πιθανοτήτων που χρησιμεύει για τη μοντελοποίηση της συχνότητας με την οποία συμβαίνουν διακριτά συμβάντα μέσα σε ένα χρονικό διάστημα , αν και μπορεί επίσης να αναφέρεται σε σχέση με άλλες συνεχείς μεταβλητές, όπως το μήκος ενός σύρματος , μια επιφάνεια κ.λπ.

Η διανομή Poisson έχει μεγάλη σημασία, καθώς επιτρέπει διαδικασίες μοντελοποίησης τόσο καθημερινά όσο και ο αριθμός των ατόμων που φτάνουν σε μια γραμμή στο εκδοτήριο εισιτηρίων ενός ΑΤΜ, καθώς και διαδικασίες τόσο περίπλοκες όσο ο αριθμός των ραδιενεργών διασπάσεων σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα. από δείγμα πυρηνικών αποβλήτων.

Μαθηματικός ορισμός της κατανομής Poisson

Μια τυχαία μεταβλητή X ακολουθεί μια κατανομή Poisson εάν η συνάρτηση μάζας πιθανότητας ή PMF έχει την ακόλουθη μορφή:

Στον τύπο, το λ είναι μια πάντα θετική παράμετρος της κατανομής και το x αντιπροσωπεύει τις διαφορετικές τιμές που μπορεί να πάρει η τυχαία μεταβλητή. Στις διαδικασίες Poisson, η παράμετρος λ αντιπροσωπεύει γενικά την ταχύτητα ή τη συχνότητα ανά μονάδα χρόνου, ανά μονάδα επιφάνειας κ.λπ.

Όπως θα δείξουμε αργότερα, το λ είναι, με τη σειρά του, ο μέσος όρος της κατανομής Poisson, καθώς και η διακύμανσή της.

Τώρα που γνωρίζουμε τι είναι αυτή η συνάρτηση κατανομής και σε τι χρησιμεύει, ας δούμε έναν πιο επίσημο ορισμό της διακύμανσης, τον γενικό τρόπο υπολογισμού της και, τέλος, πώς υπολογίζεται η διακύμανση για τη συγκεκριμένη περίπτωση της κατανομής Poisson.

Ποια είναι η διακύμανση;

Μαθηματικά, η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής X, που συμβολίζεται στη στατιστική με Var(X) , αντιστοιχεί στην αναμενόμενη τιμή του τετραγώνου της απόκλισης της εν λόγω μεταβλητής από τον μέσο όρο της, η οποία εκφράζεται με τον ακόλουθο τύπο:

Αν και ο προηγούμενος ορισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της διακύμανσης οποιασδήποτε τυχαίας μεταβλητής, μπορεί επίσης να υπολογιστεί πιο εύκολα χρησιμοποιώντας την πρώτη και τη δεύτερη συνηθισμένη ροπή ή τις ροπές γύρω από την αρχή (m 1 , m 2 ₎ ως _εξής :

Αυτός ο τρόπος υπολογισμού της διακύμανσης είναι πιο βολικός από τον πρώτο, επομένως θα είναι αυτός που θα χρησιμοποιήσουμε σε αυτό το άρθρο για να υπολογίσουμε τη διακύμανση της κατανομής Poisson.

Υπολογισμός της διακύμανσης της κατανομής Poisson

Υπολογισμός της μέσης ή της πρώτης συνηθισμένης στιγμής

Ας θυμηθούμε ότι, για οποιαδήποτε διακριτή κατανομή, ο μέσος όρος ή η προσδοκία του X μπορεί να προσδιοριστεί μέσω της ακόλουθης έκφρασης, η οποία ορίζει την πρώτη στιγμή:

Μπορούμε να πάρουμε αυτό το άθροισμα από το x=1 και μετά, αφού ο πρώτος όρος είναι μηδέν. Επίσης, αν τώρα πολλαπλασιάσουμε και διαιρέσουμε τα πάντα με λ και αντικαταστήσουμε επίσης το x!/x με το (x-1)! , εμεις αποκτουμε:

Αυτή η έκφραση μπορεί να απλοποιηθεί κάνοντας την αλλαγή της μεταβλητής y = x – 1 , αφήνοντας:

Η συνάρτηση μέσα στο άθροισμα είναι και πάλι η συνάρτηση πιθανότητας Poisson, η οποία, εξ ορισμού, είναι το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων από το μηδέν έως το άπειρο κάθε συνάρτησης πιθανότητας που πρέπει να ισούται με 1.

Έχουμε ήδη την πρώτη στιγμή ή το μέσο όρο της συνάρτησης Poisson. Τώρα θα χρησιμοποιήσουμε αυτό το αποτέλεσμα και την προσδοκία του τετραγώνου του X για να βρούμε τη διακύμανση.

Υπολογισμός της δεύτερης συνηθισμένης στιγμής

Η δεύτερη στιγμή δίνεται από:

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα μικρό κόλπο για να λύσουμε αυτό το άθροισμα που αποτελείται από την αντικατάσταση του x ² με το x(x-1)+x:

Όπου χρησιμοποιούμε το προηγούμενο αποτέλεσμα στον δεύτερο όρο της άθροισης, πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με το λ ² για να πάρουμε τον εκθέτη λ ^x-2 και εφαρμόζουμε την αλλαγή της μεταβλητής y = x – 2 .

Τώρα το μόνο που μένει είναι να αντικαταστήσουμε αυτές τις δύο στιγμές στον τύπο για τη διακύμανση και θα έχουμε το αναμενόμενο αποτέλεσμα:

βιβλιογραφικές αναφορές

Devore, J. (2021). Πιθανότητες και Στατιστική για τη Μηχανική και την Επιστήμη . CENGAGE LEARNING.

Rodó, P. (2020, 4 Νοεμβρίου). Κατανομή Poisson . Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/distribucion-de-poisson.html

UNAM [Luis Rincón]. (2013, 16 Δεκεμβρίου). 0625 Poisson Distribution [Βίντεο]. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=y_dOx8FhHpQ