Τύποι υπολογισμού εμβαδών και όγκων γεωμετρικών σχημάτων

Οι τύποι για τον υπολογισμό του εμβαδού και του όγκου μιας σφαίρας είναι

• Επιφάνεια = 4πr ²
• Όγκος = (4/3)πr ³

2. Υπολογισμός του εμβαδού και του όγκου ενός κώνου

Κώνος είναι μια πυραμίδα με κυκλική βάση, της οποίας οι κεκλιμένες πλευρές συναντώνται σε ένα κεντρικό σημείο του άξονα του κώνου, μια γραμμή κάθετη στο επίπεδο της βάσης που διέρχεται από το κέντρο της περιφέρειας που αποτελεί τη βάση του κώνου, όπως φαίνεται Μπορείτε να δείτε στο παραπάνω σχήμα. Για τον υπολογισμό του εμβαδού της επιφάνειάς του ή του όγκου του, πρέπει να είναι γνωστά η ακτίνα της βάσης r και το μήκος της πλευράς s . Εάν η τιμή του μήκους της πλευράς s δεν είναι γνωστή , μπορεί να υπολογιστεί γνωρίζοντας το ύψος του κώνου h (δείτε το παραπάνω σχήμα).

s = √ (r ² + h ² )

Η συνολική επιφάνεια του κώνου μπορεί να υπολογιστεί ως το άθροισμα του εμβαδού της βάσης και του εμβαδού της πλευρικής επιφάνειας.

• Περιοχή βάσης: πr ²
• Πλαϊνή περιοχή: πrs
• Συνολική έκταση = πr ²   + πrs

Για να υπολογίσετε τον όγκο ενός κώνου, χρειάζεστε μόνο την ακτίνα της βάσης και το ύψος.

• Όγκος = 1/3 πr ² h

3. Υπολογισμός της επιφάνειας και του όγκου ενός κυλίνδρου

Οι υπολογισμοί επιφάνειας και όγκου είναι ευκολότεροι για έναν κύλινδρο παρά για έναν κώνο. Ο κύλινδρος έχει κυκλική βάση και οι γραμμές που όταν περιστρέφονται δημιουργούν την πλευρική επιφάνεια είναι παράλληλες και κάθετες στη βάση. Για τον υπολογισμό της επιφάνειας ή του όγκου του, χρειάζονται μόνο η ακτίνα r  και το ύψος h .

Όπως και στην περίπτωση του κώνου, η επιφάνεια είναι το άθροισμα των επιφανειών που τον συνθέτουν. το άθροισμα του εμβαδού της άνω βάσης και της κάτω βάσης (που είναι ίσα) και του εμβαδού της πλευρικής επιφάνειας.

• Επιφάνεια = 2πr ²  + 2πrh
• Όγκος = πr ^2h

4. Υπολογισμός της επιφάνειας και του όγκου ενός ορθογώνιου πρίσματος

Ένα ορθογώνιο που ξεδιπλώνεται σε τρεις διαστάσεις γίνεται ορθογώνιο πρίσμα. Ή απλά ένα κουτί. Όταν όλες οι πλευρές ενός ορθογώνιου πρίσματος είναι ίσες, το πρίσμα γίνεται κύβος. Επομένως, τόσο η επιφάνεια όσο και ο όγκος υπολογίζονται με τους ίδιους τύπους. Για αυτό είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε το μέγεθος των τριών πλευρών του πρίσματος. α, β και γ, στο επάνω σχήμα.

• Περιοχή = 2(ab) + 2(bc) + 2(ac)
• τόμος = abc

Αν έχουμε κύβο με πλευρά a , γίνονται οι προηγούμενοι τύποι

• Εμβαδόν κύβου = 6a ²
• Όγκος ενός κύβου = a ³

5. Υπολογισμός του εμβαδού και του όγκου μιας πυραμίδας με τετράγωνη βάση

Σε αυτή την περίπτωση βλέπουμε τους τύπους που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της επιφάνειας και του όγκου μιας πυραμίδας με τετράγωνη βάση και ισόπλευρα τρίγωνα στις όψεις της. Για τους υπολογισμούς είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την πλευρά του τετραγώνου της βάσης b και το ύψος h , αυτή είναι η απόσταση από το κέντρο του τετραγώνου της βάσης μέχρι την κορυφή, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Και s θα είναι το ύψος κάθε ισόπλευρου τριγώνου που σχηματίζει τις όψεις της πυραμίδας, το οποίο μπορεί να υπολογιστεί με τον ακόλουθο τύπο.

s = √ ((b/2) ² + h ² )

Όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις, το εμβαδόν της επιφάνειας είναι το άθροισμα του εμβαδού της βάσης συν το εμβαδόν των τεσσάρων ισόπλευρων τριγώνων των όψεων.

• Επιφάνεια = 2bs + b ²
• Όγκος = (1/3) b ^2h

6. Υπολογισμός εμβαδού επιφάνειας και όγκου ισοσκελούς τριγωνικού πρίσματος

Για την εφαρμογή των τύπων για τον υπολογισμό του εμβαδού της επιφάνειας και του όγκου ενός ισοσκελούς τριγωνικού πρίσματος, χρειάζονται τρεις παράμετροι, σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα. τη βάση του ισοσκελούς τριγώνου b , το ύψος του τριγώνου h και το μήκος του πρίσματος l . Οι ορισμοί συμπληρώνονται με την πλευρά s του ισοσκελούς τριγώνου. Η πλευρά s του τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί από τα άλλα δεδομένα του τριγώνου με τον ακόλουθο τύπο.

s = √ ((b/2) ² + h ² )

Οι τύποι για τον υπολογισμό της επιφάνειας και του όγκου είναι οι εξής.

• Εμβαδόν = bh + 2 l s + l β
• Όγκος = (1/2)bh l

Εάν θέλετε να υπολογίσετε την επιφάνεια και τον όγκο ενός πρίσματος που δεν είναι ισοσκελές τριγωνικό, μπορείτε να εφαρμόσετε την παρακάτω διαδικασία. Μπορείτε να προσδιορίσετε το εμβαδόν Α και την περίμετρο Ρ της βάσης και να χρησιμοποιήσετε τους παρακάτω τύπους.

• Επιφάνεια = 2A + P l
• Τόμος = A l

7. Υπολογισμός εμβαδού και μήκους κυκλικού τομέα

Το επάνω σχήμα δείχνει τον τομέα ενός κύκλου ακτίνας r που ορίζεται από τη γωνία θ , η οποία μπορεί να εκφραστεί σε μοίρες ή ακτίνια. Για τον υπολογισμό του εμβαδού του κυκλικού τομέα και του μήκους του τόξου, είναι απαραίτητο η γωνία θ να εκφράζεται σε ακτίνια, οπότε εάν εκφράζεται σε μοίρες, η μετατροπή πρέπει να γίνει χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο.

γωνία θ σε ακτίνια = (γωνία θ σε μοίρες) π /180

Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα και το μήκος του τόξου υπολογίζονται με τους παρακάτω τύπους.

• Εμβαδόν = (θ/2) r ²  θ σε ακτίνια
• Arc L = θr   θ σε ακτίνια

Το εμβαδόν και η περιφέρεια ενός κύκλου είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση ενός τομέα, που εμφανίζεται όταν η γωνία θ είναι ίση με 2 π . Άρα, το εμβαδόν και η περιφέρεια ενός κύκλου υπολογίζονται ως εξής.

• Εμβαδόν κύκλου = π r ² 
• Περιφέρεια = 2 π r

8. Υπολογισμός του εμβαδού μιας έλλειψης

Μια έλλειψη, γνωστή και ως οβάλ και η οποία μπορεί να αναγνωριστεί ως επιμήκης κύκλος, είναι το σύνολο των σημείων των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία που ονομάζονται εστίες είναι σταθερό. Στο παραπάνω σχήμα, οι εστίες αντιπροσωπεύονται από δύο σημεία. Μια έλλειψη μπορεί να οριστεί από τους δύο ημιάξονες της, όπως φαίνεται στο σχήμα. ο ημικύριος άξονας α και ο ημικύριος άξονας β . Το εμβαδόν μιας έλλειψης υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο.

• Εμβαδόν = πab

9. Υπολογισμός εμβαδού και περιμέτρου τριγώνου

Το τρίγωνο είναι ένα από τα πιο απλά γεωμετρικά σχήματα και ο υπολογισμός της περιμέτρου είναι εύκολος, γνωρίζοντας το μήκος κάθε πλευράς του a, b και c . 

• περίμετρος = a + b + c

Για να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου, χρειάζεται το μήκος μιας από τις πλευρές του, b  για παράδειγμα στο παραπάνω σχήμα, και το ύψος h  που αντιστοιχεί σε αυτήν την πλευρά, που προσδιορίζεται ως το μήκος του τμήματος που τραβιέται από την απέναντι κορυφή κάθετη στο πλάι β . Το εμβαδόν του τριγώνου υπολογίζεται ως

• Εμβαδόν = (1/2)bh

10. Υπολογισμός εμβαδού και περιμέτρου παραλληλογράμμου

Παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Δεδομένου ότι οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες, το μήκος των απέναντι πλευρών θα είναι ίσο. Στην περίπτωση του σχήματος, είναι οι πλευρές μήκους a και b . Η περίμετρος ενός παραλληλογράμμου είναι το άθροισμα των πλευρών του.

• Περίμετρος παραλληλογράμμου = 2a + 2b

Για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός παραλληλογράμμου, απαιτείται το ύψος h . την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων πλευρών. Το εμβαδόν μπορεί να υπολογιστεί με το ύψος και την πλευρά που αντιστοιχεί σε αυτό το ύψος, b  στην περίπτωση του σχήματος.

• Εμβαδόν παραλληλογράμμου = bh

Ένα ορθογώνιο είναι μια συγκεκριμένη περίπτωση παραλληλογράμμου. όταν το ύψος h είναι ίσο με την πλευρά a ή, που είναι ίδια, όταν οι διπλανές πλευρές είναι κάθετες, το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο και οι τύποι για την περίμετρο και το εμβαδόν έχουν ως εξής.

• Περίμετρος παραλληλογράμμου = 2a + 2b 
• Εμβαδόν ορθογωνίου = αβ

Με τη σειρά του, ένα τετράγωνο είναι μια συγκεκριμένη περίπτωση παραλληλογράμμου και ορθογωνίου. όταν οι πλευρές α και β είναι ίσες και οι διπλανές είναι κάθετες. Οι τύποι για την περίμετρο και το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά α είναι οι εξής.

• περίμετρος τετραγώνου = 4α 
• Εμβαδόν ορθογωνίου = a ²

11. Υπολογισμός εμβαδού και περιμέτρου τραπεζοειδούς

Ένα τραπέζιο είναι ένα τετράπλευρο που έχει δύο αντίθετες πλευρές που είναι παράλληλες. Επομένως το μήκος των τεσσάρων πλευρών του είναι διαφορετικό, στο πάνω σχήμα b , B , c και d , και για να υπολογιστεί η περίμετρός του είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις τέσσερις τιμές. Η περίμετρος ενός τραπεζοειδούς υπολογίζεται προσθέτοντας τις τέσσερις τιμές.

• Περίμετρος = b + B + c + d

Για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τραπεζοειδούς είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε το ύψος h  που μπορεί να παρατηρηθεί στο επάνω σχήμα, και αυτό είναι η απόσταση μεταξύ των δύο παράλληλων πλευρών.

• Εμβαδόν = (1/2) (b + B)h

12. Υπολογισμός εμβαδού και περιμέτρου κανονικού εξαγώνου

Ένα πολύγωνο με έξι ίσες πλευρές είναι ένα κανονικό εξάγωνο. Το μήκος κάθε πλευράς r είναι ίσο με την απόσταση κάθε κορυφής από το κέντρο του εξαγώνου. Το απόθεμα ( a στο επάνω σχήμα) είναι η μικρότερη απόσταση από το κέντρο του εξαγώνου σε μία από τις πλευρές. είναι το ύψος κάθε ισόπλευρου τριγώνου που αποτελεί το εξάγωνο. Η περίμετρος ενός κανονικού εξαγώνου υπολογίζεται ως

• περίμετρος = 6r

Ενώ για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός κανονικού εξαγώνου χρησιμοποιείται ο παρακάτω τύπος

• Εμβαδόν = (3√3/2)r ²

13. Υπολογισμός εμβαδού και περιμέτρου κανονικού οκτάγωνου

Ένα κανονικό οκτάγωνο είναι ένα πολύγωνο με οκτώ ίσες πλευρές. Αν το μήκος κάθε πλευράς του οκτάγωνου είναι r, η περίμετρος ενός κανονικού οκτάγωνου υπολογίζεται ως

• περίμετρος = 8r

Ενώ για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός κανονικού οκτάγωνου χρησιμοποιείται ο παρακάτω τύπος

• Εμβαδόν = 2(1+√2)r ²

Κρήνη

Wenninger, Magnus J. Models of Polyhedra Cambridge University Press, 1974.