Ποια είναι η διαφορά μεταξύ διακύμανσης και τυπικής απόκλισης;

Η διακύμανση και η τυπική απόκλιση είναι δύο όροι μεγάλης σημασίας, τόσο στη στατιστική όσο και σε όλους τους κλάδους της επιστήμης και της μηχανικής. Και τα δύο είναι μέτρα διασποράς σε σχέση με μια κεντρική τιμή, αλλά ανάλογα με το πλαίσιο στο οποίο χρησιμοποιούνται, μπορούν να οριστούν με διαφορετικούς τρόπους.

Στα πεδία της στατιστικής και της πιθανότητας, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση μετρούν πόσο διαφέρουν οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής (σχεδόν πάντα που αντιπροσωπεύεται από το γράμμα X) από τη μέση τιμή τους.

Ωστόσο, όταν αυτοί οι όροι χρησιμοποιούνται στην επιστήμη ή τη μηχανική, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση αναφέρονται στη διασπορά μιας σειράς δεδομένων, είτε ενός ολόκληρου πληθυσμού είτε ενός δείγματος, γύρω από τον πληθυσμό ή τη μέση τιμή του δείγματος. Η τυπική απόκλιση μιας σειράς επαναλαμβανόμενων μετρήσεων που χρησιμοποιούν το ίδιο όργανο μέτρησης χρησιμοποιείται επίσης συχνά για να δώσει μια ιδέα για το επίπεδο ακρίβειας του εν λόγω οργάνου.

Στην πρώτη περίπτωση, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση μετρούν τη μεταβλητότητα μιας τυχαίας μεταβλητής, ενώ στη δεύτερη τη διασπορά των πειραματικών δεδομένων. Σε κάθε περίπτωση, μια διακύμανση ή τυπική απόκλιση μηδέν υποδηλώνει καμία μεταβολή (η τυχαία μεταβλητή είναι στην πραγματικότητα σταθερή ή τα δεδομένα είναι όλα ακριβώς τα ίδια), ενώ μια υψηλή τιμή υποδηλώνει το αντίθετο.

Αυτοί οι δύο όροι συνδέονται στενά και μερικές φορές μπορεί να συγχέονται μεταξύ τους, ωστόσο υπάρχουν βασικές διαφορές μεταξύ των δύο στις οποίες θα φτάσουμε αμέσως.

Διαφορές μεταξύ διακύμανσης και τυπικής απόκλισης

1. Έχουν διαφορετικούς ορισμούς

Η πρώτη διαφορά μεταξύ αυτών των δύο στατιστικών όρων είναι ο ορισμός τους:

Ορισμός διακύμανσης

Στα στατιστικά, η διακύμανση ορίζεται ως η αναμενόμενη τιμή του τετραγώνου της διαφοράς μεταξύ της τιμής μιας τυχαίας μεταβλητής και της μέσης τιμής της.

Μαθηματικά, αυτό γράφεται ως:

Με ελαφρώς λιγότερο επίσημο τρόπο, μπορεί επίσης να οριστεί ως ο μέσος όρος των τετραγώνων των διαφορών μεταξύ των μεμονωμένων δεδομένων μιας σειράς δεδομένων (πληθυσμός ή δείγμα) και η μέση τιμή της.

Ορισμός Τυπικής Απόκλισης

Ανεξάρτητα από το πλαίσιο στο οποίο χρησιμοποιείται, η τυπική απόκλιση, γνωστή και ως τυπική απόκλιση, ορίζεται ως η θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.

Μαθηματικά, αυτό γράφεται ως:

2. Αντιπροσωπεύονται με διαφορετικά σύμβολα

Η διακύμανση και η τυπική απόκλιση αναπαρίστανται με διαφορετικούς τρόπους τόσο σε στατιστικά κείμενα όσο και σε τύπους και εξισώσεις:

Διαφορά:

• σ ² όταν αναφέρεται στη διακύμανση του πληθυσμού
• S ² όταν αναφέρεται στη διακύμανση του δείγματος
• Var(X) όταν αναφέρεται στη διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής, σε αυτήν την περίπτωση X.

Τυπική απόκλιση:

• σ όταν αναφέρεται στην τυπική απόκλιση πληθυσμού
• S όταν αναφέρεται στην τυπική απόκλιση του δείγματος
• SD(X) όταν αναφέρεται στην τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής, σε αυτήν την περίπτωση X.

3. Έχουν διαφορετικούς τύπους

Τόσο για τη διακύμανση όσο και για την τυπική απόκλιση, υπάρχουν δύο τύποι, ανάλογα με το αν οι σειρές δεδομένων για τις οποίες υπολογίζεται η διακύμανση ή η τυπική απόκλιση είναι δεδομένα από έναν πληθυσμό ή από ένα δείγμα.

Τύπος διακύμανσης πληθυσμού (σ ² )

Σε οποιονδήποτε από τους δύο τύπους για τη διακύμανση του πληθυσμού, το μ αντιπροσωπεύει τον μέσο όρο του πληθυσμού, το X _i αντιπροσωπεύει την ίη τιμή δεδομένων πληθυσμού και το N αντιπροσωπεύει το μέγεθος του πληθυσμού ή τον συνολικό αριθμό σημείων δεδομένων.

Δείγμα διακύμανσης τύπου (S ² )

Εδώ, το x-bar αντιπροσωπεύει τον μέσο όρο των δεδομένων του δείγματος (μέση τιμή δείγματος), το x _i αντιπροσωπεύει την τιμή του i-του δείγματος δεδομένων και το n αντιπροσωπεύει το μέγεθος ή τον συνολικό αριθμό δεδομένων στο δείγμα.

Τύπος τυπικής απόκλισης πληθυσμού (σ)

Στην περίπτωση της τυπικής απόκλισης, μπορεί να υπολογιστεί με τρεις διαφορετικούς τρόπους:

Δείγμα τύπων τυπικής απόκλισης

Εδώ, επίσης, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένας από τους τρεις διαφορετικούς τρόπους:

Πρέπει να γίνει σημείωση σχετικά με τους δύο τελευταίους τύπους. Είναι σύνηθες ότι, κατά τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης, υπολογίζεται πρώτα η διακύμανση και μετά λαμβάνεται η τετραγωνική ρίζα. Η τυπική απόκλιση προσδιορίζεται σπάνια χρησιμοποιώντας τις τελευταίες εξισώσεις χωρίς να υπολογιστεί πρώτα η διακύμανση, επομένως η πρώτη σχεδόν πάντα προηγείται της δεύτερης.

4. Έχουν διαφορετικές μονάδες

Τόσο οι μονάδες της διακύμανσης όσο και η τυπική απόκλιση εξαρτώνται από τη φύση και τις μονάδες των δεδομένων ή την τυχαία μεταβλητή στην οποία αναφέρονται, ωστόσο, οι μονάδες είναι διαφορετικές σε κάθε περίπτωση.

Η τυπική απόκλιση έχει τις ίδιες μονάδες με τα αρχικά δεδομένα ή την τυχαία μεταβλητή, ενώ η διακύμανση εμφανίζεται σε αυτές τις μονάδες στο τετράγωνο.

Παράδειγμα:

Εάν έχετε τα δεδομένα των βαρών σε κιλά (kg) ενός δείγματος μαθητών της 8ης τάξης σε ένα συγκεκριμένο εκπαιδευτικό ίδρυμα, τότε η διακύμανση των εν λόγω δεδομένων θα έχει μονάδες kg 2 ενώ η τυπική απόκλιση θα είναι σε ^kg .

5. Διαφέρουν στην ερμηνεία τους

Τόσο για τη διακύμανση όσο και για την τυπική απόκλιση, η ερμηνεία είναι η ίδια με αυτή που αναφέρθηκε ήδη: εάν αξίζουν μηδέν, τότε δεν υπάρχει διασπορά και όλα τα δεδομένα είναι ακριβώς ίσα μεταξύ τους. αν είναι μικρές τιμές τότε θα υπάρχει μικρή διασπορά και αν είναι μεγάλες θα υπάρχει μεγάλη διασπορά.

Ωστόσο, όταν κατανοούμε τι σημαίνει να είναι μια μεγάλη ή μικρή τιμή, οι τιμές τυπικής απόκλισης είναι πολύ πιο εύκολο να ερμηνευτούν από τις τιμές διακύμανσης, καθώς βρίσκονται στις ίδιες μονάδες με τα δεδομένα. Αυτό δεν είναι τόσο απλό στην περίπτωση της διακύμανσης.

6. Διαφέρουν ως προς την ευαισθησία τους σε ακραίες τιμές

Ως μέτρα διασποράς, τόσο η διακύμανση όσο και η τυπική απόκλιση υποφέρουν από ευαισθησία στην ύπαρξη ακραίων τιμών (είτε πολύ υψηλές είτε πολύ χαμηλές). Αυτό σημαίνει ότι όταν περιγράφεται μια σειρά δεδομένων στην οποία όλα τα δεδομένα είναι πολύ παρόμοια εκτός από ένα που είναι πολύ μεγαλύτερο ή μικρότερο από τα άλλα, ούτε η διακύμανση ούτε η τυπική απόκλιση θα αντιπροσωπεύουν καλά την εξάπλωση των δεδομένων (και τα δύο θα δίνουν τιμές μεγάλες παρά το γεγονός ότι η συντριπτική πλειονότητα των δεδομένων δείχνει πολύ μικρή διασπορά).

Ωστόσο, όταν συγκρίνουμε τη διακύμανση με την τυπική απόκλιση, η διακύμανση είναι πολύ πιο ευαίσθητη σε αυτές τις ακραίες τιμές, καθώς όλες οι αποκλίσεις είναι στο τετράγωνο, ενώ η τυπική απόκλιση δεν είναι.

7. Διαφέρουν ως προς τις μαθηματικές τους ιδιότητες

Η τελευταία διαφορά που θα εξετάσουμε περιλαμβάνει στην πραγματικότητα πολλές πολύ βαθύτερες διαφορές που είναι σημαντικές κυρίως για τους στατιστικολόγους (ή αυτούς που μελετούν στατιστικά).

Καθώς οι μαθηματικές συναρτήσεις, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση διαφέρουν ως προς την επίδραση του πολλαπλασιασμού των δεδομένων με μια σταθερά, την επίδραση της προσθήκης σταθερών, της πρόσθεσης τυχαίων μεταβλητών μαζί, της αύξησης στις δυνάμεις κ.λπ.

Αυτές οι διαφορές, ωστόσο, είναι εκτός του πεδίου εφαρμογής αυτού του άρθρου.

Παράδειγμα υπολογισμού διακύμανσης και τυπικής απόκλισης

Ας υποθέσουμε ότι ζυγίστηκε δείγμα 12 ταύρων από τοπικό παραγωγό. Τα βάρη, σε κιλά, παρουσιάζονται παρακάτω:

Σας ζητείται να προσδιορίσετε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση αυτού του δείγματος.

ΛΥΣΗ

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, όταν έχετε μια σειρά δεδομένων, είναι βολικό να προσδιορίσετε πρώτα τη διακύμανση και μετά την τυπική απόκλιση.

Υπολογισμός της διακύμανσης του δείγματος (S ² )

Θα χρησιμοποιήσουμε τον δεύτερο τύπο διακύμανσης δείγματος, καθώς είναι πιο πρακτικός. Για να γίνει αυτό, ακολουθούνται τα ακόλουθα βήματα:

• Βήμα 1: Δημιουργείται μια κατακόρυφη λίστα με όλα τα δεδομένα
• Βήμα 2: Το τετράγωνο κάθε στοιχείου υπολογίζεται και γράφεται δίπλα του σε νέα στήλη.
• Βήμα 3: Προστίθενται όλα τα δεδομένα και το αποτέλεσμα καταγράφεται στο τέλος της πρώτης στήλης.
• Βήμα 4: Προσθέστε όλα τα τετράγωνα και σημειώστε το αποτέλεσμα στο κάτω μέρος της δεύτερης στήλης.

Αυτά τα πρώτα 5 βήματα συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα:

• Βήμα 5: Ο τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της διακύμανσης:

Άρα η διακύμανση του δείγματος είναι περίπου S ² = 50 kg ² .

Υπολογισμός της τυπικής απόκλισης του δείγματος (S)

Τώρα που έχουμε τη διακύμανση, ο υπολογισμός της τυπικής απόκλισης είναι τόσο απλός όσο η τετραγωνική ρίζα της πρώτης:

Όπως φαίνεται, η σύγκριση της τυπικής απόκλισης, που είναι 7 κιλά, με το μέσο βάρος των ταύρων, που είναι 502,25 κιλά (υπολογιζόμενο χωριστά), μας επιτρέπει να συμπεράνουμε ότι αυτό το δείγμα έχει χαμηλή διασπορά, καθώς είναι μόνο 1,4% του μέσου βάρους των ταύρων.

βιβλιογραφικές αναφορές

Espinoza, CI, & Echecopar, AL (2020). Στατιστικές εφαρμογές που χρησιμοποιούν MS Excel με Παραδείγματα Βήμα προς Βήμα (Ισπανική Έκδοση) (1η ^έκδοση .). Λίμα, Περού: Luis Felipe Arizmendi Echecopar και Duo Negocios SAC.

Investopedia. (2021, 16 Απριλίου). Μάθετε πώς προσδιορίζεται η τυπική απόκλιση χρησιμοποιώντας τη διακύμανση. Ανακτήθηκε στις 24 Ιουλίου 2021, από https://www.investopedia.com/ask/answers/021215/what-difference-between-standard-deviation-and-variance.asp

Lopez, JF (18 Νοεμβρίου 2017). Διακύμανση . Ανακτήθηκε από https://economipedia.com/definiciones/varianza.html

Εθνικό Ινστιτούτο Προτύπων και Τεχνολογίας. (ν). Βασικοί ορισμοί της αβεβαιότητας. Ανακτήθηκε στις 24 Ιουλίου 2021, από https://physics.nist.gov/cuu/Uncertainty/basic.html

Webster, A. (2001). Statistics Applied to Business and the Economy (Ισπανική Έκδοση) . Τορόντο, Καναδάς: Irwin Professional Publishing.