Παράδειγμα υπολογισμού της τυπικής απόκλισης πληθυσμού

Η τυπική απόκλιση πληθυσμού είναι μία από τις πιο σημαντικές παραμέτρους πληθυσμού για τη μέτρηση της μεταβλητότητας ή της διασποράς των δεδομένων εντός του πληθυσμού. Όπως κάθε παράμετρος στη στατιστική, αντιπροσωπεύεται από ένα ελληνικό γράμμα, σε αυτήν την περίπτωση, το γράμμα σ (σίγμα). Αυτό επιτρέπει την εύκολη διαφοροποίησή του από την τυπική απόκλιση του δείγματος ή των δειγμάτων, η οποία, αν και παρόμοια, δεν είναι η ίδια ούτε υπολογίζεται με τους ίδιους τύπους.

Στη συνέχεια, θα δούμε, μέσω ενός παραδείγματος, διαφορετικούς τρόπους υπολογισμού της τυπικής απόκλισης ενός πληθυσμού. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι, για να υπολογιστεί η τυπική απόκλιση του πληθυσμού , είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε όλα τα πληθυσμιακά δεδομένα. Αυτό συμβαίνει σπάνια σε πραγματικά περιβάλλοντα, αλλά είναι ακόμα σημαντικό να κατανοήσουμε πώς υπολογίζεται, καθώς βοηθά στην κατανόηση ορισμένων από τα μαθηματικά χαρακτηριστικά αυτής της σημαντικής παραμέτρου.

Τύποι Τυπικής Απόκλισης Πληθυσμού

Ανάλογα με τα διαθέσιμα δεδομένα, η τυπική απόκλιση πληθυσμού μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τρεις διαφορετικούς τύπους.

Μαθηματικός ορισμός της τυπικής απόκλισης πληθυσμού

Η τυπική απόκλιση ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, σ ² . Δηλαδή, αν γνωρίζουμε τη διακύμανση του πληθυσμού, μπορούμε να υπολογίσουμε την τυπική απόκλιση χρησιμοποιώντας την ακόλουθη εξίσωση:

Αυτή η περίπτωση συμβαίνει σπάνια, αλλά καλό είναι να το έχουμε κατά νου.

Άλλοι τύποι τυπικής απόκλισης πληθυσμού

Αν αντί να γνωρίζουμε τη διακύμανση ενός πληθυσμού, γνωρίζουμε όλα τα N στοιχεία δεδομένων που τον αποτελούν, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την τυπική απόκλιση πληθυσμού ως την τετραγωνική ρίζα του μέσου όρου των τετραγωνικών αποκλίσεων από τον μέσο όρο. Δηλαδή:

Σε αυτήν την εξίσωση, το x _i αντιπροσωπεύει την τιμή κάθε στοιχείου δεδομένων στον πληθυσμό, το N αντιπροσωπεύει τον αριθμό των στοιχείων δεδομένων στον πληθυσμό (ή το μέγεθος του πληθυσμού, που είναι το ίδιο) και το μ είναι ο μέσος όρος του πληθυσμού. Σημειώστε ότι ο μέσος όρος του πληθυσμού αντιπροσωπεύεται επίσης με ένα ελληνικό γράμμα επειδή είναι μια άλλη παράμετρος πληθυσμού και το μέγεθος του πληθυσμού αντιπροσωπεύεται με N (κεφαλαίο γράμμα) για να διακρίνεται από το n που συνήθως σχετίζεται με το μέγεθος ενός δείγματος.

Ο μέσος όρος πληθυσμού, μ, δίνεται από:

Η εξίσωση 2 μπορεί να επεκταθεί, να αναδιαταχθεί και να απλοποιηθεί για να ληφθεί:

Σε περίπτωση που δεν υπάρχουν μεμονωμένα δεδομένα του πληθυσμού αλλά δεδομένα ομαδοποιούνται σε πίνακα συχνοτήτων, οι προηγούμενοι τύποι τροποποιούνται ελαφρώς για να δώσουν:

Στις παραπάνω εξισώσεις, η ποσότητα που βρίσκεται μέσα στη ρίζα δεν είναι τίποτα άλλο από τη διακύμανση του πληθυσμού. Η εξίσωση 4 έχει το πλεονέκτημα ότι καθιερώνεται αποκλειστικά ως προς τα δεδομένα πληθυσμού και όχι κάποια πληθυσμιακή παράμετρο όπως στην περίπτωση των εξισώσεων 2 και 5.

Παράδειγμα υπολογισμού της τυπικής απόκλισης πληθυσμού

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να προσδιορίσουμε τη μεταβλητότητα στο βάρος ενός συγκεκριμένου μοντέλου αυτοκινήτου του οποίου μόνο 20 παραδείγματα είναι γνωστό ότι υπάρχουν παγκοσμίως. Τα δεδομένα των βαρών σε κιλά αυτών των 20 αυτοκινήτων παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα:

Δεδομένου ότι γνωρίζουμε ότι υπάρχουν μόνο 20 αυτοκίνητα αυτού του μοντέλου, αυτά αντιπροσωπεύουν ολόκληρο τον πληθυσμό, επομένως έχουμε όλα τα δεδομένα που απαιτούνται για τον προσδιορισμό της τυπικής απόκλισης του πληθυσμού. Ας δούμε τρεις διαφορετικούς τρόπους για τον προσδιορισμό αυτής της τυπικής απόκλισης.

Μέθοδος 1: Υπολογισμός με βάση τον ορισμό της διακύμανσης

Αυτή η μέθοδος βασίζεται στη χρήση της εξίσωσης 2 που παρουσιάζεται παραπάνω. Όπως μπορούμε να δούμε, η εξίσωση απαιτεί τη χρήση του μέσου όρου πληθυσμού και μια άλλη σειρά υπολογισμών που περιγράφονται αναλυτικά παρακάτω:

Βήμα 1: Προσδιορίστε τη μέση τιμή πληθυσμού

Ο μέσος όρος του πληθυσμού ή μ υπολογίζεται μέσω της εξίσωσης 3, προσθέτοντας όλα τα δεδομένα και διαιρώντας με τον συνολικό αριθμό των δεδομένων, που είναι, στην περίπτωση αυτή, 20.

Βήμα 2: Υπολογίστε τις αποκλίσεις από τη μέση τιμή

Αυτό το βήμα περιλαμβάνει τον υπολογισμό των αφαιρέσεων (x _i – μ). Για παράδειγμα:

x ₁ – μ = 410 – 400,35kg = 9,65kg

x ₂ – μ = 408 – 400,35kg = 7,65kg

x ₃ – μ = 408 – 400,35kg = 7,65kg

…

X ₂₀ – μ = 400kg – 400,35kg = – 0,35

Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα:

Βήμα 3: Τετράγωνο όλων των αποκλίσεων από τη μέση τιμή

(x ₁ – μ) ² = (9,65) ² = 93,1225 kg ²

(x ₂ – μ) ² = (7,65) ² = 58,5225 kg ²

(x ₃ – μ) ² = (7,65) ² = 58,5225 kg ²

…

(x ₂₀ – μ) ² = (– 0,35) ² = 0,1225 kg ²

Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα:

Βήμα 4: Προσθέστε όλες τις τετραγωνισμένες αποκλίσεις

Βήμα 5: Εφαρμόστε τον τύπο της εξίσωσης 2

Τώρα που έχουμε αυτό το άθροισμα, το μόνο που μένει είναι να αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή, καθώς και τον αριθμό των δεδομένων, που είναι 20, στην εξίσωση 2:

Έτσι, προκύπτει ότι η τυπική απόκλιση του βάρους του πληθυσμού των 20 αυτοκινήτων είναι περίπου. 6,5 κιλά.

Μέθοδος 2: Χρησιμοποιώντας την αναδιαταγμένη εξίσωση

Τώρα θα κάνουμε τον ίδιο υπολογισμό, αλλά χρησιμοποιώντας την εξίσωση 4, η οποία είναι ισοδύναμη με την εξίσωση που μόλις χρησιμοποιήσαμε, αλλά είναι πιο πρακτική, ειδικά αν εργάζεστε με μεγαλύτερο αριθμό δεδομένων. Το κύριο όφελος είναι ότι δεν είναι απαραίτητος ο υπολογισμός μιας πρόσθετης παραμέτρου (ο μέσος όρος του πληθυσμού) για να μπορέσετε να υπολογίσετε τις αποκλίσεις, αλλά τα πάντα υπολογίζονται με βάση τα αρχικά μεμονωμένα δεδομένα. Επίσης, σε καμία περίπτωση δεν χρειάζεται να δουλέψετε με αρνητικούς αριθμούς, οι οποίοι αποτελούν σημαντική πηγή λάθους μεταξύ των μαθητών.

Βήμα 1: Υπολογίστε το τετράγωνο κάθε μεμονωμένου δεδομένων

Δηλαδή, πραγματοποιούνται οι ακόλουθοι υπολογισμοί:

(x ₁ ) ² = (410) ² = 168.100 kg ²

(x ₂ ) ² = (408) ² = 166,464 kg ²

(x ₃ ) ² = (408) ² = 166,464 kg ²

…

(x ₂₀ ) ² = (400) ² = 160.000 kg ²

Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα:

Βήμα 2: Προσθέστε όλα τα μεμονωμένα δεδομένα

Βήμα 3: Προσθέστε όλα τα τετράγωνα

Βήμα 4: Εφαρμόστε τον τύπο της εξίσωσης 4

Το τελευταίο βήμα είναι να εισαχθούν αυτές οι δύο τιμές και ο αριθμός των δεδομένων στην εξίσωση 4 για να ληφθεί η τυπική απόκλιση πληθυσμού:

Μέθοδος 3: Χρήση υπολογιστικών φύλλων

Υπολογιστικά φύλλα όπως το Microsoft Excel, το Apple Numbers ή τα Φύλλα Google περιλαμβάνουν μεταξύ των βασικών τους λειτουργιών τον άμεσο υπολογισμό της τυπικής απόκλισης (τόσο δείγμα όσο και πληθυσμό). Αυτές οι συναρτήσεις λαμβάνουν ένα σύνολο δεδομένων ως όρισμα και πραγματοποιούν όλους τους υπολογισμούς που παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη μέθοδο για να επιστρέψουν απευθείας την τυπική απόκλιση στο κελί όπου έχει εισαχθεί ο τύπος.

Η διαδικασία είναι η εξής:

Βήμα 1: Εισαγάγετε τα δεδομένα στο υπολογιστικό φύλλο

Μπορούμε να εισάγουμε τα δεδομένα με τη μορφή στήλης, γραμμής ή πίνακα σε οποιοδήποτε σημείο του υπολογιστικού φύλλου. Το ακόλουθο στιγμιότυπο οθόνης δείχνει πώς φαίνονται τα δεδομένα για αυτό το πρόβλημα στο Excel 2016.

Βήμα 2: Χρησιμοποιήστε τον τύπο για να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση

Αφού προστεθούν τα δεδομένα, χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση τυπικής απόκλισης, τοποθετώντας τα κελιά όπου βρίσκονται τα δεδομένα ως ορίσματα.

Για να καλέσουμε μια συνάρτηση σε ένα υπολογιστικό φύλλο, συνήθως ξεκινάμε πληκτρολογώντας το σύμβολο ίσον (=) ακολουθούμενο από το όνομα της συνάρτησης που θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε. Τα ονόματα αλλάζουν ελαφρώς από τη μια εφαρμογή στην άλλη και σε ορισμένες περιπτώσεις αλλάζουν επίσης ανάλογα με τη γλώσσα στην οποία εργάζεστε.

Στην περίπτωση του Excel (ισπανική έκδοση), η συνάρτηση για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης πληθυσμού ονομάζεται STDEV.P, ενώ στα Φύλλα Google είναι STDEVP (χωρίς το σημείο). Στη συνέχεια, πρέπει να εισαγάγετε το όρισμα(α) της συνάρτησης μεταξύ παρενθέσεων. Στο παράδειγμά μας, περνάμε ως όρισμα το εύρος των κελιών στα οποία βρίσκονται τα δεδομένα (από το κελί A3 έως το J4).

Πατώντας ENTER, το πρόγραμμα εκτελεί τη συνάρτηση και υπολογίζει την τυπική απόκλιση του πληθυσμού, παρουσιάζοντας το αποτέλεσμα στο αντίστοιχο κελί, όπως φαίνεται παρακάτω:

Όπως μπορούμε να δούμε, οποιαδήποτε από τις τρεις μεθόδους που εφαρμόζονται εδώ παράγει το ίδιο αποτέλεσμα. Είναι απλά διαφορετικοί τρόποι να κάνεις το ίδιο πράγμα.

άλλες μεθόδους

Εκτός από τις τρεις μεθόδους που αναφέρονται παραπάνω, οι επιστημονικοί και οικονομικοί υπολογιστές έχουν επίσης συχνά μια λειτουργία για τον προσδιορισμό της τυπικής απόκλισης ενός συνόλου δεδομένων, είτε πρόκειται για δείγμα είτε για πληθυσμό. Ο τρόπος με τον οποίο εισάγονται τα δεδομένα και τα αποτελέσματα που λαμβάνονται διαφέρει από κατασκευαστή σε κατασκευαστή, ακόμη και από το ένα μοντέλο αριθμομηχανής στο άλλο, επομένως δεν είναι πρακτικό να εμφανιστούν τα συγκεκριμένα βήματα για να γίνει αυτό εδώ.

Αντίθετα, θα συζητήσουμε τα πιο σημαντικά γενικά βήματα χωρίς να εμβαθύνουμε σε αυτά. Όποιος επιθυμεί να χρησιμοποιήσει αυτή τη λειτουργία στην επιστημονική αριθμομηχανή του θα πρέπει να ανατρέξει στο εγχειρίδιο χρήστη που συνοδεύει την αριθμομηχανή ή να το ψάξει στο διαδίκτυο για να προσδιορίσει τον συγκεκριμένο συνδυασμό πλήκτρων σε κάθε περίπτωση.

Βήμα 1: Εκκαθάριση μνήμης

Σε πολλές αριθμομηχανές, τα δεδομένα που έχουν αποθηκευτεί προηγουμένως δεν είναι ορατά. Εάν εισάγουμε δεδομένα για άλλα που ήταν ήδη αποθηκευμένα χωρίς να το καταλάβουμε, η αριθμομηχανή θα δώσει λάθος αποτέλεσμα. Για να διασφαλίσετε ότι αυτό δεν θα συμβεί, συνιστάται να διαγράψετε όλη τη μνήμη της αριθμομηχανής (ή τουλάχιστον τη λειτουργία στατιστικής ανάλυσης) πριν ξεκινήσετε την εισαγωγή νέων δεδομένων.

Βήμα 2: Πρόσβαση στη λειτουργία στατιστικών στοιχείων

Οι λειτουργίες για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης αποτελούν μέρος της λειτουργίας “Στατιστικά”, “Στατιστικά” ή απλά “S” στις περισσότερες αριθμομηχανές, επομένως πρέπει να ξεκινήσουμε εισάγοντας αυτόν τον τρόπο λειτουργίας.

Βήμα 3: Εισαγάγετε τα δεδομένα

Αυτό διαφέρει από τη μια αριθμομηχανή στην άλλη. Σε ορισμένες περιπτώσεις τα δεδομένα μπορούν να προστεθούν σε μορφή πίνακα, ενώ σε άλλες τα δεδομένα εισάγονται ένα προς ένα αφού πατήσετε το πλήκτρο DT (ή DAT). Είναι σημαντικό να ελέγξετε τον αριθμό των δεδομένων που εισήχθησαν στο τέλος αυτού του βήματος για να βεβαιωθείτε ότι κανένα δεν έλειπε.

Βήμα 4: Υπολογίστε την τυπική απόκλιση πληθυσμού

Μόλις εισαχθούν τα δεδομένα, το μόνο που μένει είναι να ρωτήσουμε την αριθμομηχανή για το αποτέλεσμα που ψάχνουμε. Σε πολλούς αριθμομηχανές, τόσο οι τυπικές αποκλίσεις του δείγματος όσο και του πληθυσμού αντιπροσωπεύονται με το σύμβολο σ (παρόλο που αυτό είναι σφάλμα στην περίπτωση της απόκλισης του δείγματος). Ωστόσο, μπορούμε να διακρίνουμε την απόκλιση δείγματος από την απόκλιση πληθυσμού επειδή η απόκλιση δείγματος συνοδεύεται από n-1 (δηλαδή εμφανίζεται ως σ n- ₁ ) ενώ η απόκλιση πληθυσμού εμφανίζεται ως s _n . Αυτό αναφέρεται στο γεγονός ότι στον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης του δείγματος διαιρείται με n-1 αντί για n όπως στον πληθυσμό.

βιβλιογραφικές αναφορές

Devore, JL (2019). Probability and Statistics (1st ^ed .). Cengage Learning.

MateMobile. (2021, 1 Ιανουαρίου). Διακύμανση και τυπική απόκλιση για δεσμευμένα δεδομένα | matermobile . https://matemovil.com/varianza-y-desviacion-estandar-para-datos-agrupados-por-intervalos/

Τεχνική υποστήριξη της Google. (ν). STDEV (STDEV) – Βοήθεια Google Docs Editors . Google – Βοήθεια Google Docs Editors. https://support.google.com/docs/answer/3094054?hl=el-419

Υπερκαθ. (ν). Τυπική απόκλιση . Μαθηματικό Λεξικό | Υπερκαθ. https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/estadistica/desviacion-estandar.html

TOMi.ψηφιακό. (ν). Τυπική απόκλιση για ομαδοποιημένα δεδομένα . https://tomi.digital/en/52202/standard-deviation-for-grouped-data?utm_source=google&utm_medium=seo