Η σημασία του κεντρικού οριακού θεωρήματος

Το θεώρημα κεντρικού ορίου είναι ένα βασικό θεώρημα στη θεωρία πιθανοτήτων. Ο όρος “κεντρικό” είναι ισοδύναμος με τον θεμελιώδη ή κεντρικής σημασίας και επινοήθηκε από τον George Polyá το 1920, υποδηλώνοντας τη συνάφεια του θεωρήματος στη θεωρία πιθανοτήτων. Το οριακό θεώρημα έχει διάφορες εκδοχές που προτείνονται από διαφορετικούς μαθηματικούς. Βασικά, το κεντρικό οριακό θεώρημα λέει ότι κάτω από ορισμένες υποθέσεις, η κατανομή του αθροίσματος ενός πολύ μεγάλου αριθμού τυχαίων μεταβλητών προσεγγίζει μια κανονική κατανομή .

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Η δήλωση του κεντρικού οριακού θεωρήματος είναι αφηρημένη, αλλά ας δούμε έναν τρόπο να το κατανοήσουμε βήμα προς βήμα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα απλό τυχαίο δείγμα n στοιχείων από έναν πληθυσμό ενδιαφέροντος. Σε αυτό το δείγμα, μπορεί να υπολογιστεί ο μέσος όρος του δείγματος, ο οποίος αντιπροσωπεύει τον μέσο όρο του πληθυσμού ενδιαφέροντος. Μια κατανομή του μέσου όρου του δείγματος μπορεί να δημιουργηθεί επιλέγοντας επανειλημμένα απλά τυχαία δείγματα από τον ίδιο πληθυσμό που έχουν το ίδιο μέγεθος και στη συνέχεια υπολογίζοντας τον μέσο όρο καθενός από αυτά τα δείγματα. Κάθε ένα από τα απλά τυχαία δείγματα πρέπει να είναι ανεξάρτητο από τα άλλα.

Το θεώρημα του κεντρικού ορίου αφορά την κατανομή των μέσων δειγμάτων και λέει ότι αυτή η κατανομή προσεγγίζει μια κανονική κατανομή. Όσο μεγαλύτερα είναι τα απλά τυχαία δείγματα, τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση σε μια κανονική κατανομή της κατανομής των μέσων δειγμάτων. Πρέπει να σημειωθεί ότι το θεώρημα του κεντρικού ορίου ορίζει ότι υπό αυτές τις συνθήκες η κατανομή του μέσου όρου του δείγματος είναι κανονική, ανεξάρτητα από την αρχική του κατανομή. Ακόμα κι αν ο πληθυσμός έχει λοξή κατανομή, μια συχνή κατάσταση κατά τη μελέτη παραμέτρων όπως το εισόδημα των ανθρώπων ή το βάρος τους, η κατανομή του μέσου όρου του δείγματος θα είναι κανονική εάν το μέγεθος του δείγματος είναι αρκετά μεγάλο.

Και σε αυτό το σημείο βρίσκεται η σημασία του κεντρικού οριακού θεωρήματος, καθώς μας επιτρέπει να απλοποιούμε στατιστικά προβλήματα όταν εργαζόμαστε με μια κατανομή που μπορεί να θεωρηθεί κανονική. Υπάρχουν πολλές και πολύ σχετικές εφαρμογές στις οποίες είναι απαραίτητο να μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο πληθυσμός έχει κανονική κατανομή, όπως οι δοκιμές υποθέσεων ή ο προσδιορισμός των διαστημάτων εμπιστοσύνης.

Δεν είναι δύσκολο να βρείτε σύνολα δεδομένων πραγματικού κόσμου που να δείχνουν ακραίες τιμές, λοξές κατανομές ή πολλαπλές κορυφές. Όμως, εφαρμόζοντας το κεντρικό οριακό θεώρημα, εάν επιλεγεί ένα κατάλληλο μέγεθος δείγματος, μπορούν να αντιμετωπιστούν προβλήματα στα οποία οι πληθυσμοί δεν παρουσιάζουν κανονική κατανομή. Επομένως, ακόμα κι αν η κατανομή του προς μελέτη πληθυσμού δεν είναι γνωστή, το κεντρικό οριακό θεώρημα διασφαλίζει ότι, εάν πάρουμε αρκετά μεγάλα δείγματα, η πραγματική κατανομή μπορεί να προσεγγιστεί με μια κανονική κατανομή. Σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, μια διερευνητική ανάλυση των δεδομένων μπορεί να βοηθήσει στη μέτρηση του μεγέθους του δείγματος, έτσι ώστε το κεντρικό οριακό θεώρημα να είναι έγκυρο.

Κρήνη

Jimena Blaiotta, Pablo Delieutraz. Κεντρικό οριακό θεώρημα .  Σχολή Ακριβών και Φυσικών Επιστημών, Πανεπιστήμιο του Μπουένος Άιρες, Αργεντινή, 2004.