Διαφορές μεταξύ παρέκτασης και παρεμβολής

Κατά τη διεξαγωγή διαφορετικών τύπων υπολογισμών, είτε στην επιστήμη είτε στη μηχανική, είναι πολύ συνηθισμένο να καταφεύγουμε σε πειραματικά δεδομένα που βρίσκουμε οργανωμένα σε διαφορετικούς πίνακες. Αυτά τα δεδομένα σχετίζονται συνήθως δύο μεταβλητές που γνωρίζουμε ότι εξαρτώνται η μία από την άλλη, αλλά των οποίων τη μαθηματική εξάρτηση δεν γνωρίζουμε. Αυτό δεν θα ήταν πρόβλημα εάν τα δεδομένα που χρειαζόμαστε ήταν όλα στον πίνακα, αλλά αυτό συμβαίνει σπάνια. Είναι πιο συνηθισμένο να χρειαζόμαστε την τιμή μιας από τις μεταβλητές για μια τιμή της άλλης που δεν βρίσκεται στον πίνακα.

Όταν συμβεί αυτό, μπορούμε να προσαρμόσουμε τα πειραματικά ή πινακοποιημένα δεδομένα σε μια πολυωνυμική μαθηματική συνάρτηση, την οποία μπορούμε στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουμε για να προσεγγίσουμε την άγνωστη τιμή της μεταβλητής ενδιαφέροντος. Αυτή η διαδικασία μπορεί να περιλαμβάνει παρεμβολή ή παρέκταση.

Αυτές οι δύο διαδικασίες συνδέονται στενά και βασίζονται στην ίδια βασική διαδικασία συντονισμού, αλλά δεν είναι ίδιες. Στη συνέχεια, θα συζητήσουμε ποιες είναι οι κύριες διαφορές μεταξύ αυτών των δύο μεθόδων εκτίμησης της τιμής μιας εξαρτημένης μεταβλητής για μια δεδομένη τιμή μιας ανεξάρτητης μεταβλητής.

ορισμός παρεμβολής

Η παρεμβολή είναι η διαδικασία εκτίμησης της τιμής μιας εξαρτημένης μεταβλητής για μια συγκεκριμένη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής από τη γνώση ενός συνόλου δεδομένων ή διακριτών σημείων πάνω και κάτω από το σημείο που θέλουμε να εκτιμήσουμε. Με άλλα λόγια, είναι η διαδικασία εκτίμησης ενός σημείου που βρίσκεται ανάμεσα σε δύο γνωστά σημεία. Το παρακάτω γράφημα δείχνει μια σειρά δεδομένων που αντιπροσωπεύονται από τα μπλε σημεία και το κόκκινο σημείο αντιπροσωπεύει την παρεμβολή μεταξύ των σημείων στα X ₁ και X ₂ .

Η λέξη παρεμβολή προέρχεται από την ένωση δύο λατινικών λέξεων που είναι το πρόθεμα inter-, που σημαίνει μεταξύ ή κατά διαστήματα, και -polire , που σημαίνει σπρώχνω ή σπρώχνω, αναφερόμενος στο γεγονός ότι η παρεμβολή έχει να κάνει με την ώθηση ή τη μετακίνηση δύο δεδομένα.σε σημείο που βρίσκεται ανάμεσά τους.

Ορισμός παρέκτασης

Η παρέκταση μπορεί να γίνει κατανοητή ως η διαδικασία εκτίμησης της τιμής μιας εξαρτημένης μεταβλητής για μια τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής, από ένα σύνολο σημείων ή δεδομένων που είναι είτε όλα μεγαλύτερα είτε όλα μικρότερα από το προς εκτίμηση σημείο.

Με άλλα λόγια, είναι η διαδικασία εκτίμησης της τιμής ενός σημείου που βρίσκεται πάνω ή κάτω από όλα τα γνωστά σημεία ή δεδομένα. Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα παράδειγμα παρέκτασης των δεδομένων σε ένα σημείο πάνω από όλα τα γνωστά δεδομένα.

Από ετυμολογική άποψη, το extrapolate έχει την ίδια λατινική ρίζα –polire , μόνο που αυτή τη φορά προηγείται το λατινικό πρόθεμα extra- που σημαίνει εκτός. Έτσι, ο όρος αναφέρεται στην εκτίμηση των σημείων που βρίσκονται εκτός του εύρους του αρχικού συνόλου δεδομένων, είτε επειδή είναι μεγαλύτερο είτε μικρότερο από όλα τα γνωστά δεδομένα.

Διαφορές στην αβεβαιότητα της παρεμβολής και της παρέκτασης

Κατά τη σύγκριση της παρεμβολής με την παρέκταση, μπορεί να παρατηρηθεί ότι υπάρχει μια σημαντική διαφορά όσον αφορά τον κίνδυνο παραγωγής αποτελεσμάτων που αποκλίνουν σημαντικά από την πραγματική αξία των δεδομένων που αναζητούμε. Στην περίπτωση της παρεμβολής, εφόσον πραγματοποιείται μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων, μπορούμε να έχουμε έναν ορισμένο βαθμό βεβαιότητας ότι η τιμή που παρεμβάλλουμε βρίσκεται κάπου μεταξύ αυτών των δύο σημείων. Δηλαδή, έχουμε κάποια διαβεβαίωση ότι η τιμή της άγνωστης συνάρτησης δεν εκτοξεύεται προς τα πάνω ή προς τα κάτω πριν φτάσουμε στο επόμενο σημείο, επειδή γνωρίζουμε πού βρίσκεται αυτό το επόμενο σημείο.

Αντίθετα, όταν κάνουμε μια παρέκταση, προβάλλουμε τη συμπεριφορά των δεδομένων προς τα εμπρός ή προς τα πίσω, και εφόσον δεν υπάρχουν σημεία αναφοράς μπροστά (ή πιο πίσω, αν ήταν έτσι), τότε δεν έχουμε τρόπο να γνωρίζουμε πώς συμπεριφέρεται πραγματικά η μεταβλητή. Μπορεί να συνεχίσει με την ίδια συμπεριφορά που είχε πριν, όπως μπορεί να πυροδοτήσει απότομα προς οποιαδήποτε κατεύθυνση. Για το λόγο αυτό, η παρέκταση φέρει μεγαλύτερη αβεβαιότητα από την παρεμβολή.

Συνήθως προσαρμόζονται σε διαφορετικές πολυωνυμικές συναρτήσεις

Οι διαδικασίες παρέκτασης και παρεμβολής βασίζονται στην προσαρμογή δύο ή περισσότερων γνωστών σημείων σε μια μαθηματική συνάρτηση που θα μας επιτρέψει να προβλέψουμε την τιμή της συνάρτησης σε άλλα άγνωστα σημεία. Και στην περίπτωση της παρεμβολής και της παρέκτασης, η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη συνάρτηση για την εκτίμηση είναι η γραμμική συνάρτηση (y = mx +b). Ενώ αυτή η συνάρτηση είναι κατάλληλη τόσο για παρεμβολή όσο και για παρέκταση όταν η άγνωστη τιμή που θέλουμε να υπολογίσουμε είναι αρκετά κοντά στα γνωστά σημεία, αυτό δεν ισχύει πλέον όταν γίνεται παρέκταση μακριά από τα άκρα.

Στην πραγματικότητα, εάν τα δεδομένα στο σύνολό τους δεν είναι αξιοσημείωτα γραμμικά στη συμπεριφορά, οι παρεκβολές μπορούν πολύ γρήγορα να απομακρυνθούν από την πραγματική τιμή καθώς απομακρυνόμαστε από οποιοδήποτε άκρο. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η παρέκταση συνήθως απαιτεί περισσότερη προσοχή και τη χρήση συναρτήσεων παρέκτασης που είναι πιο περίπλοκες ή έχουν υψηλότερες τάξεις από αυτές που χρησιμοποιούνται για την παρεμβολή.

Στην τελευταία περίπτωση, η γραμμική παρεμβολή είναι σχεδόν πάντα επαρκής, με την προϋπόθεση ότι τα γνωστά δεδομένα ή σημεία δεν απέχουν πολύ μεταξύ τους.

Μπορεί να διαφέρουν ως προς τον αριθμό των στοιχείων δεδομένων που απαιτούνται για την εκτίμηση

Μια άλλη σημαντική διαφορά μεταξύ παρεμβολής και παρέκτασης είναι ο αριθμός των στοιχείων δεδομένων που απαιτούνται για την πραγματοποίηση της εκτίμησης. Στην παρεμβολή, σχεδόν πάντα υποτίθεται ότι η τιμή του αναζητούμενου σημείου βρίσκεται σε μια ευθεία γραμμή που ενώνει τα δύο πλησιέστερα σημεία. Σε αυτή την περίπτωση, η γνώση αυτών των δύο σημείων αρκεί για να πραγματοποιηθεί η παρεμβολή. Με άλλα λόγια, η επίδραση ενός σφάλματος στην εκτίμηση της κλίσης στην παρεμβολή είναι σπάνια σοβαρή, αφού το εκτιμώμενο σημείο θα βρίσκεται σχεδόν πάντα μεταξύ των δύο γνωστών σημείων.

Από την άλλη πλευρά, στην περίπτωση της παρέκτασης, καθώς καθώς προχωράμε πιο μακριά από το υψηλότερο (ή το χαμηλότερο) σημείο, οι διαφορές στην κλίση της γραμμής έχουν αυξανόμενο αντίκτυπο στην τιμή του y, είναι πολύ επικίνδυνο να ληφθούν μόνο δύο σημεία για τον υπολογισμό της κλίσης. Σε αυτές τις περιπτώσεις, αυτό που συνήθως γίνεται είναι να προσαρμόσουμε πολλά σημεία στην καλύτερη ευθεία ή σε άλλη πολυωνυμική συνάρτηση υψηλότερης τάξης μέσω της διαδικασίας των ελαχίστων τετραγώνων, διασφαλίζοντας έτσι ότι η γραμμή που παρεκτείνουμε προς τα εμπρός (ή προς τα πίσω) αντανακλά τη γενική συμπεριφορά του τα δεδομένα στο σύνολό τους και όχι μόνο μερικά από αυτά.

Γραμμική παρεμβολή και παρέκταση

Στην περίπτωση της γραμμικής παρεμβολής και της γραμμικής παρέκτασης, χρησιμοποιούνται ουσιαστικά οι ίδιες μαθηματικές εξισώσεις. Και στις δύο περιπτώσεις, η συνάρτηση παρεμβολής έχει τη μορφή y = mx + b, όπου y είναι η τιμή που αναζητούμε για μια δεδομένη τιμή του x, m είναι η κλίση της ευθείας γραμμής στην οποία προσαρμόζουμε τα δεδομένα και b είναι η τομή με τον άξονα y της συνάρτησης παρεμβολής.

Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης μπορεί να υπολογιστεί από οποιαδήποτε δύο σημεία χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Μπορούμε να εφαρμόσουμε αυτόν τον τύπο δύο φορές, μία μεταξύ δύο οποιωνδήποτε σημείων της σειράς γνωστών δεδομένων και μία άλλη μεταξύ ενός γνωστού σημείου και του σημείου που θέλουμε να βρούμε. Εφόσον και στις δύο περιπτώσεις η κλίση είναι ίδια, μπορούμε να ταιριάξουμε και τις δύο παραστάσεις και έτσι να λάβουμε τον τύπο που συσχετίζει την τιμή του y που αναζητούμε με τη συγκεκριμένη τιμή του x που έχουμε.

Παράδειγμα

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε δύο διαδοχικά σημεία p _k-1 =(x _k-1 ; y _k-1 ) και p _k =(x _k ; y _k ) για να παρεμβάλουμε ή να προβάλλουμε οποιοδήποτε σημείο (x ; y). Μπορούμε στη συνέχεια να γράψουμε την κλίση δύο φορές και να εξισώσουμε για να πάρουμε:

Αναδιατάσσοντας αυτήν την εξίσωση, παίρνουμε:

Σημειώστε ότι, σε αυτήν την περίπτωση, δεν υποτίθεται τίποτα για τη θέση του σημείου (x ; y) σε σχέση με τα δύο δεδομένα που χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση, επομένως η ίδια εξίσωση χρησιμοποιείται τόσο για την παρεμβολή όσο και για την παρέκταση.

Εάν επαληθευτεί ότι x _k-1 < x < x _k , ή, με άλλα λόγια, ότι το x βρίσκεται μεταξύ x _k-1 και x _k , τότε πρόκειται για παρεμβολή. Από την άλλη πλευρά, αν x>x _max ή x<x _min , δηλαδή εάν το x είναι μεγαλύτερη από τη μέγιστη τιμή ή μικρότερη από την ελάχιστη τιμή της σειράς δεδομένων, τότε πρόκειται για παρέκταση.

παράδειγμα παρεμβολής

Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε ότι η ζήτηση για πίτσες στην πόλη Μέριδα της Βενεζουέλας είναι 500.000 μονάδες ετησίως όταν η μέση τιμή ανά μονάδα είναι 20 $, ενώ σε μια μέση τιμή 15 $ η ζήτηση αυξάνεται σε 750.000. Μας ενδιαφέρει να εκτιμήσουμε ποια θα ήταν η ζήτηση αν ορίσουμε την τιμή στα 16,5 $.

Λύση

Σημειώστε ότι αυτό είναι ένα παράδειγμα παρεμβολής, καθώς το σημείο που θέλουμε να υπολογίσουμε, που αντιστοιχεί σε τιμή 16,5 $, βρίσκεται ανάμεσα σε δύο γνωστά σημεία (δηλαδή, είναι μεταξύ 15 $ και 20 $). Για αυτό το παράδειγμα, έχουμε:

Τώρα, εφαρμόζοντας τον τύπο γραμμικής παρεμβολής:

 Έτσι, εάν η μέση τιμή της πίτσας οριστεί στα 16,5 δολάρια ανά μονάδα, η ετήσια ζήτηση θα είναι 675.000 πίτσες ετησίως.

Παραδείγματα παρεκβολής

Ας υποθέσουμε ότι στο ίδιο παράδειγμα παραπάνω θέλουμε να προσδιορίσουμε ποια θα ήταν η ζήτηση εάν η τιμή αυξανόταν στα 25 $ ανά μονάδα. Εφόσον σε αυτή την περίπτωση επαληθεύεται ότι x = $25 > $20, τότε είναι μια παρέκταση. Και πάλι, τα δεδομένα είναι:

Αντικατάσταση:

Επομένως, η παρέκταση προβλέπει ότι εάν η τιμή αυξηθεί στα 25 $, η ζήτηση μειώνεται στο μισό από αυτό που ήταν στα 20 $.

βιβλιογραφικές αναφορές

Ο Αλόνσο. (2006, 13 Φεβρουαρίου). 3 Μέθοδοι παρεμβολής από σημεία . Πανεπιστήμιο της Μαδρίτης. https://www.um.es/geograf/sigmur/temariohtml/node43_mn.html

Gonza, D. (2016, Σεπτέμβριος). Ενότητα: παρεμβολή και παρέκταση δεδομένων . doloresgonza.files. https://doloresgonza.files.wordpress.com/2016/09/interpolacion-1.pdf

ΛεςΚανάρης. (ν). Η διαφορά μεταξύ παρέκτασης και παρεμβολής – Ενδιαφέρον – 2022 . https://us.leskanaris.com/3668-the-difference-between-extrapolation-and-interpolation.html

Pinzón, J. (2013, 9 Οκτωβρίου). Παρεμβολή και παρέκταση . julianapinzon. https://julianapinzon.wordpress.com/interpolacion-y-extrapolacion/

UNIGAL. (2021, 14 Σεπτεμβρίου). Γραμμικός τύπος παρεμβολής, ορισμός, παραδείγματα και άλλα . https://unigal.mx/formula-de-interpolacion-lineal-definicion-ejemplos-y-mas/