Διαφορά μεταξύ των τυπικών αποκλίσεων ενός δείγματος και ενός πληθυσμού

Κατά τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης, πρέπει να ληφθούν υπόψη δύο καταστάσεις: η τυπική απόκλιση ενός πληθυσμού ή ενός συνόλου τιμών και η τυπική απόκλιση ενός δείγματος.

Ας θυμηθούμε, πριν προχωρήσουμε στους δύο ορισμούς, ότι η τυπική απόκλιση σ είναι μια παράμετρος που επιτρέπει την αξιολόγηση της διασποράς ενός συνόλου τιμών . Εάν υπολογιστεί ο μέσος όρος ενός συνόλου τιμών, η τυπική απόκλιση αξιολογεί τη διαφορά των τιμών στο σύνολο από τον μέσο όρο. Και ο μέσος όρος ενός συνόλου n τιμών ορίζεται ως το άθροισμα όλων αυτών διαιρούμενο με τον αριθμό των n τιμών . Ο γενικός τύπος που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης σ φαίνεται παρακάτω. συνίσταται στην αφαίρεση από κάθε τιμή του συνόλου που αναλύουμε, που σημειώνουμε με τον δείκτη i, ο μέσος όρος όλων των τιμών. τετραγωνίζουμε καθεμία από αυτές τις διαφορές και τις προσθέτουμε. Διαιρούμε το αποτέλεσμα με τον αριθμό των τιμών στο σύνολο μείον 1 και υπολογίζουμε την τετραγωνική ρίζα αυτής της τιμής.

Αν και και οι δύο ορισμοί της τυπικής απόκλισης αξιολογούν τη μεταβλητότητα, υπάρχουν εννοιολογικές διαφορές μεταξύ του υπολογισμού σε έναν πληθυσμό και σε ένα δείγμα. Η διαφορά έχει να κάνει με τη διάκριση μεταξύ μιας στατιστικής μεταβλητής και μιας μαθηματικής παραμέτρου. Εάν συλλέγονται δεδομένα από όλα τα μέλη ενός πληθυσμού ή μελετάται ένα καθορισμένο σύνολο δεδομένων, αυτός είναι ο υπολογισμός της τυπικής απόκλισης ενός πληθυσμού. Εάν αναλύετε δεδομένα που αντιπροσωπεύουν δείγμα από μεγαλύτερο πληθυσμό, είναι ο υπολογισμός της τυπικής απόκλισης ενός δείγματος. Το παρακάτω σχήμα δείχνει γραφικά τη διαφορά. Η τυπική απόκλιση ενός πληθυσμού είναι μια μαθηματική παράμετρος με καθορισμένη τιμή. Η τυπική απόκλιση ενός δείγματος είναι μια στατιστική παράμετρος που αξιολογεί ένα σύνολο δεδομένων των οποίων το αποτέλεσμα προβάλλεται σε ένα μεγαλύτερο σύνολο. Αυτή η αξιολόγηση εξαρτάται από το δείγμα, δεν είναι συγκεκριμένη τιμή, όπως συμβαίνει στην περίπτωση ενός πληθυσμού.

Ποιοτικά η διαφορά στον ορισμό συνεπάγεται έναν ελαφρώς διαφορετικό υπολογισμό. Στην περίπτωση της τυπικής απόκλισης ενός δείγματος, η διαφορά μεταξύ κάθε τιμής και του τετραγωνικού μέσου όρου διαιρείται με τον αριθμό των τιμών μείον 1 ( n – 1), όπως φαίνεται στον προηγούμενο τύπο. Στην περίπτωση της τυπικής απόκλισης ενός πληθυσμού διαιρείται με n .

Παράδειγμα

Ας δούμε ένα παράδειγμα για να διορθώσετε ιδέες. Ας πάρουμε ένα σύνολο τιμών και ας υπολογίσουμε την τυπική απόκλιση σύμφωνα με τους δύο ορισμούς. Η ομάδα έχει ως εξής και περιέχει 5 τιμές ( n = 5), οι οποίες είναι οι εξής:

1, 2, 4, 5, 8

Ο μέσος όρος αυτών των τιμών έχει την ακόλουθη έκφραση

(1 + 2 + 4 + 5 + 8)/5 = 20/5 = 4

Οι διαφορές κάθε τιμής και του μέσου όρου στο τετράγωνο αντιπροσωπεύονται με την ακόλουθη σειρά

(1 – 4) ² = 9

(2 – 4) ² = 4

(4 – 4) ² = 0

(5 – 4) ² = 1

(8 – 4) ² = 16

Το άθροισμα των πέντε τιμών είναι 30.

Στην περίπτωση του υπολογισμού της τυπικής απόκλισης του πληθυσμού, αυτή η τιμή πρέπει να διαιρεθεί με το n , 5 σε αυτό το παράδειγμα και το αποτέλεσμα είναι 6 . Στην περίπτωση της τυπικής απόκλισης του δείγματος είναι απαραίτητο να διαιρεθεί μεταξύ n – 1. 4 σε αυτήν την περίπτωση και το αποτέλεσμα είναι 7,5 . Για να ολοκληρώσουμε τον υπολογισμό πρέπει να λάβουμε την τετραγωνική ρίζα. περίπου 2.4495 αν ήταν πληθυσμός και περίπου 2.7386 αν ήταν δείγμα.

Κρήνη

Yadolah Dodge. Η Συνοπτική Εγκυκλοπαίδεια της Στατιστικής . Νέα Υόρκη: Springer, 2010.