Πώς να υπολογίσετε την αναμενόμενη τιμή στη ρουλέτα

Κατά πάσα πιθανότητα, η αναμενόμενη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής αναφέρεται στη μέση τιμή ενός μεγάλου αριθμού φορών που εμφανίζεται η μεταβλητή . Υπολογίζεται ως σταθμισμένος μέσος όρος όλων των πιθανών τιμών της τυχαίας μεταβλητής, όπου ο συντελεστής στάθμισης δεν είναι τίποτα άλλο από την πιθανότητα να συμβεί κάθε τιμή.

Η πιθανότητα είναι ένας τομέας μελέτης μεγάλης σημασίας στον τομέα των τυχερών παιχνιδιών, μεταξύ των οποίων η ρουλέτα είναι μια από τις πιο δημοφιλείς και πιο εύκολα κατανοητές.

Τι είναι η ρουλέτα και πώς παίζεται;

Ένας τυπικός αμερικάνικος τροχός ρουλέτας αποτελείται από έναν τροχό με μια σειρά υποδοχών με την ένδειξη 1 έως 36, 18 από τις οποίες είναι μαύρες ενώ οι άλλες 18 είναι κόκκινες. Επιπλέον, υπάρχουν δύο πράσινες κυψέλες ή υποδοχές που βρίσκονται στα απέναντι άκρα του τροχού που προσδιορίζονται με τους αριθμούς 0 και 00 αντίστοιχα, για συνολικά 38 κελιά.

Υπάρχουν και γαλλικές ρουλέτες, οι οποίες δεν έχουν το κουτί 00 και άρα έχουν 37 κουτιά συνολικά.

Το παιχνίδι αποτελείται από το γύρισμα του τροχού ενώ μια μικρή μπάλα ρίχνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Καθώς ο κλώστης και η μπάλα επιβραδύνουν, η μπάλα καταλήγει να προσγειώνεται σε μία από τις 37 ή 38 τσέπες ή υποδοχές. Προτού η μπάλα ακουμπήσει, οι συμμετέχοντες μπορούν να κάνουν διαφορετικούς τύπους στοιχημάτων. Μερικά από τα πιθανά στοιχήματα είναι:

• Ποντάρετε σε έναν συγκεκριμένο αριθμό (συνήθως πληρώνει 35:1)
• Ποντάρετε σε δύο διπλανούς αριθμούς (γενικά πληρώνει 17:1)
• Ποντάρετε σε κόκκινο ή μαύρο (συνήθως πληρώνει 1:1)
• Μονοί ή ζυγοί αριθμοί (συνήθως πληρώνει 1:1)
• Χαμηλό ή υψηλό στοίχημα, δηλαδή οι πρώτοι 18 αριθμοί (από το 1 έως το 18) ή οι τελευταίοι 18 (από το 19 στο 36) (γενικά πληρώνει 1:1)
• First Dozen (1-12) (συνήθως πληρώνει 2:1)
• Δεύτερη δωδεκάδα (από 13 έως 24) (συνήθως πληρώνει 2:1)
• Τρίτη δωδεκάδα (από 25 έως 36) (συνήθως πληρώνει 2:1)

Όπως μπορείτε να δείτε, κάθε ένα από αυτά τα στοιχήματα προσφέρει μια συγκεκριμένη πληρωμή, η οποία εξαρτάται από την πιθανότητα να συμβεί.

Στη συνέχεια, θα υπολογίσουμε την αναμενόμενη αξία των κερδών σύμφωνα με τους διαφορετικούς τύπους στοιχημάτων που μπορούμε να κάνουμε σε μια αμερικανική ρουλέτα. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν εδώ μεταβάλλονται εύκολα στη γαλλική ρουλέτα, απλώς αλλάζοντας τον συνολικό αριθμό των πιθανών αποτελεσμάτων στους παρονομαστές όλων των πιθανοτήτων.

Σε όλες τις περιπτώσεις, θα προσδιορίσουμε την αναμενόμενη αξία του κέρδους για κάθε δολάριο που στοιχηματίζουμε, αν και η αριθμητική αξία μπορεί να μεταφερθεί σε οποιοδήποτε άλλο νόμισμα. Επιπλέον, ο πολλαπλασιασμός αυτής της αναμενόμενης αξίας με την πραγματική αξία του στοιχήματος θα παράγει την αναμενόμενη αξία αυτού του στοιχήματος. Έτσι, αν αντί να ποντάρουμε $1 ποντάρουμε $100, πρέπει απλώς να πολλαπλασιάσουμε την αναμενόμενη αξία του στοιχήματος $1 επί 100.

Φόρμουλα για τον υπολογισμό της αναμενόμενης αξίας ενός στοιχήματος στη ρουλέτα

Η τυχαία μεταβλητή της οποίας η αναμενόμενη τιμή θέλουμε να προσδιορίσουμε είναι το χρηματικό ποσό που θα κερδίσουμε, κατά μέσο όρο, αν στοιχηματίσουμε το ίδιο στοίχημα στη ρουλέτα πολλές φορές. Όταν κάνουμε ένα στοίχημα, διεξάγουμε ένα πείραμα που έχει μόνο δύο πιθανά αποτελέσματα: κερδίζουμε ή χάνουμε. Θα κερδίσουμε αν η μπάλα πέσει σε ένα κουτί που ταιριάζει με το στοίχημά μας, και διαφορετικά θα χάσουμε.

Αν ονομάσουμε X το κέρδος που προκύπτει από το στοίχημα (την τυχαία μεταβλητή μας), p την πιθανότητα επιτυχίας, x ₁ το κέρδος που θα έχουμε αν κερδίσουμε, q την πιθανότητα αποτυχίας και x ₂ το κέρδος (ή τη ζημιά) που θα έχουμε αν χάνουμε, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη αξία ενός στοιχήματος ως:

Τώρα θα δούμε πώς να εφαρμόσουμε αυτόν τον τύπο στα διάφορα στοιχήματα που μπορούμε να κάνουμε.

Αναμενόμενη αξία στοιχήματος σε έναν συγκεκριμένο αριθμό στη ρουλέτα

Ας υποθέσουμε ότι στοιχηματίζουμε $1 σε έναν συγκεκριμένο αριθμό (0, 00, 1, 2, 3,…).

Η πληρωμή για αυτό το στοίχημα, αν κερδίσουμε, είναι 35 προς 1, που σημαίνει ότι παίρνουμε 35 $ για κάθε 1 $ που στοιχηματίζουμε, συν ότι παίρνουμε το 1 $ που στοιχηματίζουμε. Στη συνέχεια, θα πούμε ότι η τιμή της τυχαίας μεταβλητής μας σε περίπτωση επιτυχίας (x ₁ ) θα είναι, σε αυτήν την περίπτωση, +$35, καθώς αυτό είναι το καθαρό κέρδος. Η πιθανότητα επιτυχίας (p) είναι 1/38, αφού υπάρχουν συνολικά 38 διαφορετικά τετράγωνα στα οποία μπορεί να πέσει η μπάλα ενώ μόνο 1 με το οποίο θα κερδίσουμε.

Από την άλλη πλευρά, εάν η μπάλα πέσει σε οποιονδήποτε άλλο αριθμό, χάνουμε το στοίχημα, οπότε το σπίτι κρατά το $1 που ποντάραμε. Έτσι, το «κέρδος» μας θα είναι –1$ αφού στην πραγματικότητα χάνουμε χρήματα. Η πιθανότητα να χάσουμε (q) είναι 37/38, αφού οποιοδήποτε κουτί εκτός από τον αριθμό που ποντάρουμε θα μας κάνει να χάσουμε. Με αυτά τα δεδομένα, μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο και να προσδιορίσουμε την αναμενόμενη αξία αυτού του στοιχήματος:

Με άλλα λόγια, η αναμενόμενη αξία του στοιχήματος σε οποιονδήποτε συγκεκριμένο αριθμό στη ρουλέτα είναι απώλεια 5,3 λεπτών για κάθε δολάριο που στοιχηματίζουμε.

Αναμενόμενη αξία στοιχηματισμού σε δύο διπλανούς αριθμούς

Ας υποθέσουμε ότι ποντάραμε $1 τοποθετώντας μια μάρκα ανάμεσα σε δύο γειτονικούς αριθμούς, όπως το 2 και το 3 ή το 17 και το 20 (που είναι κάθετα γειτονικά).

Η πληρωμή για αυτό το στοίχημα, σε αντίθεση με το προηγούμενο, είναι 17 προς 1, πράγμα που σημαίνει ότι λαμβάνουμε 17 $ πίσω για κάθε 1 $ που στοιχηματίζουμε, συν λαμβάνουμε το 1 $ πίσω. Η νίκη θα είναι, σε αυτήν την περίπτωση, +$17, ενώ η πιθανότητα επιτυχίας (p) θα είναι 2/38, αφού υπάρχουν δύο αριθμοί που θα μας κάνουν να κερδίσουμε ενώ υπάρχουν ακόμη τα ίδια 38 κελιά συνολικά.

Από την άλλη, αν χάσουμε, χάνουμε ξανά το ίδιο $1 που ποντάραμε, αλλά η πιθανότητα να χάσουμε (q) είναι τώρα 36/38. Η αναμενόμενη αξία αυτού του στοιχήματος είναι τότε:

Και πάλι, αναμένεται ότι ποντάροντας σε οποιοδήποτε ζεύγος διπλανών αριθμών στη ρουλέτα πολλές φορές, κατά μέσο όρο θα χάνουμε 5,3 σεντς για κάθε δολάριο που ποντάρουμε.

Αναμενόμενη αξία στοιχήματος κατά δεκάδες

Υπάρχουν έξι διαφορετικά στοιχήματα που μπορούμε να κάνουμε στη ρουλέτα που περιλαμβάνουν δώδεκα πιθανά ευνοϊκά αποτελέσματα. τρία από αυτά αποτελούνται από στοιχήματα στην πρώτη, δεύτερη ή τρίτη ντουζίνα αριθμούς (χωρίς το 0 ή το 00) και τα άλλα τρία αποτελούνται από ποντάρισμα σε μία από τις τρεις στήλες στις οποίες οι αριθμοί είναι διατεταγμένοι στο τραπέζι της ρουλέτας.

Η πληρωμή για οποιοδήποτε από αυτά τα στοιχήματα είναι 2 προς 1, που σημαίνει ότι κερδίζουμε 2 $ για κάθε 1 $ που στοιχηματίζουμε και παίρνουμε πίσω το 1 $. Η πιθανότητα επιτυχίας είναι 12/38 αφού ποντάρουμε σε ένα καλάθι 12 διαφορετικών αριθμών. Τέλος, η πιθανότητα αποτυχίας είναι 26/38 με την ίδια απώλεια $1 (ή κέρδος –$1, που είναι το ίδιο πράγμα).

Η αναμενόμενη τιμή της τυχαίας μεταβλητής μας είναι, σε αυτήν την περίπτωση:

Αναμενόμενη αξία στοιχηματισμού σε κόκκινο ή μαύρο, ζυγό ή μονό, ή χαμηλό ή υψηλό ποντάρισμα

Τέλος, υπάρχουν έξι άλλα διαφορετικά στοιχήματα που μπορούμε να κάνουμε στη ρουλέτα που παρουσιάζουν την ίδια πιθανότητα επιτυχίας και την ίδια πληρωμή αν κερδίσουμε, καθώς και την ίδια πιθανότητα αποτυχίας και την ίδια απώλεια χρημάτων αν χάσουμε, θα υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή τους με τον ίδιο τρόπο για όλους. Αυτά τα στοιχήματα είναι:

• Ποντάρετε στο κόκκινο.
• στοίχημα στο μαύρο
• Ποντάρετε σε ζυγούς αριθμούς
• Ποντάρετε σε μονούς αριθμούς
• Ποντάρετε στους χαμηλότερους 18 αριθμούς (οι αριθμοί από το 1 έως το 18)
• Ποντάρετε στους ψηλούς 18 αριθμούς (οι αριθμοί από το 19 έως το 36)

Αν και μοιάζουν με πολύ διαφορετικά στοιχήματα, στην πραγματικότητα είναι ακριβώς τα ίδια. Όλοι πληρώνουν 1 $ για κάθε 1 $ που στοιχηματίζεται, συν 1 $ που επιστρέφεται, επομένως όλοι έχουν +1 $.

Επιπλέον, όλοι έχουν την ίδια πιθανότητα επιτυχίας (και, συμπληρωματικά, αποτυχίας). Για παράδειγμα, οι μισοί από τους αριθμούς από το 1 έως το 36 ταυτίζονται με το κόκκινο χρώμα ενώ οι άλλοι μισοί με το μαύρο, επομένως υπάρχει πιθανότητα 18/38 να εμφανιστεί κόκκινο ή μαύρο (θυμηθείτε ότι τα κελιά του 0 και 00 είναι πράσινα, ολοκληρώνοντας έτσι τα συνολικά 38 πιθανά αποτελέσματα).

Όσον αφορά τους περιττούς και ζυγούς αριθμούς, εφόσον υπάρχουν 36 διαδοχικοί αριθμοί, οι μισοί θα είναι άρτιοι αριθμοί (2, 4, 6, 8, 10, 12, ,…,34 και 36) και οι άλλοι μισοί θα είναι περιττοί (1, 3, 5, 7, 9, 11, …,33 και 35). Πρέπει να θυμόμαστε ότι το μηδέν δεν θεωρείται άρτιος ή περιττός αριθμός, επομένως ούτε το πλαίσιο 0 ούτε το 00 αποτελούν μέρος κανενός από τα δύο αποτελέσματα.

Τέλος, υπάρχουν 18 χαμηλοί αριθμοί και 18 υψηλοί αριθμοί, οπότε η πιθανότητα να ληφθεί το ένα ή το άλλο αποτέλεσμα είναι επίσης 18/38.

Από την άλλη πλευρά, η αποτυχία σε όλες αυτές τις περιπτώσεις περιλαμβάνει το άλλο μισό των αριθμών που δεν υπολογίζονται στο στοίχημα συν 0 και 00, επομένως υπάρχουν συνολικά 20 πιθανές δυσμενείς εκβάσεις. Αυτό συνεπάγεται πιθανότητα αποτυχίας 20/38.

Η αναμενόμενη αξία οποιουδήποτε από αυτά τα στοιχήματα είναι τότε:

Πώς ερμηνεύονται αυτά τα αποτελέσματα;

Αυτό το αποτέλεσμα δεν σημαίνει ότι αν μπούμε σε ένα καζίνο και ποντάρουμε 1$ σε 21, για παράδειγμα, θα χάσουμε 0,053$. Στην πραγματικότητα, αν παίξουμε μόνο μία φορά , είτε θα πάμε σπίτι 1$ λιγότερο ή 35$ περισσότερα.

Αυτό που σημαίνει αυτό το αποτέλεσμα είναι ότι αν ποντάρουμε ρουλέτα πολλές φορές και ποντάρουμε πάντα σε έναν μόνο αριθμό, μερικές φορές θα κερδίζουμε 35 $ και άλλες φορές θα χάνουμε 1 $, αλλά κατά μέσο όρο θα καταλήγουμε να χάνουμε 0,053 $ για κάθε δολάριο που στοιχηματίζεται.

Αυτό το αποτέλεσμα επιβεβαιώνει το δημοφιλές ρητό ότι «η τράπεζα πάντα κερδίζει», αναφερόμενος στο γεγονός ότι, ακόμα κι αν ένα καζίνο πληρώνει μερικές φορές ένα τζάκποτ σε κάποιον τυχερό παίκτη, θα καταλήγουν πάντα να κερδίζουν ό,τι έχασαν, και κάτι περισσότερο από αυτό. όλα τα μικρά στοιχήματα στα οποία χάνουν οι συμμετέχοντες.

βιβλιογραφικές αναφορές

DeVore, J. (2002). Probability and Statistics for Engineering and Sciences (5η έκδ.). Thomson International.

Elisa, M. (2021, 23 Απριλίου). Πώς να κερδίσετε στη Ρουλέτα: Εισαγωγή στις πιθανότητες και τις αναμενόμενες αξίες . Μεσαίο. https://www.cantorsparadise.com/how-to-win-at-roulette-intro-to-probabilities-and-expected-values-f23baed1065e

Αναμενόμενη τιμή στα στατιστικά στοιχεία: Ορισμός και υπολογισμοί . (2021, 8 Ιουνίου). Στατιστικά Πώς να. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/

Μέση (αναμενόμενη τιμή), διακύμανση και τυπική απόκλιση διακριτής τυχαίας μεταβλητής | matermobile . (2021, 1 Ιανουαρίου). MateMobile. https://matemovil.com/media-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-discreta/

Δύναμη Μελέτης. (2021, 8 Ιουνίου). Αναμενόμενη τιμή στα στατιστικά στοιχεία: Ορισμός και υπολογισμοί [Βίντεο]. Στατιστικά Πώς να. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/