Tabla de Contenidos
Ένα σύνολο αριθμών είναι αμέτρητο όταν δεν είναι δυνατό να εκχωρηθεί ένας μοναδικός φυσικός αριθμός σε όλα τα στοιχεία του . Με άλλα λόγια, αμέτρητα σύνολα είναι αυτά που δεν έχουν αντιστοιχία ένα προς ένα με τους φυσικούς αριθμούς.
Συνήθως χρησιμοποιούμε φυσικούς αριθμούς διαισθητικά για να μετρήσουμε, και αυτό το κάνουμε εκχωρώντας έναν φυσικό αριθμό σε κάθε στοιχείο της ομάδας που θέλουμε να μετρήσουμε, διαδοχικά. Για παράδειγμα, όταν μετράμε τον αριθμό των δακτύλων που έχουμε σε ένα χέρι, εκχωρούμε σε κάθε ένα από τα δάχτυλα έναν μοναδικό φυσικό αριθμό που αρχίζει με 1 και τελειώνει με 5. Στη συνέχεια γνωρίζουμε ότι υπάρχουν 5 δάχτυλα στα χέρια, επειδή αυτή είναι η υψηλότερη τιμή αναθέτουμε στα δάχτυλα. Μετράμε δηλαδή τα δάχτυλα.
Αυτή η ιδέα δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε ορισμένα σύνολα αριθμών. Σε ορισμένες περιπτώσεις, τα σύνολα είναι τόσο μεγάλα που ακόμη και η χρήση άπειρων φυσικών αριθμών δεν θα ήταν αρκετή για την αρίθμηση όλων των στοιχείων του συνόλου. Δεδομένου ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι άπειρο, η ιδέα ότι υπάρχουν αμέτρητα σύνολα υποδηλώνει την ιδέα ότι υπάρχουν μερικά άπειρα που είναι μεγαλύτερα από άλλα και μόνο εκείνα τα σύνολα που έχουν άπειρο ίδιου “μέγεθος” με το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι μετρήσιμοι.οι φυσικοί αριθμοί. Ο αριθμός των στοιχείων σε ένα σύνολο ονομάζεται καρδινάλιος, επομένως μη μετρήσιμα σύνολα είναι εκείνα των οποίων το βασικό είναι μεγαλύτερο από αυτό των φυσικών αριθμών.
Μερικές ιδιότητες μετρήσιμων και μη μετρήσιμων συνόλων
Για να κατανοήσετε γιατί ορισμένα σύνολα είναι μετρήσιμα και άλλα όχι, βοηθάει να γνωρίζετε ορισμένες ιδιότητες των συνόλων:
- Αν το Α είναι υποσύνολο του Β και το Α είναι αμέτρητο, τότε το Β είναι επίσης μη μετρήσιμο. Με άλλα λόγια, κάθε σύνολο που περιέχει ένα μη μετρήσιμο σύνολο πρέπει από μόνο του να είναι μη μετρήσιμο.
- Εάν το Α είναι μη μετρήσιμο και το Β είναι οποιοδήποτε σύνολο (μετρήσιμο ή όχι), τότε η ένωση AUB είναι επίσης μη μετρήσιμη.
- Αν το Α είναι μη μετρήσιμο και το Β είναι οποιοδήποτε σύνολο, τότε το καρτεσιανό γινόμενο A x B είναι επίσης μη μετρήσιμο.
- Αν το Α είναι άπειρο (ακόμα και μετρήσιμα άπειρο), τότε το σύνολο ισχύος του Α είναι αμέτρητο.
Παραδείγματα των πιο κοινών μη μετρήσιμων συνόλων
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών (R)
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι το πρώτο παράδειγμα ενός αμέτρητου συνόλου. Αλλά πώς ξέρουμε ότι είναι αμέτρητοι αν έχουν άπειρα στοιχεία και έχουμε επίσης άπειρους φυσικούς αριθμούς να εκχωρήσουμε; Το κάνουμε αυτό χάρη στο διαγώνιο όρισμα του Cantor.
Cantor’s Diagonal
Το διαγώνιο όρισμα του Cantor μας επιτρέπει να δείξουμε ότι το υποσύνολο των πραγματικών αριθμών που βρίσκεται ανάμεσα σε δύο καλά καθορισμένα όρια, για παράδειγμα, μεταξύ 0 και 1, είναι ένα μη μετρήσιμο σύνολο. Κατά συνέπεια, από τις ήδη αναφερθείσες ιδιότητες των μη μετρήσιμων συνόλων, το πλήρες σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών πρέπει επίσης να είναι αμέτρητο.
Ας υποθέσουμε ότι δημιουργούμε μια άπειρη λίστα με πραγματικούς αριθμούς μεταξύ 0 και 1. Είναι εντελώς άσχετο πώς κατασκευάζεται αυτή η λίστα. Το μόνο που έχει σημασία είναι ότι όλοι οι αριθμοί είναι μοναδικοί. Τώρα, θα αντιστοιχίσουμε σε κάθε έναν από αυτούς τους αριθμούς έναν μοναδικό φυσικό αριθμό, που ξεκινά από το 1 και λειτουργεί διαδοχικά. Ένα παράδειγμα αυτής της λίστας παρουσιάζεται στον ακόλουθο πίνακα:
| Οχι. | R | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | 8 | 3 | 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5… |
| … | … |
Σε αυτό το σημείο, εκχωρούμε έναν μοναδικό φυσικό αριθμό σε όλους τους αριθμούς της λίστας μας. Εφόσον αυτή η λίστα είναι άπειρη και κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε έναν φυσικό αριθμό, τότε «δαπανάμε» όλους τους φυσικούς αριθμούς αυτού του πίνακα. Αυτό που έκανε ο Canto ήταν να δείξει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας επιπλέον πραγματικός αριθμός που δεν περιλαμβάνεται σε αυτήν τη λίστα και επομένως δεν μπορεί να μετρηθεί. Αυτός ο αριθμός δημιουργείται παίρνοντας όλα τα στοιχεία της διαγωνίου που διασχίζει τον πίνακα, προσθέτοντας στη συνέχεια 1. Δηλαδή, ο νέος αριθμός θα ξεκινά με το πρώτο ψηφίο του πρώτου αριθμού αυξημένο κατά μία μονάδα, και στη συνέχεια θα έχει το δεύτερο ψηφίο του ο δεύτερος αριθμός αυξήθηκε κατά μία μονάδα, μετά το τρίτο ψηφίο του τρίτου αριθμού και ούτω καθεξής.
Στον παρακάτω πίνακα, τα στοιχεία στη διαγώνιο επισημαίνονται με έντονη γραφή και ο αριθμός που προκύπτει από την πράξη προστίθεται στην τελευταία σειρά:
| Οχι. | R | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | 8 | 3 | 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5 … |
| … | … | 2+1 | 2+1 | 0+1 | 8+1 | 7+1 | 1+1 | 1+1 | 5+1 |
| 0, | 3 | 3 | 1 | 9 | 8 | 2 | 2 | 6… |
Ο αριθμός που προκύπτει είναι 0,33198226…
Όπως μπορούμε να δούμε, εφόσον το πρώτο ψηφίο του νέου αριθμού (που είναι το 3) είναι διαφορετικό από το πρώτο ψηφίο του πρώτου αριθμού στη λίστα (που είναι το 2), τότε θα είναι διαφορετικός αριθμός από τον πρώτο, ακόμα κι αν όλοι οι άλλοι αριθμοί αριθμοί είναι ακριβώς οι ίδιοι. Εφόσον το δεύτερο ψηφίο (3) είναι διαφορετικό από το δεύτερο ψηφίο του δεύτερου αριθμού (2), τότε θα είναι διαφορετικό και από τον δεύτερο αριθμό.
Αυτό το ίδιο όρισμα μπορεί να συνεχιστεί επ’ αόριστον προχωρώντας κατά μήκος της διαγώνιας, διασφαλίζοντας ότι ο αριθμός που προκύπτει θα είναι διαφορετικός κατά τουλάχιστον ένα ψηφίο από όλους τους άπειρους αριθμούς του πίνακα.
Ωστόσο, δεδομένου ότι έχουμε ήδη «δαπανήσει» ή εκχωρήσει όλους τους φυσικούς αριθμούς πριν δημιουργήσουμε αυτόν τον νέο αριθμό, τότε δεν έχουμε κανένα μοναδικό φυσικό αριθμό για να του εκχωρήσουμε, οπότε συμπεραίνουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών μεταξύ 0 και 1 και επομένως επέκταση όλων των πραγματικών αριθμών, είναι ένα αμέτρητο σύνολο.
Το σύνολο των υπερβατικών αριθμών
Οι υπερβατικοί αριθμοί είναι αυτοί που ανήκουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, αλλά δεν είναι αλγεβρικοί αριθμοί. Αυτό σημαίνει ότι δεν είναι ρίζες μιας πολυωνυμικής εξίσωσης της μορφής:
όπου όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι. Ας ονομάσουμε Α το σύνολο όλων των αλγεβρικών πραγματικών αριθμών και Τ τους υπόλοιπους πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή τους υπερβατικούς. Είναι εύκολο να δούμε ότι το συνολικό σύνολο των πραγματικών αριθμών, R , είναι η ένωση των συνόλων A και T , δηλαδή:
Μπορεί να φανεί ότι το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι μετρήσιμο. Επίσης, έχουμε ήδη αποδείξει ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι αμέτρητοι. Εφόσον το R είναι μη μετρήσιμο, δεν μπορεί να σχηματιστεί από την ένωση δύο μετρήσιμων συνόλων. Γνωρίζοντας ότι το Α είναι μετρήσιμο, συμπεραίνουμε ότι το Τ είναι αμέτρητο.
Το σύνολο των δυαδικών ακολουθιών αριθμών
Μια ακολουθία δυαδικών αριθμών είναι απλώς μια συμβολοσειρά από 0 και 1 οποιουδήποτε μήκους. Αν ενώσουμε όλες τις πιθανές ακολουθίες δυαδικών αριθμών, παίρνουμε το σύνολο των ακολουθιών δυαδικών αριθμών. Αυτό δεν είναι τίποτα περισσότερο από ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών στους οποίους τα μόνα ψηφία είναι το 0 και το 1.
Είναι πολύ εύκολο να δείξουμε ότι αυτό το σύνολο αριθμών είναι αμέτρητο χρησιμοποιώντας το ίδιο όρισμα Cantor με το οποίο δείχνουμε ότι το R είναι αμέτρητο. Η μόνη προειδοποίηση είναι ότι αντί να προσθέσουμε 1 στους αριθμούς στη διαγώνιο, απλώς αντιστρέφουμε την τιμή τους, αντικαθιστώντας το 0 με το 1 και αντίστροφα.
Όπως και πριν, η προκύπτουσα δυαδική ακολουθία δεν θα μοιάζει με οποιοδήποτε άπειρο σύνολο ακολουθιών που μπορεί να έχουμε συμπεριλάβει στην αρχική λίστα, επομένως είναι ένα αμέτρητο σύνολο.
Άλλες ακολουθίες αριθμών με διαφορετικές βάσεις
Το όρισμα από ακολουθίες δυαδικών αριθμών και από πραγματικούς αριθμούς μπορεί να επεκταθεί σε οποιαδήποτε ακολουθία αριθμών οποιασδήποτε βάσης. Με αυτή την έννοια, το σύνολο όλων των ακολουθιών δεκαεξαδικών αριθμών θα είναι αμέτρητο. έτσι θα είναι το σύνολο των ακολουθιών τριαδικών, τεταρτοταγών αριθμών κ.λπ.
βιβλιογραφικές αναφορές
Συνήθη παραδείγματα αμέτρητων συνόλων . (2020, 16 Μαρτίου). PeoplePerProject. https://en.peopleperproject.com/posts/9312-common-examples-of-uncountable-sets
Ivorra Castillo, C. (sf). ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ . UV.es. https://www.uv.es/ivorra/Libros/TC.pdf
Libretexts. (2021, 7 Ιουλίου). 1.4: Αριθμήσιμα και μη μετρήσιμα σύνολα . Μαθηματικά LibreTexts. https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/An_Introduction_to_Number_Theory_(Veerman)/01%3A_A_Quick_Tour_of_Number_Theory/1.04%3A_Uncountable_and
Schwartz, R. (2007, 12 Νοεμβρίου). Μετρήσιμα και μη μετρήσιμα σύνολα . Brown Math. https://www.math.brown.edu/reschwar/MFS/handout8.pdf
Αμέτρητα σύνολα | Παραδείγματα μη μετρήσιμων συνόλων . (2020, 21 Σεπτεμβρίου). Cuemath. https://www.cuemath.com/learn/Mathematics/uncountable-sets/
