Αυτός είναι ο τρόπος υπολογισμού του ποσοστού σφάλματος

Στην επιστήμη και τη μηχανική, το ποσοστό σφάλματος , που ονομάζεται επίσης ποσοστό σφάλματος ή ποσοστό σχετικού σφάλματος, εκφράζει τη διαφορά μεταξύ μιας πειραματικά προσδιορισμένης ή εκτιμώμενης τιμής και μιας γνωστής, θεωρητικής ή αποδεκτής-αληθινής τιμής, ως ποσοστό της τελευταίας. Υπό αυτή την έννοια, το ποσοστό σφάλματος είναι ένα σχετικό μέτρο της ακρίβειας της εν λόγω εκτίμησης ή πειραματικού προσδιορισμού, εκφρασμένο ως ποσοστό.

Το ποσοστό σφάλματος συνήθως αντιπροσωπεύεται με το σύμβολο %E, EP (για ποσοστό σφάλματος) ή ERP (για σχετικό ποσοστό σφάλματος), ανάλογα με το γνωστικό πεδίο στο οποίο χρησιμοποιείται. Όπως θα δούμε σε αυτό το άρθρο, μπορεί να υπολογιστεί με διαφορετικούς τρόπους, ανάλογα με τα διαθέσιμα δεδομένα.

Χρησιμότητα ποσοστιαίων σφαλμάτων

Όντας ένα σχετικό σφάλμα εκφρασμένο ως ποσοστό, το ποσοστό σφάλματος μας επιτρέπει να έχουμε μια σαφέστερη ιδέα για το μέγεθος του σφάλματος που διαπράχθηκε κατά τη διάρκεια μιας εκτίμησης ή κατά τη διάρκεια ενός πειραματικού προσδιορισμού κάποιου μεγέθους ενδιαφέροντος.

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι όταν αναφέρει τον αριθμό των νέων επιβεβαιωμένων κρουσμάτων κατά τη διάρκεια μιας πανδημίας, η χώρα Α αναφέρει 5.000 νέα κρούσματα όταν στην πραγματικότητα έχει 10.000, ενώ η χώρα Β αναφέρει 45.000 νέα κρούσματα όταν έχει στην πραγματικότητα 50.000. Όπως φαίνεται, και οι δύο χώρες έκαναν λάθος κατά την αναφορά των νέων κρουσμάτων και και στις δύο περιπτώσεις το σφάλμα ήταν 5.000 λιγότερες περιπτώσεις από τις πραγματικές.

Ωστόσο, κοιτάζοντας μόνο τους αριθμούς, είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι, συνολικά, η χώρα Β ήταν πιο ακριβής από τη χώρα Α στις αναφορές της, καθώς, σε σύγκριση με τον συνολικό αριθμό των πραγματικών περιπτώσεων (που είναι 50.000), το σφάλμα είναι πολύ μικρότερο από το σφάλμα για τη χώρα Α.

Στην περίπτωση αυτού του παραδείγματος, είναι πολύ εύκολο να πούμε ποια από τις δύο αναφορές ήταν πιο ακριβής, καθώς και τα δύο απόλυτα σφάλματα ήταν τα ίδια και μόνο ο πραγματικός αριθμός των περιπτώσεων άλλαξε. Ωστόσο, αυτό συμβαίνει σπάνια και εάν τόσο ο αριθμός των πραγματικών περιπτώσεων όσο και ο αριθμός των αναφερόμενων περιπτώσεων ήταν διαφορετικοί, η σύγκριση δεν θα ήταν τόσο απλή.

Εδώ είναι χρήσιμα τα σχετικά λάθη, και κυρίως το ποσοστό, χάρη στο γεγονός ότι τείνουμε να ασχολούμαστε με ποσοστά συνεχώς στην καθημερινότητά μας. Όταν εκφράζεται ως ποσοστό, το μέγεθος του απόλυτου σφάλματος κανονικοποιείται έτσι ώστε δύο σφάλματα να μπορούν εύκολα να συγκριθούν μεταξύ τους. Όπως θα δούμε σε λίγο, το σφάλμα που διέπραξε η χώρα Α ήταν 50%, ενώ αυτό της χώρας Β ήταν 10%, από το οποίο είναι σαφές ότι η χώρα Β ήταν πολύ πιο ακριβής στις αναφορές της από τη χώρα Α. .

Πώς υπολογίζεται το ποσοστό σφάλματος;

Ανάλογα με τα δεδομένα που έχετε, το ποσοστό σφάλματος μπορεί να υπολογιστεί με τρεις διαφορετικούς τρόπους:

• Το πρώτο, με βάση την εκτιμώμενη αξία και την αξία που έγινε αποδεκτή ως πραγματική.
• Το δεύτερο, με βάση το απόλυτο σφάλμα και την τιμή που έγινε αποδεκτή ως πραγματική.
• Το τρίτο, από το σχετικό λάθος.

Είναι επίσης σημαντικό να λάβετε υπόψη το πεδίο στο οποίο υπολογίζεται το σφάλμα. Σε ορισμένες περιπτώσεις, το μόνο που έχει σημασία είναι το μέγεθος του ποσοστού σφάλματος, αλλά το πρόσημό του δεν έχει σημασία. Από την άλλη πλευρά, σε άλλες περιπτώσεις το πρόσημο του σφάλματος είναι ένα ουσιαστικό μέρος που επιτρέπει τη λήψη αποφάσεων, αφού ένα σφάλμα πάνω από την πραγματική τιμή μπορεί να μην είναι κάτι σοβαρό, αλλά ένα σφάλμα κάτω από αυτό.

Ο υπολογισμός του ποσοστού σφάλματος είναι τόσο απλός όσο η εφαρμογή του κατάλληλου τύπου. Στη συνέχεια, δείχνουμε τους διαφορετικούς τύπους που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για αυτό το σκοπό.

Τύποι ποσοστού σφάλματος

Από την εκτιμώμενη αξία και την αξία που έγινε αποδεκτή ως πραγματική

Σε περίπτωση που είναι γνωστή η πραγματική τιμή της ποσότητας που μετράται ή εκτιμάται, ο τύπος για την εύρεση του ποσοστού σφάλματος είναι:

Αυτός ο τύπος μπορεί να γραφτεί με διαφορετικούς τρόπους για κάθε περίπτωση, ανάλογα με το μέγεθος του οποίου το σφάλμα υπολογίζεται. Για παράδειγμα, εάν υπολογίζετε το ποσοστό σφάλματος στο βάρος ενός κουτιού δημητριακών σε μια γραμμή παραγωγής, ο τύπος θα μπορούσε να γραφτεί ως:

Εάν το σφάλμα που υπολογίζεται αναφέρεται στον προσδιορισμό της πυκνότητας ενός δείγματος μιας ουσίας γνωστής ως σίδηρος, για παράδειγμα, τότε ο τύπος για την εύρεση του ποσοστού σφάλματος θα είναι:

και ούτω καθεξής.

Από το απόλυτο σφάλμα και την τιμή που έγινε αποδεκτή ως πραγματική

Στον τύπο σφάλματος ποσοστού, η διαφορά μεταξύ της εκτιμώμενης ή πειραματικής τιμής και της πραγματικής τιμής που εμφανίζεται στον αριθμητή αντιπροσωπεύει το απόλυτο σφάλμα (E). Έτσι, αυτός ο τύπος μπορεί επίσης να γραφτεί ως:

Από το σχετικό λάθος

Στον παραπάνω τύπο, η αναλογία μεταξύ του απόλυτου σφάλματος και της πραγματικής τιμής αντιστοιχεί στο σχετικό σφάλμα (ER), επομένως το ποσοστό σφάλματος μπορεί επίσης να υπολογιστεί απλά πολλαπλασιάζοντας το σχετικό σφάλμα επί 100:

Το πρόσημο του ποσοστού σφάλματος και η απόλυτη τιμή

Κατά τον υπολογισμό ενός ποσοστού σφάλματος χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε από τους παραπάνω τύπους, υπάρχει πιθανότητα το αποτέλεσμα να είναι είτε θετικό είτε αρνητικό, ανάλογα με το αν η εκτιμώμενη τιμή είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από την πραγματική τιμή.

Όταν ένα ποσοστό σφάλματος είναι θετικό, σημαίνει ότι η εκτιμώμενη τιμή είναι μεγαλύτερη από ό,τι θα έπρεπε, επομένως βρισκόμαστε στην παρουσία υπερβάλλοντος σφάλματος .

Διαφορετικά, εάν η πειραματική ή η εκτιμώμενη τιμή είναι μικρότερη από αυτή που θα έπρεπε, το ποσοστό σφάλματος θα είναι αρνητικό, οπότε βρισκόμαστε στην παρουσία προεπιλεγμένου σφάλματος .

Σε πολλές περιπτώσεις, δεν είναι σημαντικό να γνωρίζετε εάν το σφάλμα οφείλεται σε υπερβολική ή ανεπάρκεια και είναι προτιμότερο να λαμβάνετε μόνο θετικά αποτελέσματα. Σε αυτές τις περιπτώσεις, μια απόλυτη τιμή προστίθεται στον αριθμητή:

Πώς υπολογίζεται το ποσοστό σφάλματος σε ένα δείγμα;

Είναι σημαντικό να σημειωθεί το γεγονός ότι, στις περισσότερες πειραματικές καταστάσεις, η πραγματική αξία αυτού που μετράμε δεν είναι πραγματικά γνωστή. Για παράδειγμα, μπορεί να προσδιορίζουμε την πυκνότητα μιας άγνωστης ουσίας, επομένως δεν έχουμε ένα πρότυπο για να συγκρίνουμε και να υπολογίσουμε το σφάλμα.

Σε αυτές τις περιπτώσεις, η άγνωστη «πραγματική τιμή» εκτιμάται μέσω του μέσου όρου πειραματικών μετρήσεων του ίδιου μεγέθους. Η εν λόγω μέση τιμή δείγματος είναι αυτή που λαμβάνεται ως πραγματική τιμή για τον προσδιορισμό του ποσοστού σφάλματος οποιασδήποτε από τις επιμέρους μετρήσεις που πραγματοποιήθηκαν. Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος θα μοιάζει με αυτό:

όπου %E _i είναι το ποσοστό σφάλματος της i -ης πειραματικής μέτρησης, x _i είναι η i -η πειραματική μέτρηση και x̄ είναι η μέση τιμή όλων των πειραματικών μετρήσεων.

Παραδείγματα υπολογισμών ποσοστιαίων σφαλμάτων

Παράδειγμα 1: Πόλεις Α και Β

Ας υπολογίσουμε τα ποσοστά σφάλματος των αναφορών νέων περιπτώσεων στις πόλεις Α και Β από το προηγούμενο παράδειγμα. Στην περίπτωση της πόλης Α, η εκτιμώμενη ή αναφερόμενη τιμή ήταν 5.000 περιπτώσεις ενώ ο πραγματικός αριθμός περιπτώσεων είναι 10.000. Εφαρμόζοντας τον τύπο του ποσοστού σφάλματος:

Για την πόλη Β, ο αριθμός των αναφερόμενων κρουσμάτων ήταν 45.000, ενώ ο πραγματικός αριθμός ήταν 50.000, επομένως το ποσοστό σφάλματος για την αναφορά Β είναι:

Σημειώστε ότι και στις δύο περιπτώσεις το σφάλμα είναι από προεπιλογή, καθώς ήταν αρνητικό και ότι η αναφορά από την πόλη Β είναι πιο ακριβής από αυτή της πόλης Α.

Παράδειγμα 2: Απόλυτο μηδέν

Σε εργαστήριο διδασκαλίας γενικής χημείας ομάδες των τριών μαθητών πραγματοποιούν τον προσδιορισμό της θερμοκρασίας, σε βαθμούς Κελσίου, που αντιστοιχεί στο απόλυτο μηδέν. Το αποτέλεσμα μιας από τις ομάδες ήταν -275,32°C. Γνωρίζοντας ότι η πραγματική τιμή είναι -273,15°C, προσδιορίστε το ποσοστό σφάλματος.

Λύση:

Αυτό το παράδειγμα υπογραμμίζει τη σημασία του να είστε προσεκτικοί με τα πρόσημα και να θυμάστε ότι στον παρονομαστή η απόλυτη τιμή είναι απαραίτητη για να διασφαλιστεί ότι το πρόσημο του σφάλματος καθορίζεται μόνο από τον αριθμητή.

Εξάγεται το συμπέρασμα ότι πρόκειται για προεπιλεγμένο σφάλμα.

Παράδειγμα 3: Δείγμα 10 πειραματικών δεδομένων

Πραγματοποιήθηκε ο πειραματικός προσδιορισμός των στραγγισμένων βαρών 10 κουτιών τόνου σε φυτικό λάδι που ελήφθησαν από τα ράφια ενός σούπερ μάρκετ. Τα επιμέρους βάρη παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Προσδιορίστε το ποσοστό σφάλματος στο βάρος του πρώτου κουτιού.

Σε αυτή την περίπτωση, η πραγματική αξία του στραγγισμένου βάρους του περιεχομένου των κουτιών τόνου δεν είναι γνωστή, επομένως το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε είναι να εκτιμήσουμε την εν λόγω τιμή μέσω του μέσου όρου των δέκα δειγμάτων. Ο εν λόγω μέσος όρος είναι, σε αυτήν την περίπτωση, x = 148 g, επομένως, εφαρμόζοντας τον τύπο:

Σε αυτήν την περίπτωση, το δείγμα 1 παρουσιάζει απόλυτο σφάλμα λόγω υπέρβασης κοντά στο 4%.

βιβλιογραφικές αναφορές

Chang, R., Manzo, Á. R., Lopez, PS, & Herranz, ZR (2020). Χημεία. (10η ^έκδ .). Νέα Υόρκη, Νέα Υόρκη: MCGRAW-HILL.

Grace, FA (2011). Λάθη μέτρησης. Ανακτήθηκε από http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/medidas/medidas.htm

Μέτρηση. (2021, 11 Ιανουαρίου). Ανακτήθηκε από τη διεύθυνση https://stats.libretexts.org/@go/page/2111

Skoog, DA, West, DM, Holler, J., & Crouch, SR (2021). Fundamentals of Analytical Chemistry (9η έκδ.). Βοστώνη, Μασαχουσέτη: Cengage Learning.