Τύπος σχετικής αβεβαιότητας και υπολογισμός

Η σχετική αβεβαιότητα , που συχνά αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο δ (το πεζό ελληνικό γράμμα δέλτα) , είναι η αναλογία μεταξύ της απόλυτης αβεβαιότητας μιας πειραματικής μέτρησης και της τιμής που γίνεται αποδεκτή ως αληθής ή της καλύτερης εκτίμησης αυτής της μέτρησης. Είναι μια ποσότητα που μας δίνει μια ιδέα για το πόσο μεγάλη ή μικρή είναι η αβεβαιότητα μιας μέτρησης σε σύγκριση με το μέγεθός της.

Θυμηθείτε ότι η αβεβαιότητα μιας μέτρησης αναφέρεται στο πλάτος του εύρους των πιθανών τιμών εντός του οποίου υποθέτουμε ότι βρίσκεται η πραγματική τιμή μιας μέτρησης. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι είναι αδύνατο να πραγματοποιηθούν τέλειες πειραματικές μετρήσεις, εντελώς χωρίς σφάλματα, οπότε το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε είναι να εκτιμήσουμε την αξία του. Αυτό το κάνουμε αναφέροντας την τιμή μιας μέτρησης μαζί με την αβεβαιότητά της:

όπου x είναι η τιμή της μέτρησης και Δx η απόλυτη αβεβαιότητά της. Αυτή η έκφραση ερμηνεύεται λέγοντας ότι η τιμή του μέτρου βρίσκεται μεταξύ x – ∆x και x + ∆x με ένα ορισμένο επίπεδο εμπιστοσύνης.

Ερμηνεία σχετικής αβεβαιότητας

Στην περίπτωση σχετικής αβεβαιότητας, η τιμή συνήθως αναπαρίσταται ως ποσοστό και ερμηνεύεται ως λέγοντας ότι η πραγματική τιμή της μέτρησης είναι εντός ενός εύρους μερικών τοις εκατό γύρω από την τιμή της πειραματικής μέτρησης.

Για παράδειγμα, εάν η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου που ταξιδεύει με 150 km/h μετρηθεί με σχετική αβεβαιότητα 5%, αυτό ερμηνεύεται ως η πραγματική ταχύτητα του αυτοκινήτου που βρίσκεται εντός εμβέλειας 5% περίπου 150 km/h.

Σημασία σχετικής αβεβαιότητας

Η σχετική αβεβαιότητα, που μερικές φορές αποκαλείται και σχετικό σφάλμα (αν και αυτός ο όρος δεν είναι αυστηρά σωστός), σας επιτρέπει να θέσετε σε προοπτική την αβεβαιότητα μιας μέτρησης. Για παράδειγμα, η απόλυτη αβεβαιότητα 0,5 cm κατά τη μέτρηση του μήκους μιας διαδρομής μήκους 400 μέτρων δεν αποτελεί σοβαρό πρόβλημα. Θα μπορούσε κανείς να πει ότι η αβεβαιότητα της μέτρησης είναι σχετικά μικρή, αφού το μέγεθος της μέτρησης είναι μεγάλο σε σύγκριση με την αβεβαιότητα.

Από την άλλη πλευρά, εάν έχουμε την ίδια αβεβαιότητα 0,5 cm όταν μετράμε το μέγεθος ενός κινητού τηλεφώνου που έχει μέγεθος 10 cm, τότε είναι εύκολο να δούμε ότι αυτή η αβεβαιότητα είναι πολύ μεγαλύτερη, παρά το γεγονός ότι και οι δύο απόλυτες αβεβαιότητες είναι ίδιες. .

Από την άλλη πλευρά, εάν αντί να συγκρίνουμε τις απόλυτες αβεβαιότητες δύο μετρήσεων συγκρίνουμε τις σχετικές αβεβαιότητες τους, τότε θα έχουμε μια άμεση ιδέα για το ποια από τις δύο μετρήσεις έχει μικρότερη αβεβαιότητα.

Τύπος για τον υπολογισμό της σχετικής αβεβαιότητας

Σε γενικές γραμμές, η σχετική αβεβαιότητα υπολογίζεται ως ο λόγος μεταξύ της απόλυτης αβεβαιότητας και του μεγέθους της μέτρησης. Δηλαδή:

Μονάδες σχετικής αβεβαιότητας

Σε αντίθεση με την απόλυτη αβεβαιότητα, η οποία αναφέρεται στις ίδιες μονάδες με τη μέτρηση στην οποία αναφέρεται, η σχετική αβεβαιότητα δεν έχει μονάδες. Είναι επομένως μια αδιάστατη ποσότητα. Αυτός είναι ένας από τους λόγους που καθιστά δυνατή τη σύγκριση της σχετικής αβεβαιότητας διαφορετικών μετρήσεων διαφορετικών φυσικών μεγεθών, οι οποίες προφανώς εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες.

Από την άλλη πλευρά, σε ορισμένες περιπτώσεις συνηθίζεται να εκφράζεται η σχετική αβεβαιότητα ως ποσοστό, οπότε συνοδεύεται από το σύμβολο %.

Πώς να υπολογίσετε τη σχετική αβεβαιότητα;

Ο τύπος για τον υπολογισμό της σχετικής αβεβαιότητας είναι πολύ απλός. Ωστόσο, η εφαρμογή του εξαρτάται από το πλαίσιο στο οποίο χρησιμοποιείται, καθώς η απόλυτη αβεβαιότητα μπορεί να οριστεί με διαφορετικούς τρόπους.

Σχετική αβεβαιότητα των αναφερόμενων τιμών

Σε εκείνες τις περιπτώσεις που θέλετε να υπολογίσετε τη σχετική αβεβαιότητα μιας μέτρησης που αναφέρεται στη βιβλιογραφία, συνήθως έχετε ήδη όλα όσα χρειάζεστε για να υπολογίσετε τη σχετική αβεβαιότητα, καθώς αυτές οι τιμές αναφέρονται πάντα μαζί με την απόλυτη αβεβαιότητά τους.

Παράδειγμα

Η πυκνότητα του νερού είναι 997 ± 1kg/m ³ , άρα x = 997 1kg/m ³ (το μέγεθος) και Δx = 1 1kg/m ³ (η απόλυτη αβεβαιότητα), οπότε η σχετική αβεβαιότητα σε αυτή την περίπτωση είναι:

Σχετική αβεβαιότητα επιμέρους πειραματικών μετρήσεων

Τι να κάνουμε όταν θέλουμε να προσδιορίσουμε τη σχετική αβεβαιότητα μιας μεμονωμένης πειραματικής μέτρησης; Σε αυτές τις περιπτώσεις, θεωρούμε το σφάλμα εκτίμησης του οργάνου μέτρησης με το οποίο εργαζόμαστε ως σχετική αβεβαιότητα. Για παράδειγμα, αν μετράμε το μήκος ενός τραπεζιού με μια μεζούρα που έχει ανατίμηση 0,1 cm (δηλαδή 1 mm), τότε το σφάλμα εκτίμησης θα είναι 0,05 cm.

Παράδειγμα

Ζυγίζουμε ένα δείγμα άγνωστου υγρού σε αναλυτικό ζυγό του οποίου η ανατίμηση είναι 0,001 g. Το βάρος του δείγματος είναι 0,489 g. Εάν θέλουμε να προσδιορίσουμε τη σχετική αβεβαιότητα, λαμβάνουμε τη μισή εκτίμηση ως αβεβαιότητα, οπότε αναφέρουμε τη μάζα ως 0,489 ± 0,0005 g και η σχετική αβεβαιότητα της μέτρησης θα είναι:

Σχετική αβεβαιότητα για ένα σύνολο πειραματικών μετρήσεων

Για να επιτευχθεί καλύτερη εκτίμηση της πραγματικής τιμής μιας μέτρησης και για να εξουδετερωθεί η επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων , η μέτρηση της ίδιας ποσότητας πραγματοποιείται συχνά πολλές φορές. Σε αυτές τις περιπτώσεις, χρησιμοποιούνται στατιστικά εργαλεία για την εκτίμηση της καλύτερης τιμής του μέτρου.

Υπό αυτή την έννοια, ο μέσος όρος των πειραματικών δεδομένων λαμβάνεται ως η αποδεκτή τιμή της μέτρησης και η τυπική απόκλιση των μετρήσεων σε σχέση με τον μέσο όρο λαμβάνεται συνήθως ως αβεβαιότητα.

Αυτό δίνεται από την εξίσωση:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να φαίνεται περίπλοκη, αλλά δεν χρειάζεται πραγματικά να κάνουμε τους υπολογισμούς, καθώς κάθε επιστημονική αριθμομηχανή είναι εξοπλισμένη με στατιστικές λειτουργίες που σας επιτρέπουν να εισάγετε μεμονωμένα δεδομένα και να παράγετε την τιμή της τυπικής ή τυπικής απόκλισης με το πάτημα ενός κουμπί.ζεύγος κλειδιών.

Παράδειγμα

Ας υποθέσουμε ότι ένας καθηγητής εργαστηρίου βιολογίας ζητά από τους μαθητές του να μετρήσουν το pH ενός ζωμού βακτηριακής καλλιέργειας που επωάζεται τις τελευταίες 48 ώρες. Υπάρχουν 15 ομάδες μαθητών που πραγματοποίησαν το πείραμα ανεξάρτητα και των οποίων τα αποτελέσματα συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα:

Χρησιμοποιώντας μια επιστημονική αριθμομηχανή ή ένα υπολογιστικό φύλλο όπως το Excel, προσδιορίζεται ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση των μετρήσεων. Το αποτέλεσμα είναι 4,42 ± 0,15. Άρα, η σχετική αβεβαιότητα θα είναι, σε αυτήν την περίπτωση:

βιβλιογραφικές αναφορές

Bohacek P, and Schmidt I G. (nd). Ενσωμάτωση της μέτρησης και της αβεβαιότητας στη διδασκαλία της επιστήμης. Ανακτήθηκε από https://serc.carleton.edu/sp/library/uncertainty/index.html

Η μαθηματική επεξεργασία των αποτελεσμάτων της μέτρησης. (ν.δ.). Ανακτήθηκε από https://espanol.libretexts.org/@go/page/1798

Τα μέτρα. (2020, 30 Οκτωβρίου). Ανακτήθηκε από https://espanol.libretexts.org/@go/page/1796

Εθνικό Ινστιτούτο Προτύπων και Τεχνολογίας (2009). Τεχνική σημείωση NIST 1297: Οδηγίες για την αξιολόγηση και την έκφραση της αβεβαιότητας των αποτελεσμάτων μέτρησης NIST. Ανακτήθηκε από https://www.nist.gov/pml/nist-technical-note-1297

Stanbrough, J,L, (2008), Uncertainty Dictionary, Ανακτήθηκε από http://www,batesville,k12,in,us/physics/apphynet/measurement/UncertaintyDictionary,html