Tabla de Contenidos
Η περιστροφική ροπή αδράνειας ή, απλά, η περιστροφική αδράνεια, είναι μια κλιμακωτή φυσική ποσότητα τυπική για κάθε αντικείμενο που έχει μάζα και που μετρά πόσο δύσκολο είναι να περιστραφεί γύρω από έναν συγκεκριμένο άξονα περιστροφής. Είναι το περιστροφικό ισοδύναμο της γραμμικής αδράνειας και, ως εκ τούτου, είναι μια ποσότητα που εκφράζει τη δυσκολία αλλαγής της ταχύτητας ενός αντικειμένου, είτε βρίσκεται σε ηρεμία είτε σε κίνηση, με τη διαφορά ότι, σε αυτή την περίπτωση, πρόκειται για γωνιακή ταχύτητα.
Αυτή η ποσότητα έχει μεγάλη σημασία στην περιγραφή της κίνησης περιστροφής, καθώς μας επιτρέπει να κατανοήσουμε τη διαφορά στη συμπεριφορά των σωμάτων που, παρά το ίδιο εξωτερικό σχήμα και μάζα, συμπεριφέρονται διαφορετικά όταν υποβάλλονται σε δυνάμεις ροπής. γνέθω. Αυτή η διαφορά προκύπτει από τη διαφορά στην κατανομή της μάζας του σώματος γύρω από τον άξονα περιστροφής. Τα παραπάνω υπονοούν ότι το ίδιο σώμα μπορεί να έχει διαφορετικές ροπές περιστροφικής αδράνειας ανάλογα με τη θέση του σε σχέση με τον άξονα περιστροφής, δημιουργώντας έτσι διαφορετικούς τύπους για τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας.
Έχοντας πει τα παραπάνω, είναι σαφές ότι υπάρχουν όσο το δυνατόν περισσότεροι τύποι για την εύρεση της ροπής αδράνειας όσο το δυνατόν σχήματα υπαρχόντων αντικειμένων και άξονες περιστροφής. Ωστόσο, υπάρχουν ορισμένες ιδιαίτερες περιπτώσεις κανονικών γεωμετρικών σχημάτων που περιστρέφονται γύρω από άξονες που προκύπτουν φυσικά στην πράξη. Στις επόμενες ενότητες, θα δούμε τους πιο σημαντικούς τύπους για τον προσδιορισμό της περιστροφικής ροπής αδράνειας αυτών των σωμάτων.
Τύπος για τη ροπή αδράνειας ενός σημειακού σωματιδίου
Η ροπή αδράνειας ενός σημειακού σωματιδίου αντιστοιχεί στον αρχικό ορισμό αυτής της φυσικής ποσότητας. Αυτή η έκφραση προέρχεται από την έκφραση για την περιστροφική κινητική ενέργεια όταν γράφεται με όρους γωνιακής ταχύτητας, w.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σωματίδιο μάζας m που περιστρέφεται γύρω από έναν κεντρικό άξονα όπως ο παρακάτω:
Η κινητική ενέργεια αυτού του σωματιδίου, όπως και κάθε άλλου κινούμενου σωματιδίου, προσδιορίζεται από το μισό γινόμενο μεταξύ της μάζας του και της ταχύτητάς του (το μέγεθος της ταχύτητάς του) ανυψωμένο στο τετράγωνο, δηλαδή 1/2 mv 2 . Ωστόσο, εάν η μόνη κίνηση που περιγράφει αυτό το σωματίδιο είναι η περιστροφή γύρω από τον άξονα (δεν υπάρχει μετάφραση), μπορούμε να εκφράσουμε τη γραμμική ταχύτητα του σωματιδίου ως συνάρτηση της γωνιακής του ταχύτητας, γράφοντας v = rω. Κάνοντας αυτό, η κινητική ενέργεια, η οποία στην περίπτωση αυτή είναι αποκλειστικά περιστροφική κινητική ενέργεια, εκφράζεται ως:
Όπου η ροπή αδράνειας, I , του σωματιδίου ορίζεται ως:
Σε αυτήν την έκφραση, m είναι η μάζα του σημειακού σωματιδίου και r είναι η ακτίνα περιστροφής ή, το ίδιο, η απόσταση από τον άξονα περιστροφής στο σωματίδιο.
Τύπος για τη ροπή αδράνειας μιας συλλογής σημειακών σωματιδίων
Ας υποθέσουμε τώρα ότι δεν έχουμε ένα μόνο σωματίδιο που περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα, αλλά ότι έχουμε ένα σύστημα που αποτελείται από n σωματίδια, το καθένα με μια συγκεκριμένη μάζα, m i, και το καθένα περιστρέφεται με απόσταση r i από τον άξονα περιστροφής , όπως το σύστημα τριών σωματιδίων που φαίνεται παρακάτω.
Αν θέλαμε να υπολογίσουμε τη συνολική κινητική ενέργεια αυτού του συστήματος, θα έπρεπε μόνο να προσθέσουμε τις κινητικές ενέργειες καθενός από τα τρία σωματίδια. Εάν επεκτείνουμε αυτήν την ιδέα στη γενική περίπτωση των n σωματιδίων και υποθέσουμε ότι όλα κινούνται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα (επειδή περιστρέφονται μαζί), τότε η συνολική περιστροφική κινητική ενέργεια του συστήματος θα δοθεί από:
Από όπου προκύπτει ότι η συνολική ροπή αδράνειας ενός συστήματος n σωματιδίων που περιστρέφονται μαζί γύρω από τον ίδιο άξονα, το καθένα με τη δική του μάζα και τη δική του ακτίνα περιστροφής, δίνεται από:
Αυτός ο τύπος λειτουργεί τόσο για σημειακά σωματίδια όσο και για σφαιρικά σωματίδια οποιουδήποτε μεγέθους, εφόσον ο άξονας περιστροφής βρίσκεται εκτός της σφαίρας. Εάν πληρούται αυτή η προϋπόθεση, τότε η ακτίνα αντιστοιχεί στην απόσταση μεταξύ του άξονα και του κέντρου της σφαίρας και η μάζα αντιστοιχεί στη συνολική μάζα της σφαίρας.
Ολοκληρωμένος τύπος ροπής αδράνειας άκαμπτων σωμάτων
Ο παραπάνω τύπος για τη ροπή αδράνειας ισχύει για συστήματα που σχηματίζονται από σημειακά και διακριτά σωματίδια. Ωστόσο, μπορεί να επεκταθεί σε άκαμπτα σώματα που έχουν συνεχή κατανομή μάζας, όπως περίπου συμβαίνει με τα μακροσκοπικά σώματα.
Σε αυτές τις περιπτώσεις, ο υπολογισμός της ροπής αδράνειας συνίσταται στη διαίρεση του σώματος σε στοιχεία μικρής μάζας (Δm i ), καθένα από τα οποία βρίσκεται σε απόσταση r i από τον άξονα περιστροφής, και στη συνέχεια εφαρμόζεται η προηγούμενη εξίσωση. Ωστόσο, αν ωθήσουμε το μέγεθος του στοιχείου μάζας στο όριο όπου γίνεται απειροελάχιστο στοιχείο ή διαφορικό μάζας (dm), τότε το άθροισμα γίνεται το ολοκλήρωμα, όπως φαίνεται παρακάτω:
Αυτή είναι η γενική έκφραση για την εύρεση της ροπής αδράνειας οποιουδήποτε άκαμπτου σώματος, ανεξάρτητα από το σχήμα του ή την κατανομή μάζας του. Στις περισσότερες περιπτώσεις, για να πραγματοποιηθεί η ολοκλήρωση, το στοιχείο μάζας, dm , αντικαθίσταται από το γινόμενο της πυκνότητας του σώματος πολλαπλασιαζόμενο με τη διαφορά όγκου, dV . Αυτό επιτρέπει την πραγματοποίηση της ολοκλήρωσης σε ολόκληρο τον όγκο του άκαμπτου σώματος, ακόμη και αν η κατανομή της μάζας δεν είναι ομοιόμορφη (εφόσον είναι γνωστό πώς ποικίλλει ανάλογα με τη θέση).
Σε αυτή την περίπτωση, η ολοκληρωτική έκφραση της ροπής αδράνειας γίνεται:
Στη συνέχεια, θα παρουσιάσουμε το αποτέλεσμα της ενσωμάτωσης της προηγούμενης έκφρασης για διαφορετικά άκαμπτα σώματα με κανονικά σχήματα όπως δακτύλιοι, κύλινδροι και σφαίρες, μεταξύ άλλων. Σε όλες τις περιπτώσεις που περιγράφονται παρακάτω, οι διαστάσεις και οι μάζες των εξεταζόμενων σωμάτων αναπαρίστανται με κεφαλαία γράμματα, προκειμένου να διακριθούν από τις μεταβλητές ολοκλήρωσης.
Τύπος για τη ροπή αδράνειας ενός λεπτού ομοιόμορφου δακτυλίου ακτίνας R ως προς τον κεντρικό άξονά του
Μία από τις απλούστερες περιπτώσεις κατά την ολοκλήρωση της προηγούμενης εξίσωσης είναι αυτή ενός ομοιόμορφου δακτυλίου που περιστρέφεται γύρω από το κέντρο συμμετρίας του. Το παρακάτω σχήμα δείχνει αυτή την περίπτωση.
Στη συγκεκριμένη περίπτωση που το πάχος του δακτυλίου είναι αμελητέο σε σύγκριση με την ακτίνα του, μπορούμε να τον θεωρήσουμε ως μια μάζα κατανεμημένη κατά μήκος μιας περιφέρειας χωρίς πάχος, έτσι ώστε όλα τα στοιχεία μάζας να βρίσκονται ουσιαστικά στην ίδια ακτίνα, σε αυτήν την περίπτωση, R. Δεδομένων αυτών των συνθηκών, η ακτίνα φεύγει από το ολοκλήρωμα, αφήνοντας μόνο το ολοκλήρωμα της διαφορικής μάζας, dm, που είναι απλώς η μάζα του δακτυλίου, M. Το αποτέλεσμα είναι:
Σε αυτήν την έκφραση, το CM δείχνει ότι είναι η ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο μάζας του.
Τύπος για τη ροπή αδράνειας μιας συμπαγούς σφαίρας ακτίνας R που περιστρέφεται γύρω από το κέντρο της
Στην περίπτωση μιας συμπαγούς σφαίρας ακτίνας R και ομοιόμορφης πυκνότητας, η οποία περιστρέφεται γύρω από οποιαδήποτε διάμετρό της (άξονας που διέρχεται από το κέντρο της) όπως αυτή που φαίνεται παρακάτω, το προηγούμενο ολοκλήρωμα μπορεί να λυθεί με διάφορους τρόπους, μεταξύ των οποίων είναι χρησιμοποιώντας ένα σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων.
Το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης σε αυτή την περίπτωση είναι:
Τύπος για τη ροπή αδράνειας ενός σφαιρικού κελύφους εσωτερικής ακτίνας R 1 και εξωτερικής ακτίνας R 2 γύρω από το κέντρο του
Αν αντί για συμπαγή σφαίρα είναι μια κούφια σφαίρα ή σφαιρικό κέλυφος με χοντρά τοιχώματα, πρέπει να θεωρήσουμε δύο ακτίνες, την εξωτερική και την εσωτερική. Αυτά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
Σε αυτή την περίπτωση, η λύση είναι να θεωρήσουμε το σφαιρικό κέλυφος ως μια σφαίρα ακτίνας R2 από την οποία έχει αφαιρεθεί μια σφαίρα του ίδιου υλικού από το κέντρο της, η ακτίνα της οποίας είναι R1. Αφού προσδιοριστεί η μάζα που θα είχε η μεγάλη σφαίρα και αυτή της μικρής σφαίρας που αποσύρθηκε μέσω της πυκνότητας του αρχικού κελύφους, αφαιρούνται οι αδράνειες και των δύο σφαιρών για να ληφθούν:
Τύπος για τη ροπή αδράνειας ενός λεπτού σφαιρικού κελύφους ακτίνας R γύρω από το κέντρο του
Στην περίπτωση που το πάχος του σφαιρικού κελύφους είναι αμελητέο σε σύγκριση με την ακτίνα του ή, το ίδιο, ότι το R 1 είναι πρακτικά ίσο με το R 2 , μπορούμε να υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας σαν να ήταν επιφανειακή κατανομή μάζας, όλα βρίσκονται σε απόσταση R από το κέντρο.
Σε αυτή την περίπτωση έχουμε δύο επιλογές. Το πρώτο είναι να λύσουμε το ολοκλήρωμα από την αρχή. Το δεύτερο είναι να πάρουμε το προηγούμενο αποτέλεσμα, αυτό του παχύ σφαιρικού κελύφους, και να λάβουμε το όριο όταν το R1 τείνει στο R2. Το αποτέλεσμα είναι το εξής:
Τύπος για τη ροπή αδράνειας μιας λεπτής ράβδου μήκους L ως προς έναν κάθετο άξονα μέσω του κέντρου μάζας της
Όταν έχουμε μια λεπτή ράβδο, στην ουσία, μπορούμε να τη σκεφτούμε ως μια γραμμική κατανομή της μάζας, ανεξάρτητα από το σχήμα του προφίλ της (δηλαδή, ανεξάρτητα από το αν είναι κυλινδρική, τετράγωνη ή οποιαδήποτε άλλη διαμορφωμένη ράβδος). Σε αυτές τις περιπτώσεις, το μόνο που έχει σημασία είναι η ζύμη να κατανεμηθεί ομοιόμορφα σε όλο το μήκος της μπάρας.
Σε αυτή την περίπτωση, η ροπή αδράνειας εκφράζεται ως:
Τύπος για τη ροπή αδράνειας μιας λεπτής ράβδου μήκους L ως προς έναν κάθετο άξονα μέσω του ενός άκρου
Αυτή είναι η ίδια περίπτωση με την παραπάνω, αλλά με ολόκληρη τη ράβδο να περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα κάθετο από το ένα άκρο:
Δεδομένου ότι η μάζα της ράβδου βρίσκεται, κατά μέσο όρο, σε μεγαλύτερη απόσταση από τον άξονα περιστροφής, η ροπή αδράνειας θα είναι μεγαλύτερη. Στην πραγματικότητα, είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερο από την προηγούμενη περίπτωση, όπως φαίνεται από την ακόλουθη έκφραση:
Σημειώστε ότι σε αυτή την περίπτωση ο άξονας δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας, επομένως ο δείκτης CM του συμβόλου της ροπής αδράνειας έχει παραληφθεί.
Τύπος για τη ροπή αδράνειας μιας συμπαγούς κυλινδρικής ράβδου ακτίνας R ως προς τον κεντρικό άξονά της
Αυτή η περίπτωση λύνεται με πολύ απλό τρόπο χρησιμοποιώντας ένα κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων και θεωρώντας τον κύλινδρο σαν να σχηματίζεται από ομόκεντρα κυλινδρικά κελύφη ίσου μήκους, αλλά με διαφορετικές ακτίνες. Τότε η ακτίνα ολοκληρώνεται από r = 0 έως r = R.
Το αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας είναι ο τύπος για την αδράνεια μιας κυλινδρικής ράβδου, ο οποίος είναι:
Πρέπει να σημειωθεί ότι, δεδομένου ότι αυτό το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από το μήκος του κυλίνδρου, η ίδια έκφραση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την περίπτωση ενός κυκλικού δίσκου.
Τύπος για τη ροπή αδράνειας ενός κοίλου κυλίνδρου εσωτερικής ακτίνας R 1 και εξωτερικής ακτίνας R 2 γύρω από τον κεντρικό άξονά του
Αυτή η περίπτωση είναι παρόμοια με αυτή του παχύ σφαιρικού κελύφους. Εφαρμόζεται όταν το πάχος του κελύφους ή η διαφορά μεταξύ της εξωτερικής και της εσωτερικής ακτίνας του είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με τις ίδιες τις ακτίνες και, επομένως, δεν μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η μάζα είναι συγκεντρωμένη σε μια επιφάνεια. Αντίθετα, πρέπει να θεωρήσουμε ότι πρόκειται για μια τρισδιάστατη κατανομή της μάζας κατά μήκος του πάχους του κελύφους.
Όπως και στην περίπτωση του παχύ σφαιρικού κελύφους, η ροπή αδράνειας ενός κοίλου κυλίνδρου με εσωτερική ακτίνα R 1 και εξωτερική ακτίνα R 2 μπορεί να βρεθεί με άμεση ολοκλήρωση ή αφαιρώντας τη ροπή αδράνειας από τον κύλινδρο που αποσύρθηκε κατά το άνοιγμα της κεντρικής οπής, της ροπής αδράνειας ενός συμπαγούς κυλίνδρου που έχει την ίδια πυκνότητα με το κέλυφος, χρησιμοποιώντας τον τύπο του προηγούμενου τμήματος για καθεμία από αυτές τις δύο αδράνειες.
Το αποτέλεσμα μιας από αυτές τις δύο στρατηγικές είναι το ίδιο και παρουσιάζεται παρακάτω:
Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, καθώς αυτό το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από το μήκος του κυλίνδρου, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για να υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας ενός κυκλικού δίσκου με μια οπή στο κέντρο, όπως, για παράδειγμα, μια ροδέλα ή μια Δίσκος Blu-ray.
Τύπος για τη ροπή αδράνειας ενός λεπτού κυλινδρικού κελύφους ακτίνας R ως προς τον κεντρικό άξονά του
Σε περίπτωση που έχουμε έναν κοίλο κύλινδρο όπως αυτός που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, στον οποίο το πάχος του κυλινδρικού κελύφους είναι πολύ μικρό σε σύγκριση με την ακτίνα του κυλίνδρου, μπορούμε να υποθέσουμε ότι η μάζα κατανέμεται μόνο στην επιφάνεια της ακτίνας R. .
Όπως και στις άλλες περιπτώσεις, μπορούμε να πραγματοποιήσουμε την άμεση ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας την τοπική πυκνότητα μάζας ή μπορούμε να αξιολογήσουμε το αποτέλεσμα του παχύ κυλινδρικού κελύφους στο όριο όπου το R1 τείνει στο R2. Το αποτέλεσμα είναι:
Και πάλι σημειώνουμε ότι αυτό το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο από το μήκος. Αυτό σημαίνει ότι ισχύει εξίσου για ένα λεπτό τσέρκι. Στην πραγματικότητα, μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι είναι το ίδιο αποτέλεσμα που προκύπτει στο τμήμα που αντιστοιχεί σε ένα λεπτό δακτύλιο.
Τύπος για τη ροπή αδράνειας μιας κανονικής ορθογώνιας πλάκας ως προς έναν κάθετο άξονα μέσω του κέντρου της
Τέλος, εξετάστε την περίπτωση μιας ορθογώνιας πλάκας που περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα κάθετο σε οποιαδήποτε από τις επιφάνειές της, περνώντας από το κέντρο μάζας της, όπως αυτή που φαίνεται παρακάτω.
Το αποτέλεσμα της άμεσης ολοκλήρωσης είναι:
Όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις, αυτό το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο από το ύψος ή το πάχος της πλάκας, επομένως ισχύει εξίσου για ένα φύλλο χαρτιού όπως ισχύει για ένα συμπαγές τσιμεντόλιθο.
βιβλιογραφικές αναφορές
Ακαδημία Khan. (ν). Περιστροφική αδράνεια (άρθρο) . https://en.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/rotational-inertia
OneClass. (2020, 6 Οκτωβρίου). OneClass: Ξεκινώντας με τον τύπο για τη ροπή αδράνειας μιας ράβδου . https://oneclass.com/homework-help/physics/6942744-moment-of-inertia-bar.en.html
Serway, RA, Beichner, RJ, & Jewett, JW (1999). Physics for Scientists and Engineers With Modern Physics: 2: Τόμος I (πέμπτη έκδοση). McGraw Hill.
Snapsolve. (ν). Η ροπή αδράνειας ενός κοίλου παχύ σφαιρικού κελύφους . https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073
