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Die Standardabweichung, dargestellt entweder durch den griechischen Buchstaben σ (Sigma) oder durch den Buchstaben S , ist ein Maß für die Variabilität einer Datenreihe. Genauer gesagt stellt er ein Maß für die durchschnittlichen Abweichungen der Daten einer Stichprobe oder einer Grundgesamtheit in Bezug auf den Mittelwert der Grundgesamtheit dar und gibt somit an, wie stark die Daten um diesen zentralen Tendenzwert gestreut sind.
Eine hohe Standardabweichung zeigt an, dass die Daten im Durchschnitt in beide Richtungen weit vom Mittelwert entfernt sind (die Daten sind sehr gestreut), während eine kleine Standardabweichung das Gegenteil anzeigt.
Die Standardabweichung wird immer als Quadratwurzel eines anderen Streuungsmaßes, der sogenannten Varianz, berechnet. Je nach Art der verfügbaren Daten (Stichprobe oder Grundgesamtheit) gibt es mehrere Möglichkeiten, die Varianz zu berechnen, was zu mehr als einer Möglichkeit führt, die Standardabweichung zu berechnen.
In beiden Fällen werden leicht unterschiedliche Formeln verwendet, die im nächsten Abschnitt beschrieben werden. Im Folgenden wird beschrieben, wie sie Schritt für Schritt und „von Hand“ berechnet werden. Außerdem wird beschrieben, wie Sie Rechner mit Statistikfunktionen und Tabellenkalkulationen wie Excel oder Google Sheets verwenden, um diese wichtige statistische Variable zu berechnen.
Es gibt zwei Arten von Standardabweichungen
In der Statistik gibt es zwei Arten von beschreibenden Maßen einer Datenreihe, je nachdem, ob alle Daten einer Grundgesamtheit oder nur die einer Stichprobe vorliegen. Diejenigen Maße, die zur Beschreibung der Bevölkerung verwendet werden, werden als Bevölkerungsparameter bezeichnet und normalerweise mit griechischen Buchstaben dargestellt. In der Zwischenzeit werden die Parameter, die eine Stichprobe beschreiben, als Statistiken bezeichnet und normalerweise mit Kleinbuchstaben dargestellt.
In Anbetracht dessen gibt es zwei Arten von Standardabweichungen:
- Die Standardabweichung der Grundgesamtheit , bei der es sich um einen Grundgesamtheitsparameter handelt, der durch den griechischen Buchstaben σ (Sigma in Kleinbuchstaben) dargestellt wird.
- Die Stichproben-Standardabweichung , ein statistischer Parameter, der durch den Buchstaben S dargestellt wird.
Nachfolgend finden Sie die Formeln zur Berechnung beider Arten von Standardabweichungen.
Formeln zur Berechnung der Populationsstandardabweichung σ
In diesen Gleichungen stellt x i den Wert jedes einzelnen Datenelements dar, μ ist der Populationsmittelwert und n ist die Gesamtzahl von Datenelementen in der Population.
Formeln zur Berechnung der Stichproben-Standardabweichung S
In diesen Gleichungen stellt x i den Wert jedes einzelnen Datenelements in der Stichprobe dar, ¯x ist der Stichprobenmittelwert und n ist die Gesamtzahl der Datenelemente in der Stichprobe.
Der einzige wirkliche Unterschied in der Art und Weise, wie die beiden Standardabweichungen berechnet werden, besteht darin, dass sie in einem Fall durch n geteilt werden , während sie im anderen Fall durch n – 1 geteilt werden . Letzteres dient dazu, die Differenz zwischen dem Mittelwert der Stichprobe und dem Mittelwert der Grundgesamtheit zu korrigieren, die normalerweise nicht identisch sind.
Welche Formel soll verwendet werden?
Bei der Entscheidung, welche der Formeln verwendet werden soll, muss lediglich berücksichtigt werden, ob die Daten, für die die Standardabweichung berechnet werden soll, alle Daten in einer Grundgesamtheit oder nur eine Stichprobe darstellen. Dies geht in der Regel aus der Abrechnung (falls ein statistisches Problem gelöst wird) oder aus der Art und Weise der Datenerhebung hervor.
TIPP: Im Zweifelsfall ist es am sichersten anzunehmen, dass es sich um eine Stichprobe handelt, da Sie selten alle Daten für eine Grundgesamtheit haben.
Was die Verwendung der ersten (linken) oder zweiten (rechten) Formel für σ oder für S betrifft, so liefern die beiden gezeigten Gleichungen in beiden Fällen das gleiche Ergebnis. Es ist jedoch praktischer, die Formel auf der rechten Seite zu verwenden, auch wenn es komplizierter erscheinen mag. Der Grund ist ganz einfach: Um die Standardabweichung mit den Formeln auf der rechten Seite zu berechnen, sind weniger Schritte erforderlich als mit denen auf der linken Seite.
So berechnen Sie die Standardabweichung „von Hand“
Im Folgenden stellen wir Ihnen anhand eines Beispiels die Schritte vor, die zur Berechnung der Standardabweichung durchgeführt werden müssen.
Problem
Es wurde die Zeit ermittelt, die eine Stichprobe von 15 Autos brauchte, um den Kraftstofftank an einer Tankstelle zu füllen. Die Daten, gemessen in Sekunden, sind unten dargestellt:
| 71 | 65 | 48 | 76 | 80 |
| 64 | 42 | 55 | 80 | 66 |
| 53 | 49 | 70 | 67 | 42 |
Bestimmen Sie die Standardabweichung.
Lösung: In diesem Fall gibt die Aussage an, dass die Daten einer Stichprobe entsprechen, daher lautet die Gleichung, die wir zur Bestimmung der Standard-(Stichproben-)Abweichung verwenden, wie folgt:
Um diese Formel anzuwenden, müssen wir nur die Summe der Daten (∑X i ), die Summe der Quadrate der Daten (∑X i 2 ) und die Gesamtzahl der Daten (n) berechnen. Dies lässt sich leicht durch die folgenden Schritte bewerkstelligen:
Schritt 1: Organisieren Sie die Daten vertikal
Die Berechnung der Standardabweichung ist einfacher, wenn Sie Ihre Daten in einer vertikalen Liste angeordnet haben, da dies die nächsten Schritte erleichtert. Es ist nicht unbedingt erforderlich, aber es hilft auch, jedes Datenelement mit einer Nummer zu kennzeichnen, da es leicht die Gesamtzahl der Datenelemente (n) liefert, die für die Verwendung der Formel erforderlich ist. Die Daten müssen in keiner Weise bestellt werden.
| # | Xi _ | x ich 2 |
| 1 | 71 | |
| 2 | 65 | |
| 3 | 48 | |
| 4 | 76 | |
| 5 | 80 | |
| 6 | 64 | |
| 7 | 42 | |
| 8 | 55 | |
| 9 | 80 | |
| 10 | 66 | |
| elf | 53 | |
| 12 | 49 | |
| 13 | 70 | |
| 14 | 67 | |
| fünfzehn | 42 |
Schritt 2: Berechnen Sie das Quadrat aller Daten
Der nächste Schritt besteht darin, jedes einzelne Datenelement zu quadrieren und das Ergebnis dann in eine Spalte daneben zu schreiben.
| # | Xi _ | x ich 2 |
| 1 | 71 | 5041 |
| 2 | 65 | 4225 |
| 3 | 48 | 2304 |
| 4 | 76 | 5776 |
| 5 | 80 | 6400 |
| 6 | 64 | 4096 |
| 7 | 42 | 1764 |
| 8 | 55 | 3025 |
| 9 | 80 | 6400 |
| 10 | 66 | 4356 |
| elf | 53 | 2809 |
| 12 | 49 | 2401 |
| 13 | 70 | 4900 |
| 14 | 67 | 4489 |
| fünfzehn | 42 | 1764 |
Schritt 3: Summieren Sie alle Originaldaten
Wir addieren alle Werte, die in der Spalte erscheinen, die wir als X i identifizieren , und schreiben das Ergebnis am Ende dieser Spalte auf.
Schritt 4: Addieren Sie alle Quadrate der Daten und schreiben Sie das Ergebnis unten in die Spalte
Wir addieren alle Werte, die in der Spalte erscheinen, die wir als X i 2 identifizieren , und schreiben das Ergebnis am Ende dieser Spalte auf. Nach Durchführung der Schritte 3 und 4 sieht die Tabelle wie folgt aus:
| # | Xi _ | x ich 2 |
| 1 | 71 | 5041 |
| 2 | 65 | 4225 |
| 3 | 48 | 2304 |
| 4 | 76 | 5776 |
| 5 | 80 | 6400 |
| 6 | 64 | 4096 |
| 7 | 42 | 1764 |
| 8 | 55 | 3025 |
| 9 | 80 | 6400 |
| 10 | 66 | 4356 |
| elf | 53 | 2809 |
| 12 | 49 | 2401 |
| 13 | 70 | 4900 |
| 14 | 67 | 4489 |
| fünfzehn | 42 | 1764 |
| Anzahl Daten (n) | Summe der Daten ( ∑X i ) | Summe der Quadrate ( ∑X i 2 ) |
| fünfzehn | 928 | 59750 |
Schritt 5: Wenden Sie die Standardabweichungsformel an
Der letzte Schritt besteht einfach darin, die Werte am Ende der Tabelle in der jeweiligen Formel zu ersetzen:
So berechnen Sie die Standardabweichung mit dem statistischen Rechner
Die meisten wissenschaftlichen und finanziellen Taschenrechner verfügen über spezielle Funktionen, um die Berechnung aller in der Statistik verwendeten Maße der zentralen Tendenz und Streuung zu erleichtern. Die Vorgehensweise ist unabhängig vom Rechnermodell immer gleich:
Schritt 1 – Rufen Sie den Statistikmodus auf
Taschenrechner haben normalerweise einen speziellen Modus für statistische Funktionen. Der Zugriff erfolgt normalerweise durch Drücken der MODE- Taste gefolgt von einer Zahl, die normalerweise auf dem Bildschirm neben STAT , SD (für Standardabweichung ) oder ähnlichem erscheint.
Schritt 2 – Speicher bereinigen
Bei älteren Taschenrechnern wird nicht angezeigt, ob bereits Daten im Speicher des Taschenrechners gespeichert sind, daher ist es immer eine gute Idee, den Speicher zu löschen, bevor Sie beginnen. Drücken Sie dazu die Taste CLR oder MCL und wählen Sie dann die Option MODE (dies löscht nur die im Statistikmodus gespeicherten Daten). In vielen Fällen ist es erforderlich, nach diesem Schritt erneut in den Statistikmodus zu wechseln.
Schritt 3: Geben Sie alle Daten ein
Alle Daten werden sequentiell nacheinander eingegeben, indem zwischendurch die Taste DT , DATA oder dergleichen gedrückt wird.
Schritt 4: Erhalten Sie das Ergebnis
Der letzte Schritt besteht darin, den Taschenrechner einfach nach der Standardabweichung zu fragen. Wo sich die Ergebnisse befinden, ist je nach Rechnermodell und -marke sehr unterschiedlich. In einigen müssen Sie die SHIFT- Taste drücken , gefolgt von der Taste, die oben S-VAR sagt , in anderen ist es anders. Es empfiehlt sich, das Handbuch des Rechners zu Rate zu ziehen.
Sobald wir das richtige Menü erhalten, müssen wir auswählen, welche der beiden Standardabweichungen wir benötigen. Wenn es sich um Bevölkerungsdaten handelt, wählen wir die Option σ oder σ(n). Wenn es sich um Beispieldaten handelt, wählen wir die Option mit der Aufschrift σ(n-1) oder S.
So berechnen Sie die Standardabweichung in Microsoft® Excel™
Der einfachste Weg, die Standardabweichung zu berechnen, sind Tabellenkalkulationen wie Excel oder Google Sheets. Diese Programme verfügen bereits über alle Protokolle zur Berechnung der verschiedenen statistischen Variablen, die wir möglicherweise benötigen. Dies geschieht in zwei einfachen Schritten:
Schritt 1: Fügen Sie die Daten ein oder fügen Sie sie hinzu
Dies ist so einfach wie das direkte Kopieren der Daten, eine nach der anderen in separate Zellen (in Form von Spalten, Zeilen oder Matrizen, egal was). Bei unserem Beispiel:
SCHRITT 2: Schreiben Sie die Formel für die benötigte Standardabweichung
Dies hängt von der verwendeten Tabelle und der eingestellten Sprache ab. Im Fall von Microsoft® Excel™, spanische Version, lauten die Formeln für die Standardabweichung:
| Beispiel-Standardabweichung (S): | =STABW.M(Daten 1; Daten 2;…;Daten n) |
| Populations-Standardabweichung (σ): | =STABW.P(Daten 1; Daten 2;…;Daten n) |
Sie müssen die einzelnen Daten nicht eingeben, wählen Sie einfach die Zellen aus, in die die Daten bereits eingefügt wurden. In unserem Beispiel liegen die Daten im Bereich von Zelle B1 bis Zelle F3, was als B2:F3 geschrieben wird.
Abschließend wird die ENTER- Taste gedrückt und FERTIG! Die Standardabweichung wird erhalten.
Verweise
- Bhandari, P. (2021, 21. Januar). Verstehen und Berechnen der Standardabweichung . Abgerufen von https://www.scribbr.com/statistics/standard-deviation/
- Espinoza, CI, & Echecopar, AL (2020). Statistische Anwendungen mit MS Excel mit schrittweisen Beispielen (spanische Ausgabe) (1. Aufl .). Lima, Peru: Luis Felipe Arizmendi Echecopar und Duo Negocios SAC.
- Webster, A. (2001). Statistik für Unternehmen und Wirtschaft (spanische Ausgabe) . Toronto, Kanada: Irwin Professional Publishing.
- DEVESTA (DEVESTA-Funktion) . Microsoft Office-Unterstützung. Abgerufen von https://support.microsoft.com/es-es/office/desvesta-funci%C3%B3n-desvesta-5ff38888-7ea5-48de-9a6d-11ed73b29e9d .
