Formeln um das Trägheitsmoment zu finden

Das Rotationsträgheitsmoment oder einfach die Rotationsträgheit ist eine skalare physikalische Größe, die für jedes Objekt mit Masse typisch ist und misst, wie schwierig es ist, es um eine bestimmte Rotationsachse rotieren zu lassen. Es ist das Rotationsäquivalent der linearen Trägheit und als solche eine Größe, die die Schwierigkeit ausdrückt, die Geschwindigkeit eines Objekts zu ändern, sei es in Ruhe oder in Bewegung, mit dem Unterschied, dass es in diesem Fall um Winkel geht Geschwindigkeit.

Diese Größe ist für die Beschreibung der Rotationsbewegung von großer Bedeutung, da sie uns erlaubt, das unterschiedliche Verhalten von Körpern zu verstehen, die sich trotz gleicher äußerer Form und Masse unterschiedlich verhalten, wenn sie Drehmomentkräften ausgesetzt werden, die sie verursachen drehen. Dieser Unterschied ergibt sich aus der unterschiedlichen Verteilung der Masse des Körpers um die Rotationsachse. Das Obige impliziert, dass derselbe Körper abhängig von seiner Position relativ zur Rotationsachse unterschiedliche Rotationsträgheitsmomente haben kann, was zu unterschiedlichen Formeln zur Berechnung des Trägheitsmoments führt.

Abgesehen davon ist es klar, dass es so viele Formeln gibt, um das Trägheitsmoment zu finden, wie mögliche Formen existierender Objekte und Rotationsachsen. Es gibt jedoch einige Sonderfälle regelmäßiger geometrischer Formen, die sich um Achsen drehen, die in der Praxis natürlich vorkommen. In den folgenden Abschnitten sehen wir die wichtigsten Formeln zur Bestimmung des Rotationsträgheitsmoments dieser Körper.

Formel für das Trägheitsmoment eines Punktteilchens

Das Trägheitsmoment eines Punktteilchens entspricht der ursprünglichen Definition dieser physikalischen Größe. Dieser Ausdruck kommt vom Ausdruck für kinetische Rotationsenergie, wenn er in Bezug auf die Winkelgeschwindigkeit w geschrieben wird.

Angenommen, wir haben ein Teilchen der Masse m , das sich wie folgt um eine Mittelachse dreht:

Die kinetische Energie dieses Teilchens, wie die jedes anderen sich bewegenden Teilchens, wird bestimmt durch die Hälfte des Produkts aus seiner Masse und seiner Geschwindigkeit (der Größe seiner Geschwindigkeit), hochgerechnet auf das Quadrat, also 1/2 mv ² . Wenn jedoch die einzige Bewegung, die dieses Teilchen beschreibt, eine Rotation um die Achse ist (es gibt keine Translation), können wir die lineare Geschwindigkeit des Teilchens als Funktion seiner Winkelgeschwindigkeit ausdrücken, indem wir v = rω schreiben. Dadurch wird die kinetische Energie, die in diesem Fall ausschließlich kinetische Rotationsenergie ist, ausgedrückt als:

Wobei das Trägheitsmoment I des Partikels definiert ist als:

In diesem Ausdruck ist m die Masse des Punktteilchens und r der Rotationsradius oder, was dasselbe ist, der Abstand von der Rotationsachse zum Teilchen.

Formel für das Trägheitsmoment einer Ansammlung von Punktteilchen

Nehmen wir nun an, dass wir nicht ein einzelnes Teilchen haben, das sich um eine Achse dreht, sondern dass wir ein System haben, das aus n Teilchen besteht, jedes mit einer bestimmten Masse m i , _und jedes mit einem Abstand r _i von der Rotationsachse rotiert , wie das unten gezeigte Drei-Teilchen-System.

Wenn wir die gesamte kinetische Energie dieses Systems berechnen wollten, müssten wir nur die kinetischen Energien jedes der drei Teilchen addieren. Wenn wir diese Idee auf den allgemeinen Fall von n Teilchen erweitern und annehmen, dass sie sich alle mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit bewegen (weil sie zusammen rotieren), dann ist die gesamte kinetische Rotationsenergie des Systems gegeben durch:

Daraus folgt, dass das Gesamtträgheitsmoment eines Systems von n Teilchen, die sich gemeinsam um dieselbe Achse drehen, jedes mit seiner eigenen Masse und seinem eigenen Trägheitsradius, gegeben ist durch:

Diese Formel funktioniert sowohl für Punktteilchen als auch für kugelförmige Teilchen beliebiger Größe, solange die Rotationsachse außerhalb der Kugel liegt. Ist diese Bedingung erfüllt, so entspricht der Radius dem Abstand der Achse zum Kugelmittelpunkt und die Masse der Gesamtmasse der Kugel.

Integralformel des Trägheitsmoments starrer Körper

Die obige Formel für das Trägheitsmoment gilt für Systeme, die aus punktförmigen und diskreten Teilchen bestehen. Sie lässt sich aber auf starre Körper mit stetiger Massenverteilung erweitern, so wie es ungefähr bei makroskopischen Körpern der Fall ist.

In diesen Fällen besteht die Berechnung des Trägheitsmoments darin, den Körper in kleine Massenelemente (Δm _i ) zu unterteilen, die sich jeweils in einem Abstand r _i von der Rotationsachse befinden, und dann die vorhergehende Gleichung anzuwenden. Wenn wir jedoch die Größe des Massenelements an die Grenze bringen, wo es zu einem infinitesimalen Element oder einem Massendifferential (dm) wird, wird die Summe zum Integral, wie unten gezeigt:

Dies ist der allgemeine Ausdruck, um das Trägheitsmoment eines beliebigen starren Körpers zu finden, unabhängig von seiner Form oder seiner Massenverteilung. In den meisten Fällen wird zur Durchführung der Integration das Massenelement dm durch das Produkt aus der Dichte des Körpers multipliziert mit dem Volumendifferential dV ersetzt . Dadurch ist es möglich, die Integration über das gesamte Volumen des starren Körpers durchzuführen, auch wenn die Massenverteilung nicht gleichmäßig ist (sofern bekannt ist, wie sie ortsabhängig variiert).

In diesem Fall wird der integrale Ausdruck des Trägheitsmoments zu:

Als nächstes präsentieren wir das Ergebnis der Integration des vorherigen Ausdrucks für verschiedene starre Körper mit regelmäßigen Formen wie unter anderem Ringe, Zylinder und Kugeln. In allen nachfolgend beschriebenen Fällen werden die Abmessungen und Massen der betrachteten Körper mit Großbuchstaben dargestellt, um sie von den Integrationsgrößen zu unterscheiden.

Formel für das Trägheitsmoment eines dünnen gleichmäßigen Rings mit Radius R um seine Mittelachse

Einer der einfachsten Fälle bei der Integration der vorherigen Gleichung ist der eines gleichmäßigen Rings, der sich um sein Symmetriezentrum dreht. Die folgende Abbildung zeigt diesen Fall.

In dem speziellen Fall, in dem die Dicke des Rings im Vergleich zu seinem Radius vernachlässigbar ist, können wir ihn als eine Masse betrachten, die entlang eines Umfangs ohne Dicke verteilt ist, sodass alle Masseelemente im Wesentlichen denselben Radius haben, in In diesem Fall R. Unter diesen Bedingungen verlässt der Radius das Integral und lässt nur das Integral der differentiellen Masse dm übrig, die einfach die Masse des Rings M ist. Das Ergebnis ist:

In diesem Ausdruck gibt CM an, dass es sich um das Trägheitsmoment um seinen Massenmittelpunkt handelt.

Formel für das Trägheitsmoment einer festen Kugel mit Radius R, die sich um ihren Mittelpunkt dreht

Im Fall einer festen Kugel mit Radius R und gleichmäßiger Dichte, die sich um einen ihrer Durchmesser dreht (eine Achse, die durch ihren Mittelpunkt verläuft), wie der unten gezeigte, kann das vorherige Integral auf verschiedene Arten gelöst werden, darunter sind mit einem sphärischen Koordinatensystem.

Das Ergebnis der Integration ist in diesem Fall:

Formel für das Trägheitsmoment einer Kugelschale mit Innenradius R ₁ und Außenradius R ₂ um ihren Mittelpunkt

Handelt es sich statt einer Vollkugel um eine Hohlkugel oder Kugelschale mit dicken Wänden, müssen wir zwei Radien berücksichtigen, den äußeren und den inneren. Diese sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

In diesem Fall besteht die Lösung darin, die Kugelschale als eine Kugel mit dem Radius R2 zu betrachten, aus deren Mittelpunkt eine Kugel aus dem gleichen Material entfernt wurde, deren Radius R1 ist. Nach Bestimmung der Masse, die die große Kugel gehabt hätte, und die der kleinen Kugel, die durch die Dichte der ursprünglichen Hülle entzogen wurde, werden die Trägheiten beider Kugeln subtrahiert, um zu erhalten:

Formel für das Trägheitsmoment einer dünnen Kugelschale mit Radius R um ihren Mittelpunkt

Für den Fall, dass die Dicke der Kugelschale im Vergleich zu ihrem Radius vernachlässigbar ist oder, was dasselbe ist, dass R ₁ praktisch gleich R ₂ ist , können wir das Trägheitsmoment so berechnen, als wäre es eine Oberflächenverteilung der Masse, alles in einem Abstand R vom Zentrum entfernt.

In diesem Fall haben wir zwei Möglichkeiten. Die erste besteht darin, das Integral von Grund auf zu lösen. Die zweite besteht darin, das vorherige Ergebnis, das der dicken Kugelschale, zu nehmen und die Grenze zu erhalten, wenn R1 gegen R2 tendiert. Das Ergebnis ist wie folgt:

Formel für das Trägheitsmoment eines dünnen Stabes der Länge L um eine senkrechte Achse durch seinen Massenmittelpunkt

Wenn wir einen dünnen Stab haben, können wir ihn uns im Wesentlichen als eine lineare Massenverteilung vorstellen, unabhängig von der Form seines Profils (dh unabhängig davon, ob es sich um einen zylindrischen, quadratischen oder anders geformten Stab handelt). In diesen Fällen kommt es nur darauf an, dass der Teig gleichmäßig über die Stangenlänge verteilt wird.

In diesem Fall wird das Trägheitsmoment ausgedrückt als:

Formel für das Trägheitsmoment eines dünnen Stabes der Länge L um eine senkrechte Achse durch ein Ende

Dies ist der gleiche Fall wie oben, aber mit der gesamten Stange, die sich um eine Achse dreht, die senkrecht von einem Ende ausgeht:

Da die Masse des Stabes im Mittel weiter von der Rotationsachse entfernt ist, wird das Trägheitsmoment größer. Tatsächlich ist es viermal größer als im vorherigen Fall, wie der folgende Ausdruck zeigt:

Beachten Sie, dass in diesem Fall die Achse nicht durch den Massenmittelpunkt verläuft, sodass der CM-Index des Symbols für das Trägheitsmoment weggelassen wurde.

Formel für das Trägheitsmoment eines massiven zylindrischen Stabes mit Radius R um seine Mittelachse

Dieser Fall wird sehr einfach gelöst, indem man ein Zylinderkoordinatensystem verwendet und den Zylinder betrachtet, als ob er aus konzentrischen Zylinderschalen gleicher Länge, aber mit unterschiedlichen Radien gebildet wäre. Dann wird der Radius von r = 0 bis r = R integriert.

Das Ergebnis dieses Prozesses ist die Formel für die Trägheit eines zylindrischen Stabes, die lautet:

Da dieses Ergebnis nicht von der Länge des Zylinders abhängt, ist anzumerken, dass der gleiche Ausdruck für den Fall einer kreisförmigen Scheibe verwendet werden kann.

Formel für das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders mit Innenradius R ₁ und Außenradius R ₂ um seine Mittelachse

Dieser Fall ähnelt dem der dicken Kugelschale. Es wird angewendet, wenn die Dicke der Schale oder der Unterschied zwischen ihrem Außen- und Innenradius in der gleichen Größenordnung wie die Radien selbst liegt und wir daher nicht davon ausgehen können, dass sich die Masse auf einer Oberfläche konzentriert. Im Gegenteil, wir müssen berücksichtigen, dass es sich um eine dreidimensionale Massenverteilung entlang der Dicke der Schale handelt.

Das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders mit einem Innenradius von R ₁ und einem Außenradius von R ₂ kann wie bei der dicken Kugelschale durch direkte Integration oder durch Subtraktion des Trägheitsmoments von gefunden werden Zylinder, der beim Öffnen des zentralen Lochs herausgezogen wurde, des Trägheitsmoments eines Vollzylinders, der die gleiche Dichte wie der Mantel hat, unter Verwendung der Formel des vorherigen Abschnitts für jede dieser beiden Trägheiten.

Das Ergebnis jeder dieser beiden Strategien ist dasselbe und wird im Folgenden dargestellt:

Da dieses Ergebnis wie im vorherigen Fall nicht von der Länge des Zylinders abhängt, können wir damit das Trägheitsmoment einer kreisförmigen Scheibe mit einem Loch in der Mitte berechnen, wie z. B. einer Unterlegscheibe oder a Blu-Ray Disc.

Formel für das Trägheitsmoment einer dünnen Zylinderschale mit Radius R um ihre Mittelachse

Für den Fall, dass wir einen Hohlzylinder wie den in der folgenden Abbildung gezeigten haben, bei dem die Dicke des zylindrischen Mantels sehr klein im Vergleich zum Radius des Zylinders ist, können wir davon ausgehen, dass sich die Masse nur auf der Oberfläche des Radius R verteilt .

Wie in den anderen Fällen können wir die direkte Integration über die flächenhafte Massendichte durchführen, oder wir werten das Ergebnis des dicken Zylindermantels im Grenzfall aus, wo R1 gegen R2 geht. Das Ergebnis ist:

Wieder bemerken wir, dass dieses Ergebnis unabhängig von der Länge ist. Dies bedeutet, dass es auch für einen dünnen Reifen gilt. Tatsächlich können wir verifizieren, dass es das gleiche Ergebnis ist, das in dem Abschnitt erhalten wird, der einem dünnen Ring entspricht.

Formel für das Trägheitsmoment einer regelmäßigen rechteckigen Platte um eine senkrechte Achse durch ihren Mittelpunkt

Betrachten Sie schließlich den Fall einer rechteckigen Platte, die sich um eine Achse dreht, die senkrecht zu einer ihrer Oberflächen steht und durch ihren Massenmittelpunkt verläuft, wie die unten gezeigte.

Das Ergebnis der direkten Integration ist:

Wie in den vorherigen Fällen ist dieses Ergebnis unabhängig von der Höhe oder Dicke der Platte, gilt also für ein Blatt Papier genauso wie für einen festen Zementblock.

Verweise

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