So berechnen Sie den Prozentsatz des Fehlers

In Wissenschaft und Technik drückt der prozentuale Fehler , auch prozentualer Fehler oder prozentualer relativer Fehler genannt, die Differenz zwischen einem experimentell bestimmten oder geschätzten Wert und einem bekannten, theoretischen oder akzeptierten wahren Wert als Prozentsatz des letzteren aus. In diesem Sinne ist der prozentuale Fehler ein relatives Maß für die Genauigkeit der betreffenden Schätzung oder experimentellen Bestimmung, ausgedrückt in Prozent.

Der Prozentsatz des Fehlers wird normalerweise mit dem Symbol %E, EP (für Prozentfehler) oder ERP (für relativer Prozentfehler) dargestellt, je nach Wissensgebiet, in dem er verwendet wird. Wie wir in diesem Artikel sehen werden, kann er je nach verfügbaren Daten auf unterschiedliche Weise berechnet werden.

Nutzen von prozentualen Fehlern

Da es sich um einen relativen Fehler handelt, der als Prozentsatz ausgedrückt wird, ermöglicht uns der Fehlerprozentsatz, eine klarere Vorstellung von der Größe des Fehlers zu bekommen, der während einer Schätzung oder während einer experimentellen Bestimmung einer bestimmten Größe von Interesse begangen wird.

Angenommen, bei der Meldung der Anzahl neuer bestätigter Fälle während einer Pandemie meldet Land A 5.000 neue Fälle, obwohl es tatsächlich 10.000 hat, während Land B 45.000 neue Fälle meldet, wenn es tatsächlich 50.000 hat. Wie zu sehen ist, haben beide Länder bei der Meldung der neuen Fälle einen Fehler gemacht, und in beiden Fällen war der Fehler 5.000 weniger Fälle als bei den tatsächlichen.

Wenn man sich jedoch nur die Zahlen ansieht, ist leicht zu erkennen, dass Land B bei seiner Berichterstattung insgesamt genauer war als Land A, da der Fehler im Vergleich zur Gesamtzahl der tatsächlichen Fälle (die 50.000 beträgt) viel geringer ist als der Fehler für Land A.

Bei diesem Beispiel ist es sehr einfach zu sagen, welcher der beiden Berichte genauer war, da beide absoluten Fehler gleich waren und sich nur die tatsächlichen Fallzahlen geändert haben. Dies ist jedoch selten der Fall, und wenn sowohl die Anzahl der tatsächlichen Fälle als auch die Anzahl der gemeldeten Fälle unterschiedlich gewesen wären, wäre der Vergleich nicht so einfach gewesen.

Hier sind die relativen Fehler nützlich, und insbesondere der Prozentsatz, da wir uns im Alltag ständig mit Prozentsätzen befassen. In Prozent ausgedrückt wird die Größe des absoluten Fehlers normalisiert, sodass zwei Fehler leicht miteinander verglichen werden können. Wie wir gleich sehen werden, betrug der von Land A begangene Fehler 50 %, während der von Land B 10 % betrug, woraus deutlich wird, dass Land B in seiner Berichterstattung viel genauer war als Land A. .

Wie wird der prozentuale Fehler berechnet?

Abhängig von den Ihnen vorliegenden Daten kann der prozentuale Fehler auf drei verschiedene Arten berechnet werden:

• Die erste basiert auf dem geschätzten Wert und dem als real akzeptierten Wert.
• Die zweite basiert auf dem absoluten Fehler und dem als real akzeptierten Wert.
• Der dritte, aus dem relativen Fehler.

Es ist auch wichtig, das Feld zu berücksichtigen, in dem der Fehler berechnet wird. In einigen Fällen kommt es nur auf die Größe des prozentualen Fehlers an, sein Vorzeichen spielt jedoch keine Rolle. Andererseits ist das Vorzeichen des Fehlers in anderen Fällen ein wesentlicher Teil, der Entscheidungen ermöglicht, da ein Fehler über dem tatsächlichen Wert möglicherweise nicht schwerwiegend ist, ein Fehler darunter jedoch schon.

Die Berechnung des Fehlerprozentsatzes ist so einfach wie die Anwendung der entsprechenden Formel. Als nächstes zeigen wir die verschiedenen Formeln, die für diesen Zweck verwendet werden können.

Fehlerratenformeln

Aus dem geschätzten Wert und dem als real angenommenen Wert

Falls der tatsächliche Wert der gemessenen oder geschätzten Größe bekannt ist, lautet die Formel zum Ermitteln des Fehlerprozentsatzes:

Diese Formel kann für jeden Fall unterschiedlich geschrieben werden, abhängig von der Größe, deren Fehler berechnet wird. Wenn Sie beispielsweise den prozentualen Fehler beim Gewicht einer Müslischachtel auf einer Produktionslinie berechnen, könnte die Formel folgendermaßen geschrieben werden:

Wenn sich der zu berechnende Fehler beispielsweise auf die Bestimmung der Dichte einer Probe einer Substanz bezieht, die als Eisen bekannt ist, lautet die Formel zum Ermitteln des prozentualen Fehlers:

usw.

Aus dem absoluten Fehler und dem als real akzeptierten Wert

In der Prozentfehlerformel stellt die Differenz zwischen dem geschätzten oder experimentellen Wert und dem tatsächlichen Wert, der im Zähler erscheint, den absoluten Fehler (E) dar. Diese Formel kann also auch geschrieben werden als:

Aus dem relativen Fehler

In der obigen Formel entspricht das Verhältnis zwischen dem absoluten Fehler und dem tatsächlichen Wert dem relativen Fehler (ER), sodass der prozentuale Fehler auch einfach durch Multiplizieren des relativen Fehlers mit 100 berechnet werden kann:

Das Vorzeichen des prozentualen Fehlers und der Absolutwert

Bei der Berechnung eines prozentualen Fehlers mit einer der oben genannten Formeln besteht die Möglichkeit, dass das Ergebnis entweder positiv oder negativ ist, je nachdem, ob der geschätzte Wert größer oder kleiner als der tatsächliche Wert ist.

Wenn ein prozentualer Fehler positiv ist, bedeutet dies, dass der geschätzte Wert größer ist als er sein sollte, also liegt ein übermäßiger Fehler vor .

Andernfalls, wenn der experimentelle oder geschätzte Wert unter dem liegt, was er sein sollte, ist der prozentuale Fehler negativ, in diesem Fall liegt ein Standardfehler vor .

In vielen Fällen ist es nicht wichtig zu wissen, ob der Fehler auf Überschuss oder Mangel zurückzuführen ist, und es ist vorzuziehen, nur positive Ergebnisse zu erhalten. In diesen Fällen wird dem Zähler ein absoluter Wert hinzugefügt:

Wie wird ein prozentualer Fehler in einer Stichprobe berechnet?

Es ist wichtig zu beachten, dass in den meisten experimentellen Situationen der wahre Wert dessen, was wir messen, nicht wirklich bekannt ist. Beispielsweise können wir die Dichte einer unbekannten Substanz bestimmen, sodass wir keinen Standard zum Vergleichen und Berechnen des Fehlers haben.

In diesen Situationen wird der unbekannte „wahre Wert“ durch den Durchschnitt experimenteller Messungen derselben Größenordnung geschätzt. Der Stichprobenmittelwert ist derjenige, der als realer Wert genommen wird, um den Prozentsatz des Fehlers einer beliebigen der durchgeführten Einzelmessungen zu bestimmen. In diesem Fall würde die Formel wie folgt aussehen:

wobei %E _i der prozentuale Fehler der i -ten experimentellen Messung ist, x _i die i -te experimentelle Messung ist und x̄ der Mittelwert aller experimentellen Messungen ist.

Beispiele für prozentuale Fehlerberechnungen

Beispiel 1: Städte A und B

Lassen Sie uns die Fehlerquoten der Meldungen neuer Fälle in den Städten A und B aus dem vorherigen Beispiel berechnen. Im Fall von Stadt A betrug der geschätzte oder gemeldete Wert 5.000 Fälle, während die tatsächliche Zahl der Fälle bei 10.000 liegt.

Für Stadt B betrug die Zahl der gemeldeten Fälle 45.000, während die tatsächliche Zahl 50.000 betrug, sodass die Fehlerquote für Bericht B wie folgt lautet:

Beachten Sie, dass der Fehler in beiden Fällen standardmäßig ist, da er negativ war, und dass der Bericht von Stadt B genauer ist als der von Stadt A.

Beispiel 2: Absoluter Nullpunkt

In einem Lehrlabor für allgemeine Chemie führen Gruppen von drei Schülern die Bestimmung der Temperatur in Grad Celsius durch, die dem absoluten Nullpunkt entspricht. Das Ergebnis einer der Gruppen war -275,32 °C. Wenn Sie wissen, dass der tatsächliche Wert -273,15 °C beträgt, bestimmen Sie den Prozentsatz des Fehlers. War der Fehler auf einen Überschuss oder einen Mangel zurückzuführen?

Lösung:

Dieses Beispiel zeigt, wie wichtig es ist, vorsichtig mit den Vorzeichen umzugehen und daran zu denken, dass im Nenner der Absolutwert notwendig ist, um sicherzustellen, dass das Vorzeichen des Fehlers nur durch den Zähler bestimmt wird.

Es wird geschlussfolgert, dass es sich um einen Standardfehler handelt.

Beispiel 3: Eine Stichprobe von 10 experimentellen Daten

Es wurde die experimentelle Bestimmung der Abtropfgewichte von 10 Dosen Thunfisch in Pflanzenöl aus den Regalen eines Supermarktes durchgeführt. Die einzelnen Gewichte sind in der folgenden Tabelle dargestellt. Bestimmen Sie den prozentualen Fehler beim Gewicht der ersten Dose.

In diesem Fall ist der tatsächliche Wert des Abtropfgewichts des Inhalts der Thunfischdosen nicht bekannt, so dass wir diesen Wert bestenfalls anhand des Durchschnitts der zehn Proben schätzen können. Dieser Durchschnitt ist in diesem Fall x̄ = 148 g, also gilt die Formel:

In diesem Fall weist Probe 1 einen absoluten Fehler aufgrund einer Überschreitung von fast 4 % auf.

Verweise

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