Tabla de Contenidos
Die Auftriebskraft, Auftriebskraft oder Auftriebskraft, ist eine Kraft, die der Schwerkraft entgegengerichtet ist und auf jeden Feststoff wirkt, der teilweise oder vollständig in ein Fluid, sei es eine Flüssigkeit oder ein Gas, eingetaucht ist. Diese Kraft wurde erstmals im 3. Jahrhundert v. Chr. vom griechischen Mathematiker, Physiker und Ingenieur Archimedes entdeckt und charakterisiert und war, wie die Geschichte erzählt, die Ursache für den berühmten Schrei von Eureka ! das charakterisiert den erwähnten hellenischen Gelehrten so sehr.
Obwohl sie nicht denselben Ursprung haben, können wir uns die Auftriebskraft als die Normalkraft vorstellen, die von Flüssigkeiten und anderen Fluiden auf die Körper ausgeübt wird, mit denen sie in Kontakt kommen.
Eureka! und das Archimedische Prinzip
Nach dem Bericht des römischen Architekten Vitruv wurde die Auftriebskraft von Archimedes in der Badewanne entdeckt. Archimedes war von König Hieron von Syrakus beauftragt worden, festzustellen, ob die Krone, die er bei seinen Goldschmieden in Auftrag gegeben hatte, aus reinem Gold bestand oder ob er im Gegenteil durch die Kombination von Gold mit Silber oder einem anderen weniger wertvollen Metall getäuscht worden war.
Offenbar dachte Archimedes viel darüber nach, wie er dieses Problem lösen könnte, ohne die Lösung finden zu können, bis er eines Tages, als er in eine Badewanne stieg, bemerkte, dass sein Körper beim Eintauchen in das Wasser einen Teil des Wassers verdrängte Flüssigkeit, wodurch sie in den Abfluss fällt. Dann kam er auf das, was wir heute als Archimedes-Prinzip kennen: Wenn ein Körper in Wasser (oder eine andere Flüssigkeit) getaucht wird, verspürt er eine Druckkraft, die sein Gewicht um einen Betrag verringert, der dem verdrängten Wasservolumen entspricht.
Die Differenz zwischen dem ursprünglichen Gewicht des Körpers und dem Gewicht des in Wasser getauchten Körpers entspricht der Auftriebskraft oder Auftriebskraft. In Gleichungsform kann das Prinzip von Archimedes geschrieben werden als:
Wobei B die Auftriebskraft darstellt (in einigen Texten wird sie als F B dargestellt ) und W f dem Gewicht der Flüssigkeit entspricht, die durch den eingetauchten Körper verdrängt wird.
Archimedes wusste, dass Gold ein schwereres (dichteres) Metall war als jedes andere Metall, das Goldschmiede zur Herstellung der Krone verwenden konnten. Wenn die Krone also aus massivem, reinem Gold bestehen würde, müsste sie die gleiche Wassermasse verdrängen wie jedes andere massive Gold Objekt gleicher Masse, so dass das scheinbare Gewicht oder das durch Auftrieb reduzierte Gewicht für die Krone und das Kontrollobjekt gleich sein sollte.
Wenn andererseits Gold mit Silber oder einem anderen Metall gemischt wird, dann sollte es, da es weniger dicht ist, ein größeres Volumen (und daher ein Gewicht) an Wasser verdrängen und somit ein geringeres scheinbares Gewicht als das des Kontrollobjekts erhalten (da die Auftriebskraft wird größer).
Laut Vitruvs Bericht war Archimedes von der Lösung des Problems so begeistert, dass er aus seinem Bad durch die Straßen von Syrakus zum Palast des Königs rannte und Heureka rief! Eureka! (was übersetzt „Verstanden! Verstanden!“) Ohne überhaupt zu bemerken, dass er völlig nackt war.
Erklärung des archimedischen Prinzips
Das archimedische Prinzip lässt sich leicht mit den Newtonschen Gesetzen erklären. Die oben gezeigte Form der Gleichung des archimedischen Prinzips beweist, dass die Auftriebskraft unabhängig von den Eigenschaften des untergetauchten Objekts ist, da sie nur von der Masse der verdrängten Flüssigkeit (nicht des Objekts) abhängt. Das heißt, es hängt nicht von der Zusammensetzung, Dichte oder Form des Körpers ab.
Die Auftriebskraft, die zum Beispiel ein Holzwürfel spürt, muss also die gleiche sein wie die, die ein Würfel aus der gleichen Flüssigkeit spürt. Wenn wir uns nun einen Würfel vorstellen, der aus derselben Flüssigkeit besteht und untergetaucht ist, wie der in der folgenden Abbildung gezeigte, ist es offensichtlich, dass er im mechanischen Gleichgewicht mit der ihn umgebenden Flüssigkeit steht (andernfalls würden wir Wasserströme sehen bilden sich spontan in jedem Glas Wasser). Nach dem ersten Newtonschen Gesetz befindet sich ein Körper nur dann im mechanischen Gleichgewicht (d. h. in Ruhe oder in Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit), wenn keine Nettokraft auf ihn wirkt. Dies kann nur passieren, wenn keine Kraft auf den Körper wirkt oder wenn sich alle auf ihn wirkenden Kräfte gegenseitig aufheben (ihre Vektorsumme ist Null).
Da wir wissen, dass der Flüssigkeitsblock Masse hat, muss er dann die Schwerkraft spüren, sodass er nur dann im Gleichgewicht ist, wenn eine andere Kraft auf den Block einwirkt, die ihn in die entgegengesetzte Richtung drückt. Diese Kraft muss die Auftriebskraft sein, die Archimedes vorgeschlagen hat.
Da also die beiden einzigen Kräfte, die auf unseren imaginären Flüssigkeitsblock einwirken, sein Gewicht und die Auftriebskraft sind, müssen diese dieselbe Größe haben und in entgegengesetzte Richtungen gerichtet sein, sodass die Auftriebskraft auf den Flüssigkeitsblock gleich seinem Gewicht und ist zeigt auf. Da diese Kraft nun unabhängig von den Eigenschaften des Objekts ist, muss, wenn wir den Flüssigkeitsblock durch einen Block gleicher Form und Größe aus einem anderen Material ersetzen, die vom neuen Block gefühlte Auftriebskraft genau gleich sein gefühlt durch den Flüssigkeitsblock, den wir entfernen mussten, um Platz für den zweiten Block zu schaffen, der an seine Stelle gesetzt werden sollte, und diese Kraft ist gleich dem Gewicht dieser verdrängten Flüssigkeit.
Ursprung der Auftriebskraft
Die Auftriebskraft entsteht durch den Anstieg des hydrostatischen Drucks, wenn wir in eine Flüssigkeit eintauchen. Dies liegt daran, dass die Abwärtsbewegung in einer Flüssigkeit die Höhe (und damit die Masse) der Flüssigkeitssäule über uns erhöht, sodass der Druck ungefähr linear mit der Tiefe zunimmt (zumindest im Fall von nicht komprimierbaren Flüssigkeiten).
Der Druck ist die Kraft pro Flächeneinheit und wird senkrecht zur Kontaktfläche zwischen Körper und Flüssigkeit aufgebracht. Dies bedeutet, dass jeder Abschnitt der Oberfläche eines untergetauchten Körpers einen Druck spürt, der versucht, ihn aus allen Richtungen zu zerquetschen. Wie wir weiter unten sehen werden, ist diese Druckkraft am Grund eines untergetauchten Körpers größer als an dem Teil, der der Oberfläche am nächsten ist.
Um zu sehen, wie dies die Auftriebskraft erzeugt, betrachten Sie die folgende Abbildung, die einen würfelförmigen Block zeigt, der in eine beliebige Flüssigkeit getaucht ist. Um die Analyse zu vereinfachen, nehmen wir an, dass die oberen und unteren Kappen parallel zur Wasseroberfläche sind (dh sie stehen senkrecht zur Vertikalen) und dass die vier Seitenkappen senkrecht zur ersten sind.
Da der Druck eine Kraft senkrecht zur Oberfläche ausübt, gibt es sechs verschiedene resultierende Kräfte, die eine auf jede der sechs Seiten des Würfels drücken. Da die Seitenflächen vertikal sind, sind die aus dem Druck auf sie resultierenden Kräfte parallel zur Oberfläche der Flüssigkeit und tragen daher nicht zur Auftriebskraft bei, die vertikal sein muss (wie wir oben gesehen haben). Wir müssen also nur die Kräfte auf die obere und untere Kappe berücksichtigen. Der Druck auf die obere Fläche drückt den Körper nach unten, während der Druck auf die untere Fläche nach oben drückt.
Wenn wir nun den Druck auf der oberen Fläche vergleichen, können wir verifizieren, dass er sich in einer geringeren Tiefe befindet als die untere Fläche. Da der Druck proportional zur Tiefe ist, muss der Druck auf der Oberseite geringer sein als der Druck, den die Unterseite spürt. Da schließlich beide Flächen die gleiche Fläche haben, hängt die relative Kraft, die durch den Druck auf beide Flächen ausgeübt wird, nur vom Druck ab, und wir schließen daraus, dass der Körper von unten eine größere Druckkraft erfährt als von oben. Die Vektorsumme dieser beiden Kräfte ergibt eine nach oben gerichtete Resultierende, die der Auftriebskraft entspricht.
Trotz der Tatsache, dass wir die Analyse an einem Körper mit einer sehr einfachen Form durchgeführt haben, kann dieselbe Argumentation auf jeden Körper mit jeder Form extrapoliert werden.
Wo wirkt die Auftriebskraft?
Wie wir gerade gesehen haben, ist die Auftriebskraft tatsächlich das Ergebnis des Drucks, der auf die Oberfläche eines untergetauchten Körpers ausgeübt wird. Aber genauso wie das Gewicht die Summe der Anziehungskraft ist, die von jedem Teilchen empfunden wird, aus dem ein Körper besteht, und trotzdem können wir das Gewicht durch einen einzigen Vektor darstellen, der auf den Schwerpunkt wirkt, das gleiche können wir tun die Auftriebskraft.
Aber wo platzieren wir diese Kraft?
Die Antwort ergibt sich wieder aus den Newtonschen Gesetzen. Das mechanische Gleichgewicht eines Körpers, der in Ruhe auf einer Flüssigkeit schwimmt, impliziert nicht nur, dass die Nettokraft Null ist, sondern auch, dass es kein Drehmoment oder keine Verdrehungskraft gibt, da sich der Körper nicht dreht. Folglich muss die Auftriebskraft nicht nur dem Gewicht entgegenwirken, damit der Körper nicht nach oben oder unten beschleunigt, sondern sie muss auch auf der gleichen Wirkungslinie des Gewichts wirken. Aus diesem Grund können wir davon ausgehen, dass die Auftriebskraft auch auf den Massenmittelpunkt wirkt.
Auftriebskraft Formeln
Obwohl die Grundgleichung der Auftriebskraft die von Archimedes vorgeschlagene ist, kann sie auf verschiedene Weise manipuliert werden, um andere nützlichere Ausdrücke zu erhalten.
Zunächst einmal wissen wir durch das zweite Newtonsche Gesetz, dass das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit gleich ihrer Masse mal der Erdbeschleunigung (W=mg) ist. Darüber hinaus wissen wir auch, dass die Masse durch die Dichte mit dem Volumen zusammenhängt. Die Kombination dieser Formeln mit der vorherigen ergibt die folgenden Ergebnisse:
Wobei m f die Masse des verdrängten Fluids darstellt, g die Erdbeschleunigung ist, ρ f die Dichte des Fluids ist und V f das Volumen des verdrängten Fluids ist.
Darüber hinaus können wir die Auftriebskraft auch als Funktion des scheinbaren Gewichts eines in eine Flüssigkeit eingetauchten Körpers ausdrücken:
Wobei W real das tatsächliche Gewicht des untergetauchten Körpers ist, das ungefähr seinem Gewicht in Luft entspricht, während W scheinbar das reduzierte Gewicht ist, das wir spüren würden, wenn wir versuchen würden, den Körper anzuheben, wenn er untergetaucht ist.
Andererseits kann Gleichung 3 auch als Funktion des Volumens des untergetauchten Körpers ausgedrückt werden, da das verdrängte Volumen der Flüssigkeit gleich dem Volumen des untergetauchten Teils des Körpers sein muss. Daraus ergeben sich zwei unterschiedliche Fälle:
Auftriebskraft auf vollständig untergetauchte Körper
Wenn ein Körper mit dem Volumen V 0 vollständig untergetaucht ist, dann ist das verdrängte Volumen der Flüssigkeit gleich dem Volumen des Körpers. Somit bleibt Gleichung 3:
Auftriebskraft auf teilweise untergetauchte Körper
Wenn dagegen nur ein Bruchteil des Körpers untergetaucht ist, entspricht das verdrängte Flüssigkeitsvolumen dem untergetauchten Teil des Körpervolumens ( V s ):
Formel für Schwimmkörper
Schließlich haben wir noch den Sonderfall, dass ein Körper auf der Oberfläche einer Flüssigkeit schwimmt, nur unterstützt durch die Auftriebskraft. In diesem Fall können wir sagen, dass das scheinbare Gewicht des Körpers Null ist und dass daher die Auftriebskraft genau gleich dem tatsächlichen Gewicht des Körpers ist (eine Schlussfolgerung, zu der wir auch durch eine einfache Analyse der Kräfte in einem Diagramm gelangen könnten ).freier Körper). In diesem Fall wird nur ein Teil des Körpervolumens eingetaucht, daher gilt auch Gleichung 5.
Wenn wir dies also mit den Körpergewichtsformeln kombinieren, können wir zu der folgenden Gleichung gelangen:
wobei ρ c die Dichte des Körpers ist und die anderen Variablen die gleichen wie zuvor sind. Diese Gleichung ermöglicht es, den untergetauchten Anteil eines beliebigen Schwimmkörpers aus dem Verhältnis zwischen seiner Dichte und der des Fluids, in dem er schwimmt, leicht zu ermitteln.
Beispiele für Berechnungen mit der Auftriebskraft
Beispiel 1: Eisberge oder Eisschollen
Der Ausdruck „nur die Spitze des Eisbergs“ bezieht sich auf die Tatsache, dass der Teil eines Eisbergs, den wir über der Wasseroberfläche sehen können, nur einen kleinen Bruchteil der Gesamtmasse des Eisbergs ausmacht. Aber wie viel genau ist dieser Bruchteil? Wir können dies aus Gleichung 6 berechnen. Die zusätzliche Information, die wir benötigen, ist, dass die Dichte von Eis bei 0 °C 0,920 g/mL und die von Meerwasser etwa 1,025 g/mL beträgt, da es sich um salziges, kaltes Wasser handelt, das dichter ist als reines Wasser.
Daten:
ρc = 0,920 g/ml
ρf = 1,025 g/ml
Herausragender Eisanteil = ?
Lösung:
Aus Gleichung 7 haben wir das:
Denken Sie daran, dass dies der Bruchteil des Volumens eines schwimmenden Körpers ist, der untergetaucht ist. Dieses Ergebnis zeigt also an, dass 89,76 % des Volumens des Eisbergs unter Wasser sind. Gleichzeitig bedeutet dies, dass nur 10,24 % das sind, was wir an der Oberfläche sehen.
Beispiel 2: Die Krone des Hieron
Angenommen, Archimedes nimmt die Krone von König Hieron und wiegt sie in der Luft, wodurch er ein Gewicht von 7,45 N erhält. Dann bindet er die Krone an einen dünnen Faden und taucht sie in Wasser (Dichte 1,00 g/mL), während er das Gewicht mit einer Waage aufzeichnet zeigt jetzt 6,86 N an. Wird der Goldschmied König Hieron ausgetrickst haben, wenn er weiß, dass die Dichte von Gold 19,30 g/mL und die von Silber 10,49 g/mL beträgt?
Daten:
Ist = 7,45 N
Wapparent = 6,86 N
ρf = 1,00 g/ml
ρ Gold = 19,30 g/ml
ρ Silber = 10,49 g/ml
ρ Krone = ?
Lösung:
Die Dichte ist eine intensive und charakteristische Eigenschaft einer Substanz, daher müssen wir zur Beantwortung der vorliegenden Frage die Dichte der Korona bestimmen. Wenn die Krone aus massivem Gold besteht, sollte sie die gleiche Golddichte haben. Andernfalls und wenn das Material mit Silber gemischt wird, hat die Krone eine viel geringere Dichte.
Auf der anderen Seite haben wir das tatsächliche Gewicht und das scheinbare Gewicht. Außerdem wissen wir, dass die Krone bei der Bestimmung des scheinbaren Gewichts vollständig im Wasser untergetaucht ist, sodass wir die Gleichungen 4 und 5 verwenden können. Diese können auch mit den Gleichungen für das tatsächliche Gewicht als Funktion des Körpervolumens kombiniert werden und seine Dichte. .
Beginnen wir mit der Bestimmung der Auftriebskraft:
Da die Krone vollständig untergetaucht ist, ist die Auftriebskraft gleich:
Diese Gleichung kann mit der Kronendichtegleichung und der Gewichtsgleichung kombiniert werden, die aus dem zweiten Newtonschen Gesetz erhalten werden:
Um die folgende Gleichung zu erhalten:
Wenn wir dann die Gleichung lösen, um die Dichte der Krone zu finden, haben wir:
Wenn man bedenkt, dass die Dichte von Gold 19,30 g/mL beträgt, ist es offensichtlich, dass der König getäuscht wurde. Entweder ist die Krone hohl, oder sie ist nicht aus purem Gold.
Beispiel 3: Ein teilweise untergetauchter Würfel
Ein Würfel mit einem Volumen von 2,0 cm 3 wird zur Hälfte in Wasser getaucht. Welche Auftriebskraft erfährt der Würfel?
Daten
V0 = 2,0 cm3
V s = ½ V 0
ρf = 1,00 g/ml
B = ?
Lösung:
Wir haben die Dichte der Flüssigkeit, weil wir wissen, dass es Wasser ist und dass die Dichte von Wasser 1,00 g/cm 3 beträgt . Darüber hinaus liefern sie uns das Volumen des Würfels sowie den Anteil davon, der untergetaucht ist, sodass wir Gleichung 5 direkt anwenden können. Wir müssen jedoch berücksichtigen, dass wir, da wir eine Kraft berechnen, einige Einheitenumrechnungen durchführen müssen, wenn wir das Ergebnis von in N wollen:
Daher beträgt die Auftriebskraft 0,0098 N.
Beispiel 4: Ein unbekannter Würfel
Ein Würfel mit einem Volumen von 2,0 cm3 schwimmt auf Wasser und lässt ein Viertel seines Volumens über der Oberfläche. Welche Dichte hat der Würfel?
Daten:
V0 = 2,0 cm3
V über der Oberfläche = ¼ V 0
ρf = 1,00 g/ml
ρ Würfel = ?
Lösung:
Auch hier haben wir die Dichte der Flüssigkeit, weil wir wissen, dass es Wasser ist. In diesem Fall liefern sie uns den Bruchteil des hervorstehenden Volumens, aber wir brauchen den untergetauchten, also ¾ von V 0 . Schließlich sagen sie uns, dass der Würfel frei schwebt, sodass wir Gleichung 6 direkt anwenden können:
Damit wissen wir dann, dass der Würfel eine Dichte von 0,750 g/cm 3 hat .
Verweise
Franco Garcia, A. (sf). Das Prinzip von Archimedes . Physik mit Computer. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/estatica/arquimedes/arquimedes.htm
González Sánchez, JA (sf). Auftriebskraft und archimedisches Prinzip . PhysikPR. https://physicspr.com/buyont.html
Jewett, JW, & Serway, RA (2006). Physik für Natur- und Ingenieurwissenschaften – Band I. Thomson International.
Khan Akademie. (nd). Was ist die Auftriebskraft? https://en.khanacademy.org/science/physics/fluids/buoyant-force-and-archimedes-principle/a/buoyant-force-and-archimedes-principle-article
Organe von Palencia. (2021, 23. Dezember). Wie bestimmt man die Auftriebskraft? https://organosdepalencia.com/biblioteca/articulo/read/16377-como-determinar-la-fuerza-boyante
Ross, R. (2017, 26. April). Eureka! Das Archimedische Prinzip . Livescience.Com. https://www.livescience.com/58839-archimedes-principle.html
Saragossa Palacios, BG (nd). ALLGEMEINE PHYSIK . Universität von Sonora. http://paginas.fisica.uson.mx/beatriz.zaragoza/archivos/05a-fisicageneral.pdf
