Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig eine Primzahl auszuwählen?

In der Mathematik sind Primzahlen eines der häufigsten Themen beim Studium ganzer Zahlen. Da Primzahlen unendlich sind, besteht eine interessante Übung zum Üben darin, herauszufinden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine zufällig ausgewählte Zahl von 1 bis X eine Primzahl ist.

Was sind primzahlen

Primzahlen sind solche, die nur durch 1 und durch sich selbst, also durch die betreffende Zahl, teilbar sind. Das bedeutet, dass das Ergebnis bei Division durch eine andere Zahl keine ganze Zahl ergibt. Es wird auch angenommen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Im Gegensatz zu Primzahlen sind zusammengesetzte Zahlen solche, die durch 1, durch sich selbst und durch andere Zahlen geteilt werden können.

Die Zahl 1 wird weder als Primzahl noch als zusammengesetzte Zahl betrachtet.

Primzahlen und das Eratosthenes-Sieb

Um schnell alle Primzahlen zu finden, hat der griechische Mathematiker Eratosthenes (3. Jahrhundert v. Chr.) einen schnellen Weg geschaffen, um alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Zahl zu erhalten. Diese Methode ist als „Eratosthenes-Sieb“ bekannt.

Das Eratosthenes-Sieb ist ein Algorithmus, der es ermöglicht, alle Primzahlen zu kennen, die kleiner als eine gegebene natürliche Zahl sind. Dazu wird eine Tabelle mit allen natürlichen Zahlen zwischen 2 und der gewählten Zahl (n) erstellt. In diesem Beispiel ist n gleich 100.

Dann werden die Zahlen, die keine Primzahlen sind, durchgestrichen. Beginnen Sie zuerst mit 2 und streichen Sie alle Vielfachen durch. Wenn eine nicht durchgestrichene Zahl gefunden wird, werden alle ihre Vielfachen durchgestrichen und so weiter. Dieses Verfahren endet, wenn das Quadrat der nächsten als Primzahl bestätigten Zahl erhalten wird, die größer als „n“ ist.

Mit dem Eratosthenes-Sieb erhalten wir 25 Primzahlen zwischen 0 und 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 , 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Weitere Beispiele für Primzahlen

Andere Beispiele für Primzahlen zwischen 100 und 1000 sind: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 , 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349 , 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499 , 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659 , 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829 , 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 und 997.

Problem mit Primzahlen

Wie fast immer in der Mathematik ist der beste Weg zu verstehen, wie Primzahlen berechnet werden, Probleme zu lösen. Sehen wir uns nun ein einfaches Problem an, um zu wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit wir eine Primzahl auswählen können.

Zuerst wählen wir eine positive ganze Zahl, die 1, 2, 3 usw. bis zu einer bestimmten Zahl X sein kann. Dann müssen wir zufällig eine dieser Zahlen auswählen. Dies bedeutet, dass alle X-Zahlen Wahrscheinlichkeiten haben, ausgewählt zu werden.

Die Lösung dieses Problems ist für kleine Zahlen X einfach. Das Problem wird durch folgende Schritte gelöst:

• Erster Schritt:
  • Zähle die Anzahl der Primzahlen, die kleiner oder gleich X sind.
• Zweiter Schritt:
  • Teilen Sie die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich X durch die Zahl X selbst. Das heißt, wenn wir die Wahrscheinlichkeit wissen wollen, eine bestimmte Primzahl von 1 bis 10 zu wählen, müssen wir die Anzahl der Primzahlen durch 10 teilen.

Um zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass eine Primzahl von 1 bis 10 ausgewählt wird, müssen wir die Anzahl der Primzahlen durch 10 teilen. Da es 4 Primzahlen von 1 bis 10 gibt: 2, 3, 5, 7, ist die Wahrscheinlichkeit, eine auszuwählen Primzahl ist: 4/10 = 0,4, also 40 %.

Wenn wir wissen möchten, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Primzahl von 1 bis 50 ausgewählt wird, können die vorherigen Schritte auf die gleiche Weise ausgeführt werden. Wir zählen die Primzahlen kleiner als 50, also 15: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 und 47. Und wir teilen diese Zahl durch 50: 15 /50 = 0,3, also 30 %. Daher besteht eine 30-prozentige Chance, eine Primzahl von 1 bis 50 zu wählen.

Was ist der primzahlsatz

Eine andere Möglichkeit, die Primzahlen bis zu einer bestimmten Zahl zu kennen und die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, eine davon auszuwählen, ist die Verwendung des Primzahlsatzes . Dieses Theorem wurde im 18. Jahrhundert vom deutschen Mathematiker Gauß formuliert und fast ein Jahrhundert später von anderen Mathematikern wie dem Franzosen Jacques Hadamard und dem Belgier Charles-Jean de la Vallée Poussin demonstriert.

Der Primzahlsatz besagt, dass es ungefähr X / ln(X) von Primzahlen gibt, die kleiner oder gleich X sind. In dieser Aussage:

• ln(X): ist der natürliche Logarithmus von X.
• X: ist die Zahl, bis zu der wir die Primzahlen wissen wollen.

Wenn der Wert von X zunimmt, nimmt der relative Fehler zwischen der Anzahl der Primzahlen kleiner als X und der Aussage X / In(X) ab.

Wie man den Primzahlsatz anwendet

Mit dem Primzahlsatz können wir ähnliche Probleme wie das vorherige lösen, insbesondere wenn wir die Primzahlen unter größeren Mengen von Zahlen kennen wollen.

Durch den Primzahlsatz wissen wir, dass es ungefähr X/ln(X) Primzahlen gibt, die kleiner oder gleich X sind. Außerdem gibt es insgesamt X positive ganze Zahlen, die kleiner oder gleich X sind. Daher die Wahrscheinlichkeit dass eine zufällig ausgewählte Zahl in diesem Bereich eine Primzahl ist: ( X / ln(X) ) / X = X / ( ln(X) . X ) = 1 / ln(X).

Zum Beispiel können wir dieses Ergebnis verwenden, um ungefähr die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, eine Primzahl zufällig aus den ersten Millionen ganzen Zahlen auszuwählen.

Dazu müssen wir den natürlichen Logarithmus einer Million berechnen. Daher haben wir:

P(1.000.000) = (X/ln(X) / X = 1 / ln(X)

P(1.000.000) = 1 / ln(1.000.000)

Wir erhalten also ln(1.000.000) = 13,8155 und 1 / ln(1.000.000) ist ungefähr 0,07238. Daher haben wir eine Wahrscheinlichkeit von ungefähr 7,238 %, zufällig eine Primzahl aus den ersten Millionen ganzen Zahlen auszuwählen.

Literaturverzeichnis

• López Mateos, M. Grundlegende Mathematik. (2017). Spanien. CreateSpace.
• dk. Das Mathebuch. (2020). Spanien. dk.
• Gracian, E. Primzahlen: ein langer Weg bis ins Unendliche. (2010). Spanien. RBA-Bücher.