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Die Fakultät einer positiven ganzen Zahl ist das Produkt aller ganzen Zahlen kleiner oder gleich ihr und wird durch das Symbol !. Zum Beispiel wird die Fakultät der Zahl 4 als 4 ausgedrückt! und ist gleich 24:
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
Insbesondere ist die Fakultät der Zahl 0 (d. h. 0!) gleich 1 definiert, obwohl sich dieser Wert nicht aus der Definition der Fakultät ergibt, die nur für alle ganzen Zahlen größer oder gleich 1 gilt. Warum Warum ist die Fakultät der Zahl 0 als 1 definiert, wenn es eine mathematische Regel gibt, die besagt, dass jede Zahl, die mit Null multipliziert wird, gleich Null ist?
Abgesehen von der Verwirrung, die diese Situation hervorrufen kann, muss beachtet werden, dass der Wert der Fakultät der Zahl 0 eine Definition ist ; das heißt, mathematisch ist definiert, dass 0! = 1. Sehen wir uns unten die Grundlagen dieser Definition an.
Die Definition der Fakultät der Zahl 0
Wie bereits erwähnt, ist zunächst festzuhalten, dass die Zuordnung des Wertes 1 zur Fakultät der Zahl 0 (0! = 1) eine Definition ist, obwohl dies beim bloßen Hinsehen prinzipiell nicht zu einer befriedigenden Erklärung führt bei der Definition von Fakultät.
Denken Sie daran, dass die Definition einer Fakultät einer positiven ganzen Zahl das Produkt aller ganzen Zahlen ist, die gleich oder kleiner als sie sind. Beachten Sie, dass diese Definition auch impliziert, dass die Fakultät allen möglichen Kombinationen von Zahlen zugeordnet ist, die kleiner oder gleich der Zahl sind, die wir betrachten.
Die Zahl 0 hat keine positiven ganzen Zahlen kleiner als sie, aber es ist immer noch eine Zahl und es gibt nur eine mögliche Kombination dieser bestimmten Zahlengruppe, die nur aus der Zahl 0 besteht. Diese Kombination ist eins, genau wie im Fall der Zahl 1.
Um die mathematische Bedeutung dieser Definition besser zu verstehen, muss berücksichtigt werden, dass das Fakultätskonzept auch andere Informationen beinhaltet, die in einer Zahl enthalten sind, nämlich die möglichen Permutationen ihrer Faktoren. Sogar in der leeren Menge, die durch die Zahl 0 dargestellt wird, kann man denken, dass es eine Möglichkeit gibt, diese Menge zu ordnen.
Permutationen und Fakultäten
Das Konzept der Fakultät wird in dem Zweig der Mathematik namens Kombinatorik verwendet, einer Disziplin, in der das Konzept der Permutation von Elementen definiert wird. Eine Permutation ist eine spezifische und einzigartige Reihenfolge der Elemente, aus denen eine bestimmte Menge besteht. Beispielsweise gibt es sechs mögliche Permutationen der Menge {1, 2, 3}, die drei Elemente enthält, da wir diese Elemente auf die folgenden sechs Arten schreiben können:
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
Wir könnten dieses Konzept auch durch den Fakultätsausdruck von drei ausdrücken, 3! = 6, was es uns ermöglicht, den vollständigen Satz von Permutationen einer Gruppe von 3 Elementen zu berechnen. Ebenso gibt es 24 Permutationen (4!=24) einer Menge mit vier Elementen und 120 mögliche Permutationen (5!=120) einer Menge mit fünf Elementen. Eine alternative Art, über das Konzept der Fakultät nachzudenken, besteht also darin, die Idee, dass es mit einer natürlichen Zahl n verbunden ist, beiseite zu legen und zu denken, dass n ! ist die Anzahl der Permutationen einer aus n Elementen bestehenden Menge.
Sehen wir uns nun einige Beispiele an, wenn wir diese neue Konzeption der Fakultät einer Zahl betrachten. Eine aus zwei Elementen bestehende Menge hat zwei mögliche Permutationen: {a, b} kann als (a, b) oder als (b, a) geordnet werden. Dies ist mit der Definition der Fakultät der Zahl 2 verbunden; 2! = 2. Eine Menge, die aus einem einzigen Element besteht, {a}, hat nur eine mögliche Permutation und ist mit der Definition der Fakultät der Zahl 1 verbunden; 1! = 1.
Kehren wir nun zum Fall der Fakultät 0 zurück. Die durch Nullelemente integrierte Menge heißt leere Menge. Um den Wert der Fakultät von 0 zu finden, können wir uns fragen, auf wie viele Arten wir eine Menge ohne Elemente ordnen können. Und während eine Antwort lauten könnte, dass es in einem leeren Set nichts zu bestellen gibt, haben wir auch die Alternative, dass sogar ein leeres Set ein Set ist, also könnte die Antwort 1 und somit 0 sein! = 1.
Andere Anwendungen der Fakultät
Wie wir bereits gesagt haben, wird das Fakultätskonzept in der Kombinatorik verwendet und dieses mathematische Werkzeug wird verwendet, um Berechnungen in Formeln durchzuführen, die Permutationen und Kombinationen von Gruppen von Elementen ausdrücken. Obwohl diese Anwendungen keine direkte Begründung für die Zuordnung von 1 zur Fakultät der Zahl 0 liefern, ist es verständlich, warum sie so definiert ist.
Der Begriff der Kombination einer Gruppe von Elementen bezieht sich auf die Anzahl der Untergruppen, die mit ihnen erhalten werden können, unabhängig von der Reihenfolge, in der sie betrachtet werden. Zum Beispiel hat die Menge {1, 2, 3} nur einen Join, wenn drei Elemente genommen werden, unabhängig von der Reihenfolge. Aber wenn wir sie durch zwei Elemente nehmen würden, hätten wir drei mögliche Kombinationen, {1, 3}, {2, 3} und {1, 2}, genauso wie wenn wir sie durch ein Element nehmen würden, {1}, {2} und {3}. Die allgemeine Formel zur Berechnung der Anzahl von Kombinationen ohne Wiederholung einer bestimmten Menge von n Elementen, die in Untergruppen von p Elementen genommen werden, ist C ( n , p ) = n !/ p !( n–p ) !.
Wenn wir diese Formel verwenden, um die Kombinationszahl von drei Elementen zu drei zu bestimmen, sehen wir, dass das Ergebnis 1 sein muss, ausgedrückt durch C (3, 3) = 3! / 3! (3-3)! = 3! / 3! 0!, also ist es notwendig, die 0! = 1, damit der mathematische Ausdruck sinnvoll ist.
Ebenso gibt es andere Situationen, die es erforderlich machen, die Fakultät der Zahl 0 als 1, 0 zu definieren! = 1, als Teil der allgemeinen Konzeption in der Entwicklung der Mathematik, die darauf hinweist, dass beim Aufbau neuer Ideen und der Einbeziehung neuer Definitionen eine Kompatibilität mit bereits bestehenden Strukturen bestehen muss.
Literaturverzeichnis
Null Fakultät oder 0!. Khan-Akademie .
Gibt es eine Fakultät von 0? YouTube-Kanal Driften .
