Differenz zwischen den Standardabweichungen einer Stichprobe und einer Grundgesamtheit

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Bei der Berechnung der Standardabweichung müssen zwei Situationen berücksichtigt werden: die Standardabweichung einer Grundgesamtheit oder eines Satzes von Werten und die Standardabweichung einer Stichprobe.

Erinnern wir uns, bevor wir mit den beiden Definitionen fortfahren, daran, dass die Standardabweichung σ ein Parameter ist, der es ermöglicht, die Streuung einer Reihe von Werten zu bewerten . Wird der Durchschnitt einer Wertemenge berechnet, bewertet die Standardabweichung die Differenz der Werte in der Wertemenge zum Durchschnitt. Und der Durchschnitt einer Menge von n Werten ist definiert als die Summe aller geteilt durch die Anzahl von n Werten . Die allgemeine Formel zur Berechnung der Standardabweichung σ ist unten dargestellt; besteht darin, von jedem Wert der Menge, die wir analysieren, die wir mit dem Index i notieren, zu subtrahieren, der Durchschnitt aller Werte; wir quadrieren jede dieser Differenzen und addieren sie; Wir teilen das Ergebnis durch die Anzahl der Werte in der Menge minus 1 und berechnen die Quadratwurzel dieses Werts.

Standardabweichung σ einer Stichprobe.
Standardabweichung σ einer Stichprobe.

Obwohl beide Definitionen der Standardabweichung die Variabilität bewerten, gibt es konzeptionelle Unterschiede zwischen der Berechnung anhand einer Grundgesamtheit und anhand einer Stichprobe. Der Unterschied liegt in der Unterscheidung zwischen einer statistischen Größe und einem mathematischen Parameter. Werden Daten von allen Mitgliedern einer Grundgesamtheit erhoben oder ein definierter Datensatz untersucht, handelt es sich um die Berechnung der Standardabweichung einer Grundgesamtheit. Wenn Sie Daten analysieren, die eine Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit darstellen, handelt es sich um die Berechnung der Standardabweichung einer Stichprobe. Die folgende Abbildung veranschaulicht den Unterschied grafisch. Die Standardabweichung einer Grundgesamtheit ist ein mathematischer Parameter mit einem eindeutigen Wert; Die Standardabweichung einer Stichprobe ist ein statistischer Parameter, der einen Datensatz auswertet, dessen Ergebnis auf einen größeren Datensatz projiziert wird. Diese Bewertung hängt von der Stichprobe ab, es handelt sich nicht um einen eindeutigen Wert, wie es bei einer Grundgesamtheit der Fall ist.

Population und Stichprobe.
Population und Stichprobe.

Qualitativ impliziert der Unterschied in der Definition eine etwas andere Berechnung; Bei der Standardabweichung einer Stichprobe wird die Differenz zwischen jedem Wert und dem quadrierten Durchschnitt durch die Anzahl der Werte minus 1 ( n – 1) geteilt, wie in der vorherigen Formel gezeigt. Bei der Standardabweichung einer Grundgesamtheit wird diese durch n dividiert .

Beispiel

Sehen wir uns ein Beispiel an, um Ideen zu beheben. Nehmen wir eine Reihe von Werten und berechnen die Standardabweichung nach den beiden Definitionen. Die Gruppe ist wie folgt und enthält 5 Werte ( n = 5), die wie folgt lauten:

1, 2, 4, 5, 8

Der Durchschnitt dieser Werte hat den folgenden Ausdruck

(1 + 2 + 4 + 5 + 8)/5 = 20/5 = 4

Die Differenzen jedes Werts und der quadratische Mittelwert werden in der folgenden Sequenz dargestellt

(1 – 4) 2 = 9

(2 – 4) 2 = 4

(4 – 4) 2 = 0

(5 – 4) 2 = 1

(8 – 4) 2 = 16

Die Summe der fünf Werte ist 30.

Bei der Berechnung der Standardabweichung der Grundgesamtheit muss dieser Wert durch n geteilt werden , in diesem Beispiel 5 und das Ergebnis ist 6 . Bei der Standardabweichung der Stichprobe muss zwischen n – 1 geteilt werden; 4 in diesem Fall und das Ergebnis ist 7,5 . Um die Berechnung abzuschließen, müssen wir die Quadratwurzel ziehen; ungefähr 2,4495, wenn es sich um eine Population handelt, und ungefähr 2,7386, wenn es sich um eine Stichprobe handelt.

Brunnen

Yadolah Dodge. Die kurze Enzyklopädie der Statistik . New York: Springer, 2010.

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Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

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