Die Komplementregel in der Statistik

In der Statistik und Wahrscheinlichkeit legt die Komplementregel fest, dass die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Ereignis A eintritt, immer gleich Eins minus der Wahrscheinlichkeit ist, dass das entgegengesetzte oder komplementäre Ereignis zu A eintritt . Mit anderen Worten, es ist eine Regel, die angibt, dass die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Komplements durch den folgenden Ausdruck zusammenhängen:

Diese Regel ist eine der grundlegenden Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit und sagt uns, dass wir immer die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen können, wenn wir die Wahrscheinlichkeit seines Komplements kennen und umgekehrt. Dies ist besonders wichtig, da es in vielen realen Situationen, in denen wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen müssen, viel einfacher ist, stattdessen die Wahrscheinlichkeit seines Komplements direkt zu berechnen. Sobald dies berechnet ist, verwenden wir die Komplementregel, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, die wir ursprünglich wollten.

Einige einfache Beispiele für die Anwendung dieser Regel sind:

• Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass Real Madrid ein Champions-League-Fußballspiel gewinnt, 34/57 oder 0,5965 beträgt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sie ein Champions-League-Spiel nicht gewinnen, 1-34/57 = 23/57 oder 0,4035.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass ein gewöhnlicher 6-seitiger Würfel auf einer geraden Zahl kleiner als 6 landet, ist 1/3, also ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel nicht auf einer geraden Zahl kleiner als 6 landet, 2/3.

Beweis der Komplementregel

Die Komplementregel kann auf verschiedene Arten demonstriert werden, die es dem Leser erleichtern, sich zu erinnern. Um diese Demonstration durchführen zu können, müssen wir zunächst einige grundlegende Begriffe definieren, z. B. was ein Ereignis und was sein Komplement ist. Außerdem müssen wir einige der wichtigsten Axiome angeben, auf denen die Wahrscheinlichkeit basiert.

Experimente, Ergebnisse, Musterraum und Veranstaltungen

In Statistik und Wahrscheinlichkeit sprechen wir über die Durchführung von Experimenten , wie das Werfen von Münzen, das Werfen eines Würfels, das Auswählen einer Karte oder eines Decks aus einem zufällig gemischten Deck und so weiter. Jedes Mal, wenn wir ein Experiment durchführen, erhalten wir ein Ergebnis , wie z. B. die Auswahl der Kreuz-2 aus dem Stapel spanischer Spielkarten.

Die Gesamtheit aller möglichen unterschiedlichen Ergebnisse, die ein Experiment liefern kann, wird als Probenraum bezeichnet und wird normalerweise durch den Buchstaben S dargestellt.

Andererseits wird ein bestimmtes Ergebnis oder eine Reihe von Ergebnissen des Experiments als Ereignis bezeichnet . Ereignisse können einzelne Ergebnisse sein, in diesem Fall werden sie als einfache Ereignisse bezeichnet, oder sie können zusammengesetzte Ereignisse sein, die aus mehr als einem Element oder Ergebnis bestehen.

Was ist das Plugin eines Events?

Das Komplement eines Ereignisses ist nichts anderes als die Menge aller anderen möglichen Ergebnisse im Stichprobenraum, die nicht die Ergebnisse des Ereignisses selbst enthalten . Im Fall des Würfelns ist die Ergänzung des Ereignisses, bei dem der Würfel beispielsweise auf 5 fällt, ein anderes Ereignis, bei dem der Würfel auf 1, 2, 3, 4 oder 6 oder was auch immer fällt. Es ist dasselbe, es fällt nicht in 5.

Plugins werden oft auf unterschiedliche Weise dargestellt. Die zwei häufigsten Formen sind:

• Platzieren Sie einen Schrägstrich über dem Ereignisnamen (z. B. steht A̅ für das Komplement von Ereignis A).
• Platzieren eines C als hochgestelltes Zeichen (A ^C ).

In beiden Fällen lautet es „A-Komplement“, „Komplement von A“ oder „Nicht A“.

Eine einfache Möglichkeit, sowohl das Plugin-Konzept als auch die Plugin-Regel selbst zu verstehen, ist die Verwendung von Venn-Diagrammen . Die folgende Abbildung zeigt ein einfaches Diagramm eines beliebigen Experiments und eines einzelnen Ereignisses, das wir A nennen werden.

In Venn-Diagrammen wie diesem stellt das gesamte Rechteck den Stichprobenraum des Experiments dar, während die gesamte Fläche des Rechtecks ​​(in diesem Fall sowohl die grauen als auch die blauen Bereiche) die Wahrscheinlichkeit des Stichprobenraums darstellt, die durch definition , ist gleich 1. Denn wenn wir ein Experiment durchführen, ist es absolut sicher, dass wir irgendein Ergebnis erhalten, das im Beispielraum enthalten ist, da er alle möglichen Ergebnisse enthält.

Der blaue Kreis umschließt den Bereich des Schauraums, in dem alle möglichen Ergebnisse von Ereignis A liegen sollen. Wenn beispielsweise Ereignis A eine gerade Zahl würfelt, dann muss dieser blaue Bereich die Ergebnisse 2, 4 und 6 enthalten … Andererseits ist der gesamte Bereich außerhalb des Ereignisses A (d. h. die Grauzone) das Komplement von A, da er die anderen Ergebnisse (1, 3 und 5) enthält.

Die Komplementregel und Venn-Diagramme

Ein Schlüssel zum Verständnis der Komplementregel unter Verwendung von Venn-Diagrammen ist, dass die Fläche eines Ereignisses innerhalb dieser Diagramme proportional zu seiner Wahrscheinlichkeit ist; die Gesamtfläche des Rechtecks ​​entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 1. Wie wir deutlich sehen können, bilden das Ereignis A (blauer Kreis) und sein Komplement A̅ (grauer Bereich) zusammen das gesamte Rechteck.

Aus diesem Grund muss die Summe ihrer Flächen, die ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeiten darstellen, gleich 1 sein, was der Fläche des Stichprobenraums S entspricht. Wenn wir dies umstellen, erhalten wir:

Das ist die Komplementregel.

Die Komplementregel aus den Wahrscheinlichkeitsaxiomen

Jedes Ereignis und sein Komplement bilden ein Paar disjunkter oder sich gegenseitig ausschließender Ereignisse, denn wenn eines eintritt, ist es per Definition unmöglich, dass das andere eintritt. Unter diesen Bedingungen ergibt sich die Vereinigungswahrscheinlichkeit dieser beiden Ereignisse einfach aus der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten. Das heißt:

Wie wir bereits gesagt haben, ergibt die Vereinigung der Ereignisse A und ihres Komplements A ^C den Beispielraum:

Setzen wir P(AUC ^C ) in die obige Gleichung ein und setzen dann die Wahrscheinlichkeit von S ein, die per Definition 1 ist, erhalten wir:

Wenn wir die letzten beiden Mitglieder umstellen, erhalten wir die Komplementregel.

Beispiel für ein Anwendungsproblem einer Plugin-Regel

Nachfolgend ein Beispiel für ein typisches Problem, bei dem der Einsatz der Plugin-Regel besonders sinnvoll ist.

Stellungnahme

Angenommen, wir haben eine Schaltung, die aus 5 identischen Chips besteht, die in Reihe geschaltet sind, also hintereinander. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Chip innerhalb des ersten Jahres seiner Herstellung ausfällt, beträgt 0,0002. Wenn einer der 5 Chips ausfällt, fällt das gesamte System aus. Sie möchten die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass das System im ersten Jahr ausfällt.

Lösung

Nennen wir F (für Fehler) das Ergebnis, bei dem eine Komponente oder ein Systemchip ausfällt, und E (Erfolg) für das Ergebnis, bei dem die Komponente nicht ausfällt oder, was dasselbe ist, sie funktioniert. Dann sind die von der Erklärung bereitgestellten Daten:

Der Versuch, bei dem festgestellt wird, ob das Gesamtsystem ausfällt, entspricht eigentlich der Durchführung von 5 simultanen Versuchen, bei denen festgestellt wird, ob eine der Komponenten ausfällt. Der Stichprobenraum für dieses Experiment besteht also aus allen Kombinationen von Erfolgs- oder Misserfolgsergebnissen für jede der 5 Komponenten. Da wir in Reihe geschaltet sind, wissen wir, dass die Reihenfolge eine Rolle spielt. Daher wird der Probenraum gebildet durch:

Dieser Stichprobenraum enthält 2 ⁵ = 32 mögliche Ergebnisse, die allen möglichen Kombinationen von Es und Fs entsprechen. Da wir die Wahrscheinlichkeit berechnen wollen, dass das System ausfällt, ist das uns interessierende Ereignis, das wir Ereignis A nennen, durch alle Ergebnisse gegeben, bei denen mindestens eine der Komponenten ausfällt. Mit anderen Worten, es wird durch die folgende Ergebnismenge angegeben:

Tatsächlich gibt es 2 ⁵ -1=31 mögliche Ergebnisse, bei denen mindestens eine der fünf Komponenten versagt. Wenn wir die Wahrscheinlichkeit von A (d. h. P(A)) berechnen wollten, müssten wir die Wahrscheinlichkeit jedes dieser Ergebnisse berechnen; es wäre eine beträchtliche Arbeit.

Betrachten wir nun jedoch das komplementäre Ereignis von A, dh das Ereignis, bei dem das System funktioniert (das wir A ^C nennen werden ). Wie wir sehen können, besteht die einzige Möglichkeit für das Funktionieren des gesamten Systems darin, dass alle fünf Komponenten der Schaltung funktionieren, d. h.:

Die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit ist viel einfacher als die Berechnung der vorherigen. Dann verwenden wir bei dieser Wahrscheinlichkeit die Komplementregel, um die Wahrscheinlichkeit von A zu berechnen. Da die Ergebnisse jedes Chips voneinander unabhängige Ereignisse sind, ist die Wahrscheinlichkeit von A ^C einfach das Produkt der Wahrscheinlichkeit, dass jeder Chip funktioniert, sagen wir :

Aber wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von E? Denken Sie daran, dass jeder Chip entweder funktioniert oder nicht funktioniert, also ist E das Komplement von F. Wenn wir also die Wahrscheinlichkeit von F haben (die in der Übung angegeben ist), können wir die Wahrscheinlichkeit von E mithilfe der Komplementregel berechnen:

Jetzt können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das komplette System funktioniert:

Und unter erneuter Anwendung der Komplementregel berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass das System versagt:

Antworten

Die Wahrscheinlichkeit, dass das System im ersten Jahr ausfällt, beträgt 0,010 oder 1,0 %.

Verweise

Devore, JL (1998). WAHRSCHEINLICHKEIT UND STATISTIK FÜR TECHNIK UND WISSENSCHAFTEN . International Thomson Publishers, SA

Ergänzungsregel . (nd). Fhybea. https://www.fhybea.com/complement-rule.html

Regel der Ergänzung in Wahrscheinlichkeiten . (2021, 1. Januar). MateMobile. https://matemovil.com/regla-del-complemento-en-probabilidades/