Beispiel für die Berechnung der Grundgesamtheits-Standardabweichung

Die Populationsstandardabweichung ist einer der wichtigsten Populationsparameter zur Messung der Variabilität oder Streuung von Daten innerhalb der Population. Wie jeder Parameter in der Statistik wird er durch einen griechischen Buchstaben dargestellt, in diesem Fall durch den Buchstaben σ (Sigma). Dadurch kann sie leicht von der Standardabweichung der Stichprobe(n) unterschieden werden, die zwar ähnlich, aber nicht gleich ist und auch nicht mit denselben Formeln berechnet wird.

Als nächstes sehen wir anhand eines Beispiels verschiedene Möglichkeiten, die Standardabweichung einer Grundgesamtheit zu berechnen. Es ist zu beachten, dass es für die Berechnung der Grundgesamtheits- Standardabweichung unerlässlich ist, alle Grundgesamtheitsdaten zu kennen. Dies geschieht selten in realen Kontexten, aber es ist dennoch wichtig zu verstehen, wie es berechnet wird, da es hilft, einige der mathematischen Eigenschaften dieses wichtigen Parameters zu verstehen.

Formeln für Populations-Standardabweichungen

Abhängig von den verfügbaren Daten kann die Grundgesamtheits-Standardabweichung mit drei verschiedenen Formeln bestimmt werden.

Mathematische Definition der Populationsstandardabweichung

Die Standardabweichung ist definiert als die Quadratwurzel der Varianz, σ ² . Das heißt, wenn wir die Varianz der Population kennen, können wir die Standardabweichung mit der folgenden Gleichung berechnen:

Dieser Fall tritt selten auf, aber es ist gut, daran zu denken.

Andere Formeln für die Standardabweichung der Grundgesamtheit

Wenn wir statt der Varianz einer Grundgesamtheit alle N Datenelemente kennen, aus denen sie besteht, dann können wir die Grundgesamtheits-Standardabweichung als Quadratwurzel des Durchschnitts der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert berechnen. Das heißt:

In dieser Gleichung stellt x _i den Wert jedes Datenelements in der Grundgesamtheit dar, N stellt die Anzahl von Datenelementen in der Grundgesamtheit dar (oder die Größe der Grundgesamtheit, die gleich ist) und μ ist der Mittelwert der Grundgesamtheit. Beachten Sie, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit ebenfalls durch einen griechischen Buchstaben dargestellt wird, da es sich um einen weiteren Grundgesamtheitsparameter handelt und die Größe der Grundgesamtheit durch N (Großbuchstabe) dargestellt wird, um sie von n zu unterscheiden, das normalerweise mit der Größe einer Stichprobe verbunden ist .

Der Populationsmittelwert μ ist gegeben durch:

Gleichung 2 kann erweitert, neu angeordnet und vereinfacht werden, um zu erhalten:

Falls keine individuellen Daten der Bevölkerung, sondern in einer Häufigkeitstabelle gruppierte Daten vorliegen, werden die vorherigen Formeln leicht modifiziert, um Folgendes zu ergeben:

In den obigen Gleichungen ist die Größe, die innerhalb der Wurzel liegt, nichts anderes als die Populationsvarianz. Gleichung 4 hat den Vorteil, dass sie ausschließlich in Bezug auf Bevölkerungsdaten aufgestellt wird und nicht auf irgendeinen Bevölkerungsparameter wie im Fall der Gleichungen 2 und 5.

Beispiel für die Berechnung der Grundgesamtheits-Standardabweichung

Angenommen, wir möchten die Gewichtsschwankungen eines bestimmten Automodells bestimmen, von dem weltweit nur 20 Exemplare bekannt sind. Die Daten der Gewichte in Kilogramm dieser 20 Autos sind in der folgenden Tabelle dargestellt:

Da wir wissen, dass es nur 20 Autos dieses Modells gibt, repräsentieren diese die gesamte Bevölkerung, sodass wir alle Daten haben, die zur Bestimmung der Bevölkerungsstandardabweichung erforderlich sind. Sehen wir uns drei verschiedene Möglichkeiten an, um diese Standardabweichung zu bestimmen.

Methode 1: Berechnung auf Basis der Varianzdefinition

Dieses Verfahren basiert auf der Verwendung der oben dargestellten Gleichung 2. Wie wir sehen können, erfordert die Gleichung die Verwendung des Mittelwerts der Grundgesamtheit und eine weitere Reihe von Berechnungen, die im Folgenden detailliert beschrieben werden:

Schritt 1: Bestimmen Sie den Populationsmittelwert

Der Populationsmittelwert oder μ wird mit Gleichung 3 berechnet, indem alle Daten addiert und durch die Gesamtzahl der Daten dividiert werden, die in diesem Fall 20 beträgt.

Schritt 2: Berechnen Sie die Abweichungen vom Mittelwert

In diesem Schritt werden die Subtraktionen (x _i – μ) berechnet. Zum Beispiel:

x ₁ – μ = 410 – 400,35 kg = 9,65 kg

x ₂ – μ = 408 – 400,35 kg = 7,65 kg

x ₃ – μ = 408 – 400,35 kg = 7,65 kg

…

X ₂₀ – μ = 400 kg – 400,35 kg = – 0,35

Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle dargestellt:

Schritt 3: Quadriere alle Abweichungen vom Mittelwert

(x ₁ – μ) ² = (9,65) ² = 93,1225 kg ²

(x ₂ – μ) ² = (7,65) ² = 58,5225 kg ²

(x ₃ – μ) ² = (7,65) ² = 58,5225 kg ²

…

(x ₂₀ – μ) ² = (– 0,35) ² = 0,1225 kg ²

Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle dargestellt:

Schritt 4: Addieren Sie alle quadrierten Abweichungen

Schritt 5: Wende die Formel von Gleichung 2 an

Nun, da wir diese Summe haben, bleibt nur noch, diesen Wert sowie die Anzahl der Daten, die 20 ist, in Gleichung 2 zu ersetzen:

Somit erhalten wir, dass die Standardabweichung des Gewichts der Population von 20 Autos ca. 6,5 kg.

Methode 2: Verwenden der umgestellten Gleichung

Jetzt führen wir die gleiche Berechnung durch, verwenden jedoch Gleichung 4, die der gerade verwendeten Gleichung entspricht, aber praktischer ist, insbesondere wenn Sie mit einer größeren Anzahl von Daten arbeiten. Der Hauptvorteil besteht darin, dass kein zusätzlicher Parameter (der Mittelwert der Grundgesamtheit) berechnet werden muss, um die Abweichungen berechnen zu können, sondern alles auf der Grundlage der ursprünglichen individuellen Daten berechnet wird. Außerdem müssen Sie zu keinem Zeitpunkt mit negativen Zahlen arbeiten, die bei Studierenden eine große Fehlerquelle darstellen.

Schritt 1: Berechnen Sie das Quadrat aller einzelnen Daten

Das heißt, die folgenden Berechnungen werden durchgeführt:

(x ₁ ) ² = (410) ² = 168.100 kg ²

(x ₂ ) ² = (408) ² = 166,464 kg ²

(x ₃ ) ² = (408) ² = 166,464 kg ²

…

(x ₂₀ ) ² = (400) ² = 160.000 kg ²

Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle dargestellt:

Schritt 2: Addieren Sie alle individuellen Daten

Schritt 3: Fügen Sie alle Quadrate hinzu

Schritt 4: Wende die Formel von Gleichung 4 an

Der letzte Schritt besteht darin, diese beiden Werte und die Anzahl der Daten in Gleichung 4 einzuführen, um die Populationsstandardabweichung zu erhalten:

Methode 3: Verwenden von Tabellenkalkulationen

Tabellenkalkulationen wie Microsoft Excel, Apple Numbers oder Google Sheets beinhalten zu ihren Grundfunktionen die direkte Berechnung der Standardabweichung (sowohl Stichprobe als auch Grundgesamtheit). Diese Funktionen nehmen einen Datensatz als Argument und führen alle in der vorherigen Methode gezeigten Berechnungen aus, um die Standardabweichung direkt in die Zelle zurückzugeben, in der die Formel eingegeben wird.

Das Verfahren ist das nächste:

Schritt 1: Geben Sie die Daten in die Tabelle ein

Wir können die Daten in Form einer Spalte, Zeile oder Matrix überall in der Tabelle eingeben. Der folgende Screenshot zeigt, wie die Daten für dieses Problem in Excel 2016 aussehen.

Schritt 2: Verwenden Sie die Formel, um die Standardabweichung zu berechnen

Nachdem die Daten hinzugefügt wurden, verwenden wir die Standardabweichungsfunktion und platzieren die Zellen, in denen die Daten gefunden werden, als Argumente.

Um eine Funktion in einer Tabellenkalkulation aufzurufen, beginnen wir normalerweise mit der Eingabe des Gleichheitszeichens (=), gefolgt vom Namen der Funktion, die wir verwenden möchten. Die Namen ändern sich geringfügig von Anwendung zu Anwendung und in einigen Fällen auch je nach Sprache, in der Sie arbeiten.

Im Fall von Excel (spanische Version) heißt die Funktion zur Berechnung der Populationsstandardabweichung STDEV.P, während sie in Google Sheets STDEVP (ohne Punkt) heißt. Dann müssen Sie das/die Argument(e) der Funktion in Klammern eingeben. In unserem Beispiel übergeben wir als Argument den Zellbereich, in dem sich die Daten befinden (von Zelle A3 bis J4).

Durch Drücken der EINGABETASTE führt das Programm die Funktion aus und berechnet die Standardabweichung der Grundgesamtheit, wobei das Ergebnis in der entsprechenden Zelle angezeigt wird, wie unten gezeigt:

Wie wir sehen können, führt jede der drei hier praktizierten Methoden zum gleichen Ergebnis. Es sind nur unterschiedliche Wege, dasselbe zu tun.

andere Methoden

Zusätzlich zu den drei oben genannten Methoden haben wissenschaftliche und finanzielle Taschenrechner oft auch eine Funktion, um die Standardabweichung eines Datensatzes zu bestimmen, sei es Stichprobe oder Grundgesamtheit. Die Art und Weise, wie Daten eingegeben und Ergebnisse erhalten werden, ist von Hersteller zu Hersteller und sogar von einem Taschenrechnermodell zum anderen unterschiedlich, daher ist es unpraktisch, die spezifischen Schritte dafür hier zu zeigen.

Stattdessen werden wir die wichtigsten allgemeinen Schritte diskutieren, ohne darauf einzugehen. Wer diese Funktion auf seinem wissenschaftlichen Taschenrechner nutzen möchte, sollte die dem Taschenrechner beiliegende Bedienungsanleitung zu Rate ziehen oder online recherchieren, um die jeweils spezifische Tastenkombination zu ermitteln.

Schritt 1: Speicher löschen

Auf vielen Taschenrechnern sind zuvor gespeicherte Daten nicht sichtbar. Wenn wir Daten über andere eingeben, die bereits gespeichert wurden, ohne es zu merken, gibt der Rechner ein falsches Ergebnis aus. Um sicherzustellen, dass dies nicht passiert, ist es ratsam, den gesamten Speicher des Taschenrechners (oder zumindest den statistischen Analysemodus) zu löschen, bevor Sie mit der Eingabe neuer Daten beginnen.

Schritt 2: Greifen Sie auf den Statistikmodus zu

Die Funktionen zur Berechnung der Standardabweichung sind bei den meisten Taschenrechnern Teil des „Statistik“-, „Statistik“- oder einfach „S“-Modus, daher müssen wir mit dem Aufrufen dieses Betriebsmodus beginnen.

Schritt 3: Geben Sie die Daten ein

Dies ist von Rechner zu Rechner unterschiedlich. In einigen Fällen können Daten in Tabellenform hinzugefügt werden, während in anderen die Daten einzeln nach Drücken der Taste DT (oder DAT) eingegeben werden. Es ist wichtig, die Anzahl der eingegebenen Daten am Ende dieses Schritts zu überprüfen, um sicherzustellen, dass keine Daten fehlen.

Schritt 4: Berechnen Sie die Populationsstandardabweichung

Sobald die Daten eingegeben sind, bleibt nur noch, den Rechner nach dem gesuchten Ergebnis zu fragen. Auf vielen Rechnern werden sowohl die Stichproben- als auch die Populationsstandardabweichung durch das Symbol σ dargestellt (obwohl dies im Fall der Stichprobenabweichung ein Fehler ist). Wir können jedoch die Stichprobenabweichung von der Grundgesamtheitsabweichung unterscheiden, weil die Stichprobenabweichung von n-1 begleitet wird (d. h. sie erscheint als σ _n-1 ), während die Grundgesamtheitsabweichung als s _n erscheint . Dies bezieht sich darauf, dass bei der Berechnung der Stichproben-Standardabweichung diese durch n-1 statt durch n wie in der Grundgesamtheit dividiert wird.

Verweise

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