Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse

Es gibt viele Situationen, in denen wir daran interessiert sind, die Wahrscheinlichkeit dafür zu finden, dass zwei Ereignisse gleichzeitig auftreten. Einige von ihnen sind:

• Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, eine Doppelsechs zu würfeln, wenn Sie mit zwei Würfeln gleichzeitig oder nacheinander würfeln.
• Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus einer Gruppe ausgewählte Person sowohl weiblich als auch dunkelhäutig ist.
• Die Wahrscheinlichkeit, ein Schülerpaar des anderen Geschlechts aus einer Abteilung der Schule auszuwählen.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Weltraumraketenstart zwei redundante Steuerungssysteme gleichzeitig ausfallen.

Diese Klasse von Problemen kann mit Hilfe der allgemeinen Wahrscheinlichkeitsregel gelöst werden. Diese Regel legt fest, dass für zwei Ereignisse A und B die Wahrscheinlichkeit, dass sie gleichzeitig auftreten, d. h. die Wahrscheinlichkeit einer Überschneidung, gegeben ist durch:

In dieser Gleichung ist P(A|B) die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A bei gegebenem B eintritt. Das Obige ist die allgemeine Multiplikationsregel und gilt für jedes Paar von Ereignissen. In einigen Fällen ist die bedingte Wahrscheinlichkeit unbekannt oder schwer zu bestimmen; im Fall unabhängiger Ereignisse wird diese Wahrscheinlichkeit jedoch vereinfacht, um die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse hervorzurufen.

Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse

Was sind unabhängige Veranstaltungen?

Zwei Ereignisse A und B sind voneinander unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen nicht beeinflusst. Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines der beiden Ereignisse, vorausgesetzt, dass wir wissen, dass das andere eingetreten ist, gleich der einfachen Wahrscheinlichkeit des Eintretens des ersten Ereignisses ist. Mit anderen Worten, zwei Ereignisse sind nur dann unabhängig, wenn:

Die Interpretation des Obigen ist, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A unter der Voraussetzung, dass B eingetreten ist, gleich der Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A. Dies impliziert, dass das Eintreten von B die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A nicht beeinflusst hat, sodass beide Ereignisse unabhängig voneinander eintreten Weg.

Alle Ereignispaare, die die obige Bedingung nicht erfüllen, sind abhängige Ereignisse.

Wie wird die Multiplikationsregel in diesem Fall beeinflusst?

Wie wir sehen können, kann der erste Ausdruck der Unabhängigkeitsbedingung zur Vereinfachung der allgemeinen Multiplikationsregel verwendet werden, da der erste Faktor durch die einfache Wahrscheinlichkeit von A ersetzt werden kann, wodurch der folgende Ausdruck erhalten wird:

Der obige Ausdruck ist als Wahrscheinlichkeitsmultiplikationsregel für unabhängige Ereignisse bekannt . Dies impliziert, dass wir, wenn wir wissen, dass zwei Ereignisse unabhängig voneinander sind, und wir ihre Eintrittswahrscheinlichkeiten kennen, die Wahrscheinlichkeit, dass sie beide gleichzeitig eintreten, einfach durch Multiplizieren dieser Wahrscheinlichkeiten ermitteln können.

Beispiele für unabhängige Veranstaltungen

Fehlende Informationen können die Feststellung erschweren, ob zwei Ereignisse unabhängig voneinander sind. Zum Beispiel könnten wir denken, dass braunes Haar nichts mit dem Auftreten von Brustkrebs zu tun hat, aber die Physiologie des menschlichen Körpers ist so komplex, dass kein Arzt es wagen würde, diese Aussage zu machen.

Es gibt jedoch viele einfache Experimente, mit denen wir leicht feststellen können, ob zwei Ereignisse unabhängig sind oder nicht.

• Wirf zwei Würfel gleichzeitig. Wenn zwei Würfel geworfen werden, beeinflusst das Ergebnis des einen in keiner Weise das Ergebnis des anderen, sodass das Ereignis, dass ein Würfel auf einer bestimmten Zahl fällt, unabhängig von dem Ereignis ist, dass der andere Würfel auf einer anderen Zahl landet das gleiche sogar.
• Aus den gleichen Gründen sind auch die Ergebnisse des zweimaligen Würfelns hintereinander unabhängig voneinander.
• Wirf eine Münze zweimal. Die Tatsache, dass es beim ersten Mal Kopf oder Zahl landet, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis des nächsten Wurfs.
• In einer Kühlschrankfabrik mit zwei unabhängigen Produktionslinien für Komponenten, die unterschiedliche Rohstoffe und Arbeit erfordern, ist es akzeptabel anzunehmen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine der beiden Komponenten ausfällt, unabhängig von der Wahrscheinlichkeit ist, dass die andere ausfällt.
• Das zufällige Ziehen einer Karte oder eines Decks aus einem Deck, das Ersetzen und das anschließende zufällige Ziehen einer weiteren Karte aus dem Deck sind separate Ereignisse, da das Ersetzen der ursprünglichen Karte im Deck die Wahrscheinlichkeit zurücksetzt, eine der ursprünglichen Karten zu ziehen.

Beispiele für Ereignisse, die nicht unabhängig sind

• Das zufällige Ziehen einer Karte oder eines Decks aus einem Deck und das anschließende Ziehen einer weiteren Karte aus demselben Deck, ohne die erste zu ersetzen, sind keine unabhängigen Ereignisse, da das Ziehen des ersten die Gesamtzahl der im Deck vorhandenen Karten verringert, was sich auf die Wahrscheinlichkeit auswirkt andere Karte herauskommt. Wenn wir die erste Karte nicht ersetzen, wird die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte beim zweiten Mal herauskommt, null.
• Bei einem fahrenden Auto sind die Wahrscheinlichkeit, dass der Motor des Autos überhitzt, und die Wahrscheinlichkeit, dass die Wasserpumpe , die den Motor kühlt, ausfällt, keine unabhängigen Ereignisse, denn wenn die Wasserpumpe ausfällt, wird es viel wahrscheinlicher, dass der Motor überhitzt.
• Ein noch leichter verständliches Beispiel ist, dass gute Noten in Statistik nicht unabhängig vom Studium sind , denn wenn wir studieren, bekommen wir eher gute Noten.

Beispiele für Wahrscheinlichkeitsrechnungen mit der Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse

Beispiel 1: Zweimal eine Münze werfen

Angenommen, wir möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass beim zweimaligen Werfen einer Münze das Ergebnis bei beiden Würfen Kopf ist.

Wenn wir A das Ereignis nennen, bei dem der erste Wurf Kopf landet, und B das Ereignis, bei dem der zweite Wurf Kopf landet, dann ist die Wahrscheinlichkeit, die wir berechnen sollen, die Wahrscheinlichkeit der Überschneidung von A mit B, da wir wollen, dass beide Ereignisse eintreten . Das heißt, die Unbekannte ist P(A∩B).

Da es für jeden Wurf nur zwei mögliche Ergebnisse gibt, ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten beider Ereignisse gleich:

Da wir nun wissen, dass die Ereignisse unabhängig voneinander sind, können wir die Multiplikationsregel verwenden, um die Schnittwahrscheinlichkeit zu bestimmen:

Beispiel 2: Werfen von zwei Würfeln

Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen zweier gewöhnlicher sechsseitiger Würfel einer auf einer und der zweite auf einer geraden Zahl landet.

Nennen wir die folgenden Ereignisse A und B:

       A = einer der Würfel landet auf 1.

       B = einer der Würfel landet auf einer geraden Zahl.

Was wir berechnen wollen, ist wieder P(A∩B).

Da das Ergebnis jedes Würfels unabhängig von der Zahl ist, die der andere ergibt, können wir P(A∩B) berechnen, indem wir die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse verwenden. Aber zuerst brauchen wir die Wahrscheinlichkeiten von A und B.

Der Würfel hat 6 Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6, die sich nicht wiederholen. Daher gibt es nur eine 1, und es gibt drei gerade Zahlen, nämlich 2, 4 und 6. Daher sind die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der einzelnen Ereignisse:

Mit diesen Wahrscheinlichkeiten und der Multiplikationsregel erhalten wir die gewünschte Wahrscheinlichkeit:

Beispiel 3: Teile, die ausfallen

Eine Fabrik, die Computerausrüstung herstellt, verwendet neben anderen Komponenten zwei verschiedene Chips oder integrierte Schaltkreise von zwei verschiedenen Herstellern. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser unter normalen Betriebsbedingungen ausfällt, liegt laut Hersteller des ersten Chips bei 0,00133. Der zweite Hersteller rühmt sich seinerseits damit, dass nur zwei seiner Chips pro 5.000 installierten Einheiten ausfallen. Der Fabrikbesitzer möchte die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass beide Komponenten gleichzeitig ausfallen. Der Ausfall jeder Chipmarke kann unabhängig voneinander betrachtet werden.

In diesem Fall gibt die Anweisung selbst an, dass die beiden Ereignisse unabhängig sind, sodass wir die obige Multiplikationsregel verwenden können. Zusätzlich wird auch die Ausfallwahrscheinlichkeit des ersten Chips angegeben, die wir Ereignis A nennen. Die Ausfallwahrscheinlichkeit des zweiten Chips (Ereignis B) lässt sich anhand der Angaben des Herstellers berechnen:

Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Komponenten gleichzeitig ausfallen, ist also:

Verweise

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