So berechnen Sie den Median der Exponentialverteilung

Die Exponentialverteilung ist ein Spezialfall der Gammaverteilung. Es ist eine kontinuierliche Verteilung, die verwendet wird, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung der zwischen Ereignissen in einem Poisson-Prozess verstrichenen Zeit zu beschreiben. Darunter versteht man jene Prozesse, bei denen Ereignisse kontinuierlich und unabhängig voneinander, aber mit konstanter mittlerer Häufigkeit auftreten.

Die Exponentialverteilung folgt der folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktion:

wobei X eine kontinuierliche Zufallsvariable und Lambda ( λ ) ein charakteristischer Parameter jeder bestimmten Verteilung ist. Die folgende Abbildung zeigt den Graphen dieser Verteilungsfunktion für verschiedene Werte von λ.

Wie man sieht, fällt diese Funktion exponentiell von einem Anfangswert gleich λ ab und nähert sich asymptotisch Null, wenn x zunimmt.

Der Mittelwert dieser Verteilungsfunktion ist gegeben durch μ = 1/ λ und ihre Varianz ist σ ² = (1/ λ) ² . In den folgenden Abschnitten wird gezeigt, wie der Median berechnet wird.

Bedeutung der Exponentialverteilung

Wie eingangs erwähnt, kann die Exponentialverteilung auf jedes System angewendet werden, das einem Poisson-Prozess folgt. Das bedeutet, dass es dazu dient, die Zeiten zwischen Ereignissen wie dem Eintreffen von Kunden in Serviceeinrichtungen, den Zeiten zwischen dem Ausfall elektronischer Systeme oder Komponenten und dem Überleben von Lebewesen zu beschreiben.

Was ist der Median?

Bevor wir mit der Berechnung des Medians fortfahren, müssen wir verstehen, was es ist. Der Median einer Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht dem Wert der Zufallsvariablen, die die Verteilung halbiert. Bei diskreten Variablen bedeutet dies, dass auf beiden Seiten des Medians die gleiche Anzahl von Werten verbleibt. Bei der Exponentialfunktion und den anderen kontinuierlichen Verteilungsfunktionen ist der Median der Punkt, der auf beiden Seiten dieselbe Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichtekurve verlässt.

Eine andere praktischere Betrachtungsweise des Medians, die wir in diesem Artikel verwenden werden, ist, dass er dem Punkt entspricht, an dem die Verteilungsfunktion einen Wert von 0,5 hat. Das heißt, es entspricht der Lösung der folgenden Gleichung:

Berechnung des Medians der Exponentialverteilung

Um den Median der Exponentialverteilung zu finden, verwenden wir die Verteilungsfunktion und finden den Wert der Zufallsvariablen, für die die Verteilungsfunktion einen Wert von 0,5 hat, wie im vorherigen Abschnitt erklärt. Mit anderen Worten, wir werden sagen, dass der Median (Me) der Wert der Zufallsvariablen x ist, für die Folgendes bestätigt wird:

Jetzt müssen wir nur noch das pdf ( f(x) ) einfügen, das der Exponentialverteilung entspricht, und integrieren:

Wobei wir von der stückweisen Definition der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion Gebrauch gemacht haben, die für alle Werte der Zufallsvariablen kleiner oder gleich Null einen Wert von Null hat. Dies ist ein einfaches Integral:

Jetzt setzen wir ½ gleich und lösen die Gleichung, um den Median Me zu finden.

Schließlich wird es neu angeordnet, der natürliche Logarithmus wird für beide Mitglieder genommen und Me wird gelöscht:

Daher ist der Median der Exponentialverteilung durch ln2/λ gegeben.

Die Verzerrung der Exponentialverteilung

Wenn wir den soeben ermittelten Medianwert ln2/λ mit dem eingangs erwähnten Medianwert dieser Verteilung 1/λ vergleichen, stellen wir schnell fest, dass der Median kleiner als der Mittelwert ist, denn ln2 ist eine Zahl kleiner als 1.

Stimmt der Mittelwert nicht mit dem Median überein, spricht man von einer Schiefverteilung. Da in diesem Fall der Mittelwert größer als der Median ist, spricht man von einer rechtsschiefen Exponentialfunktion .

Da der Median ein Maß für die zentrale Tendenz ist, das weniger empfindlich auf Extremwerte reagiert als der Mittelwert, wird in solchen Fällen, in denen festgestellt wird, dass Voreingenommenheit besteht, der Median bevorzugt, um diese zentrale Tendenz darzustellen.

Verweise

LesKanaris. (nd). So berechnen Sie den Median der Exponentialverteilung – Interessant – 2021. Abgerufen von https://us.leskanaris.com/2916-exponential-distribution-medians.html

Lifehackk. (2018). So berechnen Sie den Median der Exponentialverteilung – 2021. Abgerufen von https://esp.lifehackk.com/14-calculate-the-median-of-exponential-distribution-3126442-7366

Einfache Mathematik. (2021, 6. September). Median – Exponentialverteilung [Videodatei]. Wiederhergestellt von https://www.youtube.com/watch?v=0s3h1Tfysog

Mtz De Lejarza E., J. & Mtz De Lejarza E., I. (1999). Exponentialverteilung. Abgerufen von https://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/exponencial.htm