Formeln zur Berechnung von Flächen und Volumen geometrischer Formen

Die Formeln zur Berechnung der Fläche und des Volumens einer Kugel sind

• Oberfläche = 4πr ²
• Volumen = (4/3)πr ³

2. Berechnung der Fläche und des Volumens eines Kegels

Ein Kegel ist eine Pyramide mit kreisförmiger Grundfläche, deren geneigte Seiten sich in einem Mittelpunkt auf der Achse des Kegels treffen, einer Linie senkrecht zur Ebene der Grundfläche, die durch den Mittelpunkt des Umfangs verläuft, der die Grundfläche des Kegels bildet, wie gezeigt Sie können in der Abbildung oben sehen. Um die Fläche seiner Oberfläche oder sein Volumen zu berechnen, müssen der Radius der Basis r und die Länge der Seite s bekannt sein . Wenn der Wert der Seitenlänge s nicht bekannt ist , kann er berechnet werden, indem man die Höhe des Kegels h kennt (siehe Abbildung oben).

s = √ (r ² + h ² )

Die Gesamtoberfläche des Kegels kann als Summe der Grundfläche und der Mantelfläche berechnet werden.

• Grundfläche: πr ²
• Seitenbereich: πrs
• Gesamtfläche = πr ²   + πrs

Um das Volumen eines Kegels zu berechnen, braucht man nur den Radius der Grundfläche und die Höhe.

• Volumen = 1/3 πr ² h

3. Berechnung der Oberfläche und des Volumens eines Zylinders

Oberflächen- und Volumenberechnungen sind für einen Zylinder einfacher als für einen Kegel. Der Zylinder hat eine kreisförmige Grundfläche und die Linien, die bei Drehung die Mantelfläche erzeugen, verlaufen parallel und senkrecht zur Grundfläche. Um seine Oberfläche oder sein Volumen zu berechnen, werden nur der Radius r  und die Höhe h benötigt .

Wie beim Kegel ist die Oberfläche die Summe der Oberflächen, aus denen sie besteht; die Summe der Fläche der oberen Basis und der unteren Basis (die gleich sind) und der Fläche der Seitenfläche.

• Oberfläche = 2πr ²  + 2πrh
• Volumen = πr ^2h

4. Berechnung der Oberfläche und des Volumens eines rechteckigen Prismas

Ein dreidimensional entfaltetes Rechteck wird zu einem rechteckigen Prisma; Oder nur eine Kiste. Wenn alle Seiten eines rechteckigen Prismas gleich sind, wird das Prisma zu einem Würfel. Daher werden sowohl die Oberfläche als auch das Volumen mit denselben Formeln berechnet. Dazu ist es notwendig, die Größe der drei Seiten des Prismas zu kennen; a, b und c, in der oberen Abbildung.

• Fläche = 2(ab) + 2(bc) + 2(ac)
• Lautstärke = abc

Wenn wir einen Würfel mit der Seite a haben , werden die vorherigen Formeln

• Fläche eines Würfels = 6a ²
• Volumen eines Würfels = a ³

5. Berechnung der Fläche und des Volumens einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche

In diesem Fall sehen wir die Formeln zur Berechnung der Oberfläche und des Volumens einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche und gleichseitigen Dreiecken auf ihren Flächen. Für die Berechnungen ist es notwendig, die Seite des Quadrats der Basis b und die Höhe h zu kennen , dies ist der Abstand vom Mittelpunkt des Quadrats der Basis zum Scheitelpunkt, wie in der obigen Abbildung gezeigt. Und s ist die Höhe jedes gleichseitigen Dreiecks, das die Flächen der Pyramide bildet, was mit der folgenden Formel berechnet werden kann.

s = √ ((b/2) ² + h ² )

Wie in den vorherigen Fällen ist die Fläche der Oberfläche die Summe der Fläche der Basis plus der Fläche der vier gleichseitigen Dreiecke der Gesichter.

• Fläche = 2bs + b ²
• Volumen = (1/3) b ^2h

6. Berechnung der Oberfläche und des Volumens eines gleichschenkligen dreieckigen Prismas

Um die Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts und des Volumens eines gleichschenkligen dreieckigen Prismas anzuwenden, werden gemäß der obigen Abbildung drei Parameter benötigt; die Basis des gleichschenkligen Dreiecks b , die Höhe des Dreiecks h und die Länge des Prismas l . Die Definitionen werden mit den Seiten s des gleichschenkligen Dreiecks vervollständigt . Die Seite s des Dreiecks kann aus den anderen Daten des Dreiecks mit der folgenden Formel berechnet werden.

s = √ ((b/2) ² + h ² )

Die Formeln zur Berechnung von Oberfläche und Volumen lauten wie folgt.

• Fläche = bh + 2 l s + l b
• Volumen = (1/2) bh l

Wenn Sie die Oberfläche und das Volumen eines Prismas berechnen möchten, das kein gleichschenkliges Dreieck ist, können Sie das folgende Verfahren anwenden. Sie können die Fläche A und den Umfang P der Basis bestimmen und die folgenden Formeln verwenden.

• Oberfläche = 2A + P l
• Volumen = A l

7. Berechnung der Fläche und Länge eines Kreissektors

Die obere Abbildung zeigt den Sektor eines Kreises mit Radius r , der durch den Winkel θ definiert ist , der in Grad oder Bogenmaß ausgedrückt werden kann. Um die Fläche des Kreissektors und die Länge des Bogens zu berechnen, muss der Winkel θ im Bogenmaß ausgedrückt werden. Wenn er also in Grad ausgedrückt wird, muss die Umrechnung mit der folgenden Formel erfolgen.

Winkel θ im Bogenmaß = (Winkel θ in Grad) π /180

Die Fläche des Kreissektors und die Länge des Bogens werden mit den folgenden Formeln berechnet.

• Fläche = (θ/2) r ²  θ im Bogenmaß
• Arc L = θr   θ im Bogenmaß

Die Fläche und der Umfang eines Kreises ist ein Sonderfall eines Sektors, der auftritt, wenn der Winkel θ gleich 2 π ist . Die Fläche und der Umfang eines Kreises werden also wie folgt berechnet.

• Fläche eines Kreises = π r ² 
• Umfang = 2 π r

8. Berechnung der Fläche einer Ellipse

Eine Ellipse, die auch als Oval bezeichnet wird und als langgestreckter Kreis identifiziert werden kann, ist die Menge von Punkten, deren Summe der Abstände zu zwei festen Punkten, die Brennpunkte genannt werden, konstant ist. In der obigen Abbildung werden die Brennpunkte durch zwei Punkte dargestellt. Eine Ellipse kann durch ihre zwei Halbachsen definiert werden, wie in der Abbildung gezeigt; die große Halbachse a und die kleine Halbachse b . Die Fläche einer Ellipse wird mit folgender Formel berechnet.

• Fläche = πab

9. Berechnung der Fläche und des Umfangs eines Dreiecks

Das Dreieck ist eine der einfachsten geometrischen Formen und die Berechnung des Umfangs ist einfach, wenn man die Länge jeder seiner Seiten a, b und c kennt . 

• Umfang = a + b + c

Um die Fläche des Dreiecks zu berechnen, wird die Länge einer seiner Seiten benötigt, b  zum Beispiel in der obigen Abbildung, und die Höhe h,  die dieser Seite entspricht, bestimmt als die Länge des Segments, das von der gegenüberliegenden Ecke senkrecht gezogen wird zur Seite b . Die Fläche des Dreiecks wird berechnet als

• Fläche = (1/2)bh

10. Berechnung der Fläche und des Umfangs eines Parallelogramms

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel sind, wie in der Abbildung oben gezeigt. Da die gegenüberliegenden Seiten parallel sind, ist die Länge der gegenüberliegenden Seiten gleich. Im Fall der Figur sind es die Seiten der Länge a und b . Der Umfang eines Parallelogramms ist die Summe seiner Seiten.

• Umfang eines Parallelogramms = 2a + 2b

Um die Fläche eines Parallelogramms zu berechnen, wird die Höhe h benötigt ; der Abstand zwischen zwei parallelen Seiten. Die Fläche kann mit der Höhe und der dieser Höhe entsprechenden Seite berechnet werden, b  im Fall der Figur.

• Fläche eines Parallelogramms = bh

Ein Rechteck ist ein Sonderfall eines Parallelogramms; wenn die Höhe h gleich der Seite a ist oder, was dasselbe ist, wenn die angrenzenden Seiten senkrecht sind, ist das Parallelogramm ein Rechteck und die Umfangs- und Flächenformeln lauten wie folgt.

• Umfang eines Rechtecks ​​= 2a + 2b 
• Fläche eines Rechtecks ​​= ab

Ein Quadrat wiederum ist ein Sonderfall eines Parallelogramms und eines Rechtecks; wenn die Seiten a und b gleich sind und benachbarte Seiten senkrecht sind. Die Formeln für Umfang und Fläche eines Quadrats mit der Seite a lauten wie folgt.

• Umfang eines Quadrats = 4a 
• Fläche eines Rechtecks ​​= a ²

11. Berechnung der Fläche und des Umfangs eines Trapezes

Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind. Daher ist die Länge seiner vier Seiten unterschiedlich, in der oberen Abbildung b , B , c und d , und um seinen Umfang zu berechnen, muss man die vier Werte kennen. Der Umfang eines Trapezes wird durch Addition der vier Werte berechnet.

• Umfang = b + B + c + d

Um die Fläche eines Trapezes zu berechnen, ist es notwendig, die Höhe h zu kennen  , die in der oberen Abbildung beobachtet werden kann, und das ist der Abstand zwischen den beiden parallelen Seiten.

• Fläche = (1/2) (b + B)h

12. Berechnung der Fläche und des Umfangs eines regelmäßigen Sechsecks

Ein Vieleck mit sechs gleichen Seiten ist ein regelmäßiges Sechseck. Die Länge jeder Seite r ist gleich dem Abstand jeder Ecke von der Mitte des Sechsecks. Der Apothem ( a in der oberen Abbildung) ist der kleinste Abstand von der Mitte des Sechsecks zu einer der Seiten; ist die Höhe jedes gleichseitigen Dreiecks, aus dem das Sechseck besteht. Der Umfang eines regelmäßigen Sechsecks wird berechnet als

• Umfang = 6r

Um die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks zu berechnen, wird die folgende Formel verwendet

• Fläche = (3√3/2)r ²

13. Berechnung der Fläche und des Umfangs eines regelmäßigen Achtecks

Ein regelmäßiges Achteck ist ein Polygon mit acht gleichen Seiten. Wenn die Länge jeder Seite des Achtecks ​​r ist , wird der Umfang eines regelmäßigen Achtecks ​​berechnet als

• Umfang = 8r

Um die Fläche eines regelmäßigen Achtecks ​​zu berechnen, wird die folgende Formel verwendet

• Fläche = 2(1+√2)r ²

Brunnen

Wenninger, Magnus J. Modelle von Polyedern Cambridge University Press, 1974.