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Bei der Durchführung verschiedener Arten von Berechnungen, ob in Wissenschaft oder Technik, ist es sehr üblich, auf experimentelle Daten zurückzugreifen, die wir in verschiedenen Tabellen organisiert finden. Diese Daten beziehen sich normalerweise auf zwei Variablen, von denen wir wissen, dass sie voneinander abhängen, deren mathematische Abhängigkeit wir jedoch nicht kennen. Dies wäre kein Problem, wenn alle benötigten Daten in der Tabelle vorhanden wären, aber das passiert selten. Es kommt häufiger vor, dass wir den Wert einer der Variablen für einen Wert der anderen benötigen, der nicht in der Tabelle zu finden ist.
Wenn dies geschieht, können wir die experimentellen oder tabellierten Daten an eine mathematische Polynomfunktion anpassen, die wir dann verwenden können, um den unbekannten Wert der interessierenden Variablen anzunähern. Dieser Prozess kann eine Interpolation oder Extrapolation umfassen.
Diese beiden Prozesse sind eng miteinander verwandt und basieren auf dem gleichen grundlegenden Tuning-Verfahren, aber sie sind nicht gleich. Als nächstes werden wir diskutieren, was die Hauptunterschiede zwischen diesen beiden Methoden zur Schätzung des Werts einer abhängigen Variablen für einen gegebenen Wert einer unabhängigen Variable sind.
Interpolationsdefinition
Interpolation ist der Prozess der Schätzung des Werts einer abhängigen Variablen für einen bestimmten Wert der unabhängigen Variablen aus der Kenntnis eines Datensatzes oder diskreter Punkte über und unter dem Punkt, den wir schätzen möchten. Mit anderen Worten, es ist der Prozess der Schätzung eines Punktes, der zwischen zwei bekannten Punkten liegt. Das folgende Diagramm zeigt eine Reihe von Daten, die durch die blauen Punkte dargestellt werden, und der rote Punkt stellt die Interpolation zwischen den Punkten in X 1 und X 2 dar .
Das Wort Interpolation kommt von der Vereinigung zweier lateinischer Wörter, nämlich dem Präfix inter-, was zwischen oder in Intervallen bedeutet, und -polire , was schieben oder treiben bedeutet, was sich auf die Tatsache bezieht, dass Interpolation mit dem Schieben oder Bewegen von zwei zu tun hat Daten zu einem Punkt, der zwischen ihnen liegt.
Extrapolationsdefinition
Unter Extrapolation versteht man den Prozess der Schätzung des Werts einer abhängigen Variablen für einen Wert der unabhängigen Variablen aus einer Reihe von Punkten oder Daten, die entweder alle größer oder alle kleiner als der zu schätzende Punkt sind.
Mit anderen Worten, es ist der Prozess, den Wert eines Punktes zu schätzen, der über oder unter allen bekannten Punkten oder Daten liegt. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel für die Extrapolation der Daten auf einen Punkt oberhalb aller bekannten Daten.
Aus etymologischer Sicht hat Extrapolieren dieselbe lateinische Wurzel – polire , nur dass ihm diesmal die lateinische Vorsilbe extra – vorangestellt ist , was „aus“ bedeutet. Somit bezieht sich der Begriff auf die Schätzung von Punkten, die außerhalb des Bereichs des ursprünglichen Datensatzes liegen, entweder weil er größer oder kleiner als alle bekannten Daten ist.
Unterschiede in der Unsicherheit der Interpolation und Extrapolation
Beim Vergleich von Interpolation und Extrapolation ist festzustellen, dass es einen wichtigen Unterschied hinsichtlich des Risikos gibt, Ergebnisse zu erzielen, die erheblich vom tatsächlichen Wert der gesuchten Daten abweichen. Im Fall der Interpolation können wir, da sie zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten durchgeführt wird, eine gewisse Sicherheit haben, dass der Wert, den wir interpolieren, irgendwo zwischen diesen beiden Punkten liegt. Das heißt, wir haben eine gewisse Sicherheit, dass der Wert der unbekannten Funktion nicht nach oben oder unten schießt, bevor der nächste Punkt erreicht wird, weil wir wissen, wo dieser nächste Punkt ist.
Wenn wir stattdessen eine Extrapolation durchführen, projizieren wir das Verhalten der Daten vorwärts oder rückwärts, und da es keine Referenzpunkte nach vorne gibt (oder weiter hinten, falls dies der Fall wäre), haben wir keine Möglichkeit zu wissen, wie es sich verhält … wirklich die Variable. Es kann mit dem gleichen Verhalten wie zuvor fortfahren, z. B. kann es abrupt in eine der beiden Richtungen feuern. Aus diesem Grund ist die Extrapolation mit größerer Unsicherheit behaftet als die Interpolation.
Sie werden normalerweise an verschiedene Polynomfunktionen angepasst
Die Extrapolations- und Interpolationsprozesse basieren auf der Anpassung von zwei oder mehr bekannten Punkten an eine mathematische Funktion, die es uns ermöglicht, den Wert der Funktion an anderen unbekannten Punkten vorherzusagen. Sowohl bei der Interpolation als auch bei der Extrapolation ist die am häufigsten verwendete Funktion zur Schätzung die lineare Funktion (y = mx + b). Während diese Funktion sowohl für die Interpolation als auch für die Extrapolation geeignet ist, wenn der unbekannte Wert, den wir schätzen möchten, ziemlich nahe an den bekannten Punkten liegt, ist dies nicht mehr der Fall, wenn von den Extremen weg extrapoliert wird.
Wenn sich die Daten insgesamt nicht bemerkenswert linear verhalten, können Extrapolationen tatsächlich sehr schnell vom wahren Wert abweichen, wenn wir uns von einem der beiden Extreme entfernen. Aus diesem Grund erfordert die Extrapolation normalerweise mehr Sorgfalt und die Verwendung von Extrapolationsfunktionen, die komplexer sind oder höhere Ordnungen haben als die für die Interpolation verwendeten.
Im letzteren Fall ist fast immer eine lineare Interpolation ausreichend, vorausgesetzt, dass die bekannten Daten oder Punkte nicht zu weit voneinander entfernt sind.
Sie können sich in der Anzahl der für die Schätzung benötigten Datenelemente unterscheiden
Ein weiterer wichtiger Unterschied zwischen Interpolation und Extrapolation ist die Anzahl der Datenelemente, die zur Durchführung der Schätzung erforderlich sind. Bei der Interpolation wird fast immer davon ausgegangen, dass der Wert des gesuchten Punktes auf einer Geraden liegt, die die beiden nächstgelegenen Punkte verbindet. In diesem Fall reicht es aus, diese beiden Punkte zu kennen, um die Interpolation durchzuführen. Mit anderen Worten, die Auswirkung eines Fehlers in der Steigungsschätzung auf die Interpolation ist selten schwerwiegend, da der geschätzte Punkt fast immer zwischen den zwei bekannten Punkten liegen wird.
Andererseits ist es im Fall der Extrapolation sehr riskant, nur zwei zu nehmen, da sich die Unterschiede in der Steigung der Linie mit zunehmender Entfernung vom höchsten (oder niedrigsten) Punkt zunehmend auf den Wert von y auswirken Punkte, um die Steigung zu berechnen. In diesen Fällen werden normalerweise mehrere Punkte durch den Prozess der kleinsten Quadrate an die beste Linie oder an eine andere Polynomfunktion höherer Ordnung angepasst, um sicherzustellen, dass die Linie, die wir vorwärts (oder rückwärts) extrapolieren, das allgemeine Verhalten widerspiegelt von die Daten als Ganzes und nicht nur ein paar von ihnen.
Linear interpoliert und extrapoliert
Bei linearer Interpolation und linearer Extrapolation werden im Wesentlichen dieselben mathematischen Gleichungen verwendet. In beiden Fällen hat die Interpolationsfunktion die Form y = mx + b, wobei y der gesuchte Wert für einen gegebenen Wert von x ist, m die Steigung der Geraden ist, an die wir die Daten anpassen, und b ist der Schnitt mit der y-Achse der Interpolationsfunktion.
Die Steigung einer linearen Funktion kann aus zwei beliebigen Punkten mit der Formel berechnet werden:
Wir können diese Formel zweimal anwenden, einmal zwischen zwei beliebigen Punkten der Reihe bekannter Daten und ein weiteres Mal zwischen einem bekannten Punkt und dem Punkt, den wir finden möchten. Da die Steigung in beiden Fällen gleich ist, können wir beide Ausdrücke abgleichen und so die Formel erhalten, die den gesuchten Wert von y mit dem bestimmten Wert von x, den wir haben, in Beziehung setzt.
Beispiel
Angenommen, wir wollen zwei aufeinanderfolgende Punkte p k-1 = (x k-1 ; y k-1 ) und p k = (x k ; y k ) verwenden , um einen beliebigen Punkt (x ; y) zu interpolieren oder zu extrapolieren. Wir können dann die Steigung zweimal schreiben und gleichsetzen, um zu erhalten:
Wenn wir diese Gleichung umstellen, erhalten wir:
Beachten Sie, dass in diesem Fall nichts über die Position des Punktes (x ; y) in Bezug auf die beiden für die Schätzung verwendeten Daten angenommen wird, sodass dieselbe Gleichung sowohl für die Interpolation als auch für die Extrapolation verwendet wird.
Wird verifiziert, dass x k-1 < x < x k , oder anders ausgedrückt, dass x zwischen x k-1 und x k liegt , dann handelt es sich um eine Interpolation. Ist dagegen x > x max oder x < x min , also x größer als der Maximalwert oder kleiner als der Minimalwert der Datenreihe, so handelt es sich um eine Extrapolation.
Interpolationsbeispiel
Angenommen, wir wissen, dass die Nachfrage nach Pizzen in der venezolanischen Stadt Mérida 500.000 Einheiten pro Jahr beträgt, wenn der Durchschnittspreis pro Einheit 20 $ beträgt, während bei einem Durchschnittspreis von 15 $ die Nachfrage auf 750.000 steigt. Uns interessiert, wie hoch die Nachfrage wäre, wenn wir den Preis auf 16,5 $ festsetzen würden.
Lösung
Beachten Sie, dass dies ein Beispiel für eine Interpolation ist, da der zu schätzende Punkt, der einem Preis von 16,5 $ entspricht, zwischen zwei bekannten Punkten liegt (dh er liegt zwischen 15 $ und 20 $). Für dieses Beispiel haben wir:
Wenden Sie nun die lineare Interpolationsformel an:
Wenn also der durchschnittliche Pizzapreis auf 16,5 $ pro Einheit festgesetzt wird, beträgt die jährliche Nachfrage 675.000 Pizzas pro Jahr.
Beispiele für Extrapolation
Angenommen, wir möchten im obigen Beispiel ermitteln, wie hoch die Nachfrage wäre, wenn der Preis auf 25 $ pro Einheit steigen würde. Da in diesem Fall verifiziert ist, dass x = 25 $ > 20 $, handelt es sich um eine Extrapolation. Die Daten sind wieder:
Ersetzen:
Daher prognostiziert die Extrapolation, dass bei einem Preisanstieg auf 25 $ die Nachfrage auf die Hälfte des Wertes von 20 $ reduziert wird.
Verweise
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