So berechnen Sie den Erwartungswert oder die mathematische Erwartung

Der Erwartungswert , auch Erwartungswert genannt , ist in der Mathematik der langjährige Mittelwert des Wertes einer Zufallsvariablen. Er entspricht gewissermaßen dem Wert der Zufallsvariablen, den wir im Durchschnitt nach mehrmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments erwarten würden (daher der Name „Erwartungswert“).

Je nach Art der Zufallsvariablen gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten, den Erwartungswert zu berechnen. Diese Variable wird normalerweise durch den Großbuchstaben X dargestellt und kann entweder kontinuierlich oder diskret sein. In jedem der Fälle ändert sich die Art der Berechnung der Erwartung von X (bezeichnet durch E[X]), wie unten zu sehen ist.

Berechnung des Erwartungswerts einer diskreten Zufallsvariablen

Eine Zufallsvariable ist jede Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl oder einen numerischen Wert zuweist, sei es quantitativ oder qualitativ. Im Fall diskreter Zufallsvariablen beziehen sich diese auf solche Zufallsvariablen, die eine endliche Anzahl möglicher Ergebnisse haben oder deren Ergebnisse als erstes, zweites, drittes usw. geordnet werden können.

Ein Beispiel für eine diskrete Zufallsvariable könnte die Anzahl der gewürfelten geraden Zahlen sein, wenn zwei 6-seitige Würfel geworfen werden. In diesem Fall wären die einzig möglichen Werte der Zufallsvariablen 0, 1 und 2.

Der erwartete Wert einer diskreten Zufallsvariablen wird berechnet, indem das Produkt jedes Werts der Variablen und die Wahrscheinlichkeit dieses Werts addiert werden. Dies kann mathematisch mit der folgenden Formel geschrieben werden:

In dieser Gleichung ist E[X] die Erwartung von X (der Wert, den wir bestimmen wollen), x _i entspricht dem i-ten Wert der Zufallsvariablen und P(x _i ) entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis des Experiments ist x _i .

Beispiel zur Berechnung des Erwartungswerts einer diskreten Zufallsvariablen

Eine praktische und einfache Möglichkeit, das Konzept des erwarteten Werts zu verstehen, sind Glücksspiele. Stellen Sie sich ein Glücks-Roulette vor, wie die Show, die mit lokalen Variationen in vielen Ländern im Fernsehen ausgestrahlt wird. In diesem Rouletterad gibt es in bestimmten Fällen 4 Keile, die zu einem Verlust von 400 $ führen, 5 Keile, die 0 enthalten, 6, die 1.000 $ enthalten, und 1 Keil mit dem Jackpot von 6.000 $. Die Frage ist, was ist der erwartete Wert des Geldbetrags, den die Roulette-Teilnehmer langfristig gewinnen werden?

Wenn wir mit einem solchen Problem konfrontiert werden, müssen wir zuerst alle möglichen Ergebnisse des Experiments bestimmen, das darin besteht, das Rouletterad zu drehen. Außerdem muss es möglich sein, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, jeden der möglichen Werte der Zufallsvariablen zu erhalten.

Im vorliegenden Fall gibt es nur 4 mögliche Ergebnisse, nämlich –400 $, 0 $, 1.000 $ und 6.000 $. Insgesamt gibt es 4 + 5 + 6 + 1 = 16 Keile, also sind die Wahrscheinlichkeiten jedes Ergebnisses der Zufallsvariablen 1/4, 5/16. 3/8 und 1/16.

Jetzt haben wir bereits alles, was wir brauchen, um die Summation durchzuführen, um den Erwartungswert zu bestimmen:

Das bedeutet, dass Roulette seinen Teilnehmern auf lange Sicht 650 $ zahlt.

Berechnung des Erwartungswerts einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Wenn eine Zufallsvariable stetig ist, bedeutet dies, dass die Menge ihrer möglichen Werte aus einem Intervall reeller Zahlen besteht, unabhängig davon, ob dieses Intervall endlich oder unendlich ist. Bei kontinuierlichen Zufallsvariablen wird die Wahrscheinlichkeit durch das pdf und die Summe durch das Integral ersetzt:

In dieser Gleichung ist x die kontinuierliche Zufallsvariable und f (x) entspricht der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion von x. Wie hier zu sehen ist, muss das Integral über alle möglichen Werte der Zufallsvariablen X- erfolgen.

Beispiel zur Berechnung des Erwartungswerts einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Betrachten Sie eine kontinuierliche Zufallsvariable, deren Verteilungsfunktion gegeben ist durch:

Sie werden gebeten, den Mittelwert oder Erwartungswert dieser kontinuierlichen Zufallsvariablen zu bestimmen.

Bei der Lösung dieses Problems sollte berücksichtigt werden, dass die Funktion stückweise definiert wird, indem die reelle Linie in 3 Intervalle unterteilt wird, die (-∞; -2 ), [-2 ; 2] und (2 ; + ∞). Auf diese Weise wird bei Anwendung der Formel für den Erwartungswert von X das Integral in die Summe dreier Integrale geteilt:

Da aber die Zufallsvariable x im ersten und letzten Intervall null ist, sind beide Integrale null, was nur das mittlere Integral ergibt, ausgewertet zwischen -2 und +2:

Verweise

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