So berechnen Sie den Erwartungswert beim Roulette

Wahrscheinlich bezieht sich der erwartete Wert einer Zufallsvariablen auf den Durchschnittswert einer großen Anzahl von Vorkommen der Variablen . Er wird als gewichteter Durchschnitt aller möglichen Werte der Zufallsvariablen berechnet, wobei der Gewichtungsfaktor nichts anderes ist als die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Wert auftritt.

Wahrscheinlichkeit ist ein Studiengebiet von großer Bedeutung im Bereich der Glücksspiele, unter denen Roulette eines der beliebtesten und am einfachsten zu verstehenden ist.

Was ist Roulette und wie wird es gespielt?

Ein typisches amerikanisches Rouletterad besteht aus einem Rad mit einer Reihe von Schlitzen, die mit 1 bis 36 gekennzeichnet sind, von denen 18 schwarz und die anderen 18 rot sind. Zusätzlich gibt es zwei grüne Zellen oder Schlitze an gegenüberliegenden Enden des Rades, die mit den Nummern 0 bzw. 00 gekennzeichnet sind, also insgesamt 38 Zellen.

Es gibt auch französisches Roulette, das das 00-Kästchen nicht hat und daher insgesamt 37 Kästchen hat.

Das Spiel besteht darin, das Rad zu drehen, während ein kleiner Ball in die entgegengesetzte Richtung geworfen wird. Wenn der Spinner und der Ball langsamer werden, landet der Ball schließlich in einer der 37 oder 38 Taschen oder Schlitze. Bevor der Ball zur Ruhe kommt, können die Teilnehmer verschiedene Arten von Wetten abschließen. Einige der möglichen Wetten sind:

• Setzen Sie auf eine bestimmte Zahl (zahlt normalerweise 35:1)
• Setzen Sie auf zwei benachbarte Zahlen (zahlt im Allgemeinen 17:1)
• Wette auf Rot oder Schwarz (zahlt normalerweise 1:1)
• Ungerade oder gerade Zahlen (zahlt normalerweise 1:1)
• Niedriger oder hoher Einsatz, d. h. die ersten 18 Zahlen (von 1 bis 18) oder die letzten 18 (von 19 bis 36) (zahlt im Allgemeinen 1:1 aus)
• Erstes Dutzend (1-12) (zahlt normalerweise 2:1)
• Zweites Dutzend (von 13 bis 24) (zahlt normalerweise 2:1)
• Drittes Dutzend (von 25 bis 36) (zahlt normalerweise 2:1)

Wie Sie sehen können, bietet jede dieser Wetten eine bestimmte Auszahlung, die von der Wahrscheinlichkeit des Eintretens abhängt.

Als nächstes berechnen wir den erwarteten Wert der Gewinne gemäß den verschiedenen Arten von Wetten, die wir in einem amerikanischen Roulette-Rad machen können. Die hier erhaltenen Ergebnisse lassen sich leicht auf französisches Roulette extrapolieren, indem man einfach die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse in den Nennern aller Wahrscheinlichkeiten ändert.

In jedem Fall ermitteln wir den erwarteten Gewinnwert für jeden Dollar, den wir einsetzen, obwohl der Zahlenwert auf jede andere Währung übertragen werden kann. Darüber hinaus ergibt die Multiplikation dieses erwarteten Werts mit dem tatsächlichen Wert der Wette den erwarteten Wert dieser Wette. Wenn wir also statt 1 $ 100 $ setzen, müssen wir nur den erwarteten Wert der 1 $-Wette mit 100 multiplizieren.

Formel zur Berechnung des Erwartungswertes einer Wette beim Roulette

Die Zufallsvariable, deren Erwartungswert wir bestimmen wollen, ist der Geldbetrag, den wir im Durchschnitt gewinnen, wenn wir dieselbe Roulette-Wette viele Male machen. Wenn wir eine Wette abschließen, führen wir ein Experiment durch, das nur zwei mögliche Ergebnisse hat: Wir gewinnen oder wir verlieren. Wir gewinnen, wenn die Kugel in einer Box landet, die unserem Einsatz entspricht, andernfalls verlieren wir.

Nennen wir X den durch das Wetten erzielten Gewinn (unsere Zufallsvariable), p die Erfolgswahrscheinlichkeit, x ₁ den Gewinn, den wir erhalten, wenn wir gewinnen, q die Wahrscheinlichkeit des Scheiterns und x ₂ den Gewinn (oder Verlust), den wir haben, wenn wir gewinnen verlieren wir, dann können wir den erwarteten Wert einer Wette wie folgt berechnen:

Jetzt werden wir sehen, wie wir diese Formel auf die verschiedenen Wetten anwenden, die wir machen können.

Erwarteter Wert des Einsatzes auf eine bestimmte Zahl beim Roulette

Angenommen, wir setzen $1 auf eine bestimmte Zahl (0, 00, 1, 2, 3, …).

Die Auszahlung für diese Wette, sollten wir gewinnen, beträgt 35 zu 1, was bedeutet, dass wir 35 $ für jeden gesetzten $ 1 erhalten, plus unseren gesetzten $ 1. Wir werden dann sagen, dass der Wert unserer Zufallsvariablen im Erfolgsfall (x ₁ ) in diesem Fall +35 $ beträgt, da dies der Nettogewinn ist. Die Erfolgswahrscheinlichkeit (p) beträgt 1/38, da es insgesamt 38 verschiedene Felder gibt, in die der Ball fallen kann, während nur 1, mit dem wir gewinnen werden.

Wenn die Kugel andererseits auf einer anderen Zahl landet, verlieren wir die Wette, in diesem Fall behält das Haus den $1, den wir gesetzt haben. Somit beträgt unser „Gewinn“ –1 $, da wir tatsächlich Geld verlieren. Die Wahrscheinlichkeit zu verlieren (q) ist 37/38, da wir bei jeder anderen Box als der Zahl, auf die wir gesetzt haben, verlieren. Mit diesen Daten können wir die Formel anwenden und den erwarteten Wert dieser Wette bestimmen:

Mit anderen Worten, der erwartete Wert des Wettens auf eine bestimmte Zahl beim Roulette ist ein Verlust von 5,3 Cent für jeden Dollar, den wir setzen.

Erwarteter Wert des Wettens auf zwei benachbarte Zahlen

Angenommen, wir setzen $1, indem wir einen Chip zwischen zwei benachbarte Zahlen platzieren, wie z. B. 2 und 3 oder 17 und 20 (die vertikal benachbart sind).

Die Auszahlung für diese Wette beträgt im Gegensatz zur vorherigen 17 zu 1, was bedeutet, dass wir 17 $ für jeden gesetzten $ 1 zurückbekommen, plus wir bekommen unseren 1 $ zurück. Der Gewinn beträgt in diesem Fall +17 $, während die Erfolgswahrscheinlichkeit (p) 2/38 beträgt, da es zwei Zahlen gibt, die uns gewinnen lassen, während insgesamt immer noch die gleichen 38 Zellen vorhanden sind.

Wenn wir andererseits verlieren, verlieren wir erneut denselben $1, den wir gesetzt haben, aber die Wahrscheinlichkeit zu verlieren (q) beträgt jetzt 36/38. Der erwartete Wert dieser Wette ist dann:

Auch hier wird erwartet, dass wir durch mehrfaches Wetten auf ein beliebiges Paar benachbarter Zahlen beim Roulette im Durchschnitt 5,3 Cent für jeden Dollar verlieren, den wir setzen.

Erwarteter Wettwert von Dutzenden

Es gibt sechs verschiedene Wetten, die wir beim Roulette machen können, die ein Dutzend mögliche günstige Ergebnisse beinhalten; drei davon bestehen aus Wetten auf das erste, zweite oder dritte Dutzend Zahlen (ohne 0 oder 00), und die anderen drei bestehen aus Wetten auf eine der drei Spalten, in denen die Zahlen auf dem Roulettetisch angeordnet sind.

Die Auszahlung für jede dieser Wetten beträgt 2 zu 1, was bedeutet, dass wir 2 $ für jeden gesetzten $ 1 gewinnen und unseren 1 $ zurückbekommen. Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt 12/38, da wir auf einen Korb mit 12 verschiedenen Zahlen setzen. Schließlich ist die Wahrscheinlichkeit eines Scheiterns 26/38 bei demselben Verlust von 1 $ (oder Gewinn von -1 $, was dasselbe ist).

Der Erwartungswert unserer Zufallsvariablen ist in diesem Fall:

Erwarteter Wert beim Wetten auf Rot oder Schwarz, gerade oder ungerade oder niedrig oder hoch

Schließlich gibt es sechs weitere verschiedene Wetten, die wir beim Roulette machen können, die sowohl die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit und die gleiche Auszahlung bei einem Gewinn als auch die gleiche Ausfallwahrscheinlichkeit und den gleichen Geldverlust bei einer Niederlage aufweisen Wir werden ihren Erwartungswert für alle auf die gleiche Weise berechnen. Diese Wetten sind:

• Setzen Sie auf Rot.
• auf schwarz setzen
• Setzen Sie auf gerade Zahlen
• Wetten Sie auf ungerade Zahlen
• Setzen Sie auf die unteren 18 Zahlen (die Zahlen von 1 bis 18)
• Setzen Sie auf die hohen 18 Zahlen (die Zahlen von 19 bis 36)

Obwohl sie wie sehr unterschiedliche Wetten aussehen, sind sie eigentlich genau gleich. Sie alle zahlen 1 $ für jeden eingesetzten 1 $ plus 1 $ zurück, also netto alle +1 $.

Außerdem haben sie alle die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit (und im Gegenzug auch Misserfolg). Beispielsweise wird die Hälfte der Zahlen von 1 bis 36 mit der Farbe Rot identifiziert, während die andere Hälfte mit Schwarz identifiziert wird, sodass eine Wahrscheinlichkeit von 18/38 besteht, dass sie rot oder schwarz erscheinen (denken Sie daran, dass die Zellen von 0 und 00 sind grün und vervollständigen damit die insgesamt 38 möglichen Ergebnisse).

In Bezug auf ungerade und gerade Zahlen, da es 36 aufeinanderfolgende Zahlen gibt, ist die Hälfte gerade Zahlen (2, 4, 6, 8, 10, 12, ,…,34 und 36) und die andere Hälfte ungerade (1, 3 , 5, 7, 9, 11, …, 33 und 35). Wir müssen uns daran erinnern, dass Null weder als gerade noch als ungerade Zahl betrachtet wird, sodass weder das 0- noch das 00-Kästchen Teil eines der beiden Ergebnisse sind.

Schließlich gibt es 18 niedrige Zahlen und 18 hohe Zahlen, sodass die Wahrscheinlichkeit, das eine oder andere Ergebnis zu erzielen, ebenfalls 18/38 beträgt.

Andererseits beinhaltet ein Misserfolg in all diesen Fällen die andere Hälfte der nicht in der Wette gezählten Zahlen plus 0 und 00, sodass es insgesamt 20 mögliche negative Ergebnisse gibt. Dies impliziert eine Ausfallwahrscheinlichkeit von 20/38.

Der erwartete Wert jeder dieser Wetten ist dann:

Wie werden diese Ergebnisse interpretiert?

Dieses Ergebnis bedeutet nicht, dass wir, wenn wir beispielsweise ein Casino betreten und 1 $ auf 21 setzen, 0,053 $ verlieren. In Wirklichkeit, wenn wir nur einmal spielen , werden wir entweder $1 weniger oder $35 mehr nach Hause gehen.

Dieses Ergebnis bedeutet, dass wir, wenn wir viele Male Roulette setzen und immer auf eine einzelne Zahl setzen, manchmal 35 $ gewinnen und manchmal 1 $ verlieren, aber im Durchschnitt verlieren wir am Ende 0,053 $ für jeden eingesetzten Dollar.

Dieses Ergebnis bestätigt das beliebte Sprichwort „Die Bank gewinnt immer“, was sich auf die Tatsache bezieht, dass, selbst wenn ein Casino manchmal einen Jackpot an einen glücklichen Spieler auszahlt, dieser am Ende immer alles gewinnt, was er verloren hat, und noch mehr all die kleinen Wetten, bei denen die Teilnehmer verlieren.

Verweise

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