Was ist ein Durchschnitt in Mathematik?

In der Mathematik ist ein Durchschnitt, auch Mittelwert genannt, eine Zahl, die den Wert einer Reihe von Zahlen oder Daten in einem zusammenfasst . Es ist als Maß für die zentrale Tendenz bekannt, weil es in gewisser Weise einen Wert darstellt, der im Zentrum einer Datensammlung steht.

Wofür sind die Durchschnittswerte?

Die Mittelwerte sind sehr hilfreich, da sie es uns ermöglichen, das Verhalten einer großen Anzahl von Daten in großen Zügen zu sehen, ohne uns in den Details jedes einzelnen Werts zu verlieren. Um eine Analogie zu verwenden, ermöglicht uns die Berechnung eines Durchschnitts, den Wald als Ganzes zu sehen, anstatt uns auf die Bäume zu konzentrieren.

Zum Beispiel können wir eine Tabelle haben, in der die Werte der Körpergröße von 100 Schülern der gleichen Klasse einer Bildungseinrichtung stehen. Höchstwahrscheinlich ist keine dieser Personen genau gleich groß, daher werden die meisten Werte in der Tabelle unterschiedlich sein.

Was würde passieren, wenn uns jemand fragen würde, wie groß die Schüler dieser Klasse auf diesem Campus sind? Es wäre falsch, die Größe eines von ihnen als Antwort anzugeben. Hier beginnen Durchschnittswerte zu helfen. Anstatt 100 verschiedene Höhen anzugeben, können Sie mit dem Durchschnitt alle diese Informationen in einer einzigen Zahl zusammenfassen. Man könnte also sagen, dass die Studierenden auf dem Campus im Durchschnitt 1,67 m groß sind (wenn das so wäre).

Das bedeutet nicht, dass nicht alle Schüler 1,67 messen, noch dass einer von ihnen diese Größe hat. Einfach, dass die Zahl, die die Größe der Schüler dieser Klasse auf diesem Campus am besten darstellt, 1,67 m beträgt.

Informationsverlust bei der Berechnung von Durchschnittswerten

Offensichtlich fehlen Ihnen viele Informationen, wenn Sie Daten zu einem Durchschnitt zusammenfassen. Informationen werden der Übersichtlichkeit halber geopfert. Die Berechnung von Durchschnittswerten ist Teil der sogenannten deskriptiven Statistik, die nichts anderes ist als eine Reihe von Techniken und Berechnungen, die es ermöglichen, das Verhalten oder die Eigenschaften einer großen Datensammlung mit wenigen Zahlen zu beschreiben.

Die Durchschnittswerte allein liefern in der Regel nicht genügend Informationen für viele der Anwendungen, die wir ihnen geben. Um einige der fehlenden Informationen wiederzugewinnen, werden Durchschnittswerte häufig zusammen mit einem Maß für die Streuung einzelner Daten um den Mittelwert, wie z. B. die Varianz oder Standardabweichung, angegeben.

Durchschnittstypen und ihre Formeln

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, einen Durchschnitt aus einer Sammlung von Daten zu berechnen. Daraus ergeben sich unterschiedliche Arten von Durchschnitten bzw. Durchschnitten.

• Arithmetisches Mittel (X̅ oder AM)
• Gewichteter arithmetischer Mittelwert (WAM)
• Geometrisches Mittel (GM)
• Harmonischer Mittelwert (HM)
• Effektivwert (RMS)

Arithmetisches Mittel (X̅ oder AM)

Das arithmetische Mittel oder AM ist die im täglichen Leben am häufigsten verwendete Form des Durchschnitts. Es ist eine einfache Summe der zu mittelnden Elemente, dividiert durch die Gesamtzahl der Elemente oder Daten.

Das arithmetische Mittel wird in vielen mathematischen Kontexten durch das Symbol dargestellt, das die zu mittelnde Variable mit einem Balken darüber darstellt. Beispielsweise wird das arithmetische Mittel der Variablen X als X̅ (X-Balken) dargestellt. Es wird manchmal auch durch AM _X dargestellt . Seine Formel ist gegeben durch:

In dieser Gleichung stellt X _i das i-te individuelle Datenelement dar und n ist die Gesamtzahl von Datenelementen, die gemittelt werden.

Dieser Durchschnitt hat die Eigenschaft, dass er in der Mitte aller Daten liegt, so dass die Summe der Abweichungen aller Einzeldaten gegenüber dem Durchschnitt immer Null ist.

Das arithmetische Mittel ist sehr empfindlich gegenüber Ausreißern oder extremen Daten. Das heißt, wenn es einen Wert in einem Datensatz gibt, der entweder viel größer als die überwiegende Mehrheit der anderen Daten oder viel kleiner ist, ziehen diese extremen Daten den Durchschnitt dorthin, weg von der Mehrheit der anderen Daten.

Gewichteter arithmetischer Mittelwert (WAM oder W)

Das arithmetische Mittel gibt allen gemittelten Daten die gleiche Wichtigkeit oder das gleiche Gewicht. Dies ist jedoch nicht immer bequem, da einige Daten wichtiger sein können als andere. In diesen Fällen wird das gewichtete arithmetische Mittel oder der gewichtete Durchschnitt verwendet, der üblicherweise durch das Symbol W (von englisch „ weighted average“ ) dargestellt wird.

Bei der gewichteten Mittelwertbildung geht die relative Wichtigkeit jedes Datenelements in Form eines bestimmten Gewichtungsfaktors ( w _i ) für jedes Datenelement ( X _i ) in die Berechnung ein. Je wichtiger die Daten sind, desto größer ist ihr Gewichtungsfaktor und desto größer ist ihr Einfluss auf den endgültigen Durchschnitt. Die Formel zur Berechnung des gewichteten Durchschnitts lautet:

Der Gewichtungsfaktor kann beliebig gewählt werden und gegebenenfalls sogar mit einer geeigneten Gewichtungsfunktion berechnet werden.

Ein Beispiel für eine Situation, in der der gewichtete Durchschnitt angemessener ist als der einfache Durchschnitt, ist der Fall der Berechnung des Notendurchschnitts eines Schülers. Der arithmetische Mittelwert oder einfache Durchschnitt ist für diese Fälle nicht geeignet, da es Fächer gibt, die viel mehr Arbeit und Einsatz erfordern als andere, und es auch Fächer gibt, die für die akademische Zukunft wichtiger sind als andere. Aus diesem Grund sollten sie mehr zum GPA beitragen als weniger wichtige Fächer.

In diesen Fällen wird in der Regel die Anzahl der Leistungspunkte des Fachs als Gewichtungsfaktor herangezogen.

geometrisches Mittel (GM)

Bei der Berechnung des geometrischen Mittels werden die n Einzeldaten multipliziert und die n- te Wurzel aus dem gemeinsamen Produkt gezogen, anstatt die Summe der Daten zu nehmen und durch die Anzahl der Daten zu dividieren.

Dieser Mittelwert hat die Eigenschaft, null zu sein, wenn irgendwelche der zu mittelnden Daten null sind. Auch wenn die Anzahl der Datenelemente gerade ist, ist das geometrische Mittel für negative Daten nicht definiert, weshalb seine Nützlichkeit auf streng positive Zahlen beschränkt ist.

Diese Art von Durchschnitt wird häufig bei der Berechnung von prozentualen Durchschnitten verwendet.

Harmonischer Mittelwert (HM)

Das harmonische Mittel oder HM ist eine Art von Durchschnitt, der häufig verwendet wird, um Größen zu mitteln, die als Produkte oder Quotienten berechnet werden. Einige wichtige Beispiele sind die Berechnung von Durchschnittsgeschwindigkeiten über gleich lange Fahrten, das Kurs-Gewinn-Verhältnis (PER) von Investitionen an der Börse usw.

Die Formel zur Berechnung des harmonischen Mittels besteht aus dem Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte der Einzeldaten. Mit anderen Worten, es ist durch die folgende Gleichung gegeben:

Effektivwert (RMS)

Der RMS, auch bekannt als quadratischer Mittelwert, stellt eine Art Mittelwert dar, der für Daten geeignet ist, die sowohl positive als auch negative Werte aufweisen. Denn sie entspricht der Quadratwurzel aus dem arithmetischen Mittel der Quadrate der Einzeldaten. Durch das Quadrieren jedes Datenstücks wird das erhaltene Ergebnis immer positiv sein, sodass der Einfluss dieses Vorzeichens auf die Berechnung des Durchschnitts eliminiert wird.

Der Effektivwert wird angegeben durch:

Die häufigste Anwendung von RMS ist die Berechnung der Effektivspannung des Wechselstroms mit Sinuswelle. In diesem Fall ist das Wichtigste die durchschnittliche Amplitude der Welle und nicht der Durchschnittswert der Spannung, die aufgrund der Symmetrie um 0 V null ist.

Andere Maße der zentralen Tendenz: der Median und der Modus

Zusätzlich zu den verschiedenen Mitteln, die wir zuvor gesehen haben, gibt es auch andere Maße der zentralen Tendenz, die hauptsächlich in der Statistik verwendet werden. Dies sind der Median und der Modus.

Der Median (X̃)

In einer Reihe von quantitativen Daten, die vom kleinsten zum größten geordnet sind, stellt der Median die zentralen Daten oder den Wert der Variablen dar, die die Datenreihe in zwei Hälften oder Sätze mit der gleichen Anzahl von Daten teilt. Auf diese Weise hängt die Bestimmung des Medians, der durch Platzieren einer Tilde oder Tilde über dem Symbol der interessierenden Variablen dargestellt wird (z. B. könnte ṽ den Median einer Reihe von Geschwindigkeitsdaten darstellen), von der Gesamtzahl von ab Daten verfügbar.

Der Median wird nicht unbedingt berechnet, sondern in einem Datensatz identifiziert. Um den Median zu ermitteln, ordnen Sie zunächst alle Daten vom kleinsten zum größten und nummerieren sie dann fortlaufend von 1 an aufwärts. Der nächste Schritt hängt davon ab, ob die Gesamtzahl der vorhandenen Daten (n) gerade oder ungerade ist:

Anzahl ungerader Daten: Wenn die Reihe eine ungerade Anzahl von Daten enthält, dann ist der Median die Daten, die mit der Zahl (n+1)/2 gekennzeichnet sind. Wenn es beispielsweise insgesamt 15 Datenpunkte gibt, ist der Median der Datenpunkt (15+1)2=8, da dies 7 Datenpunkte unter und 7 Datenpunkte über dem Median lässt.

Anzahl gerader Daten: In diesem Fall gibt es keine zentralen Daten, die die Reihe in zwei gleiche Hälften teilen, daher wird der Median als arithmetisches Mittel der beiden zentralen Daten berechnet, also aus der Datennummer n/2 und den Daten (n/2) +1. Wenn beispielsweise eine Datenreihe 24 Datenelemente enthält, ist der Median der einfache Durchschnitt zwischen dem Datenelement 2/2=12 und dem Datenelement (2/24)+1=13.

Der Median bietet den Vorteil, dass er weniger empfindlich auf Extremwerte reagiert als der Mittelwert. Es ist jedoch kein gutes Maß für die zentrale Tendenz, wenn die Daten verzerrt sind.

Der Modus (Mo _X )

Der Modus ist einfach der am häufigsten vorkommende Wert oder die Kategorie in einem Datensatz. Es ist so etwas wie der „heißeste“ Wert in der Reihe und stellt die höchste Spitze dar, wenn die Daten in Form eines Histogramms dargestellt werden.

Beispiel für die Berechnung verschiedener Durchschnittswerte

Angenommen, wir haben die folgende Reihe von Daten, die der Größe von 30 Schülern in einer Mathematikabteilung einer Schule in der Hauptstadt entsprechen. Alle Höhen sind in Metern angegeben.

Bestimmen Sie aus diesen Daten a) das arithmetische Mittel; b) das geometrische Mittel; c) das harmonische Mittel; d) der RMS und e) der Median.

Lösung

Da wir aufgefordert sind, den Median zu bestimmen, und wir dazu die Daten geordnet und identifiziert haben müssen, werden wir dort beginnen, da dies normalerweise die anderen Berechnungen erleichtert:

Anhand dieser Tabelle berechnen wir nun die Mittelwerte, die wir berechnen sollen. In beiden Fällen geht es einfach darum, die oben gezeigten Gleichungen anzuwenden:

Arithmetischer Durchschnitt

Geometrisches Mittel

harmonische Mittel

Effektivwert

Median

Da es sich um eine gerade Anzahl von Daten handelt, ist der Median das arithmetische Mittel der Daten 30/2=15 und (30/2)+1=16, d. h. der Durchschnitt zwischen 1,58 und 1,59:

Verweise

Conthe, M. (2017, 21. Juli). Arithmetisches Mittel oder geometrisches Mittel? Erweiterung. https://www.expansion.com/blogs/conthe/2017/07/21/un-calculo-poco-armonico.html

Spaß an Mathematik. (2011). Definition: Durchschnitt . Enjoythemathematics.com. https://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/average.html

Larios, R. (2020, 9. September). Was ist der Durchschnitt in Mathematik? Lernen zu Hause II . Union von Jalisco. https://www.unionjalisco.mx/2020/09/09/que-es-el-promedio-en-matematicas-aprende-en-casa-ii/

López, JF (2021, 2. Februar). geometrisches Mittel . Wirtschaftspädie. https://economipedia.com/definiciones/media-geometrica.html

Mathematik, M. (2020, 25. Juni). Durchschnitte; Arithmetik; geometrisch und harmonisch; Eigenschaften; Anwendungen . Mathematik. https://matematicas.review/promedios-aritmetico-geometrico-y-armonico-propiedades-aplicaciones/

Pérez P., J., & Merino, M. (2011). Definition von Durchschnitt . Definition von. https://definition.de/average/

Die offene Universität. (2020). Grundlagenwissenschaft: Zahlen verstehen . OpenLearn. Verfügbar unter https://www.open.edu/openlearn/science-maths-technology/basic-science-understanding-numbers/content-section-overview .