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Die Definition sich gegenseitig ausschließender Ereignisse kann auf unterschiedliche Weise erfolgen. Zunächst einmal werden zwei Ereignisse als sich gegenseitig ausschließend oder disjunkt bezeichnet, wenn das Eintreten des einen die Möglichkeit des Eintretens des anderen ausschließt . Dies bedeutet, dass es sich um Ereignisse handelt, die nicht gleichzeitig auftreten können . Wenn zum Beispiel ein Würfel nur einmal geworfen wird, schließt das Ergebnis der Landung auf einer der sechs Seiten ihn aus, auf einer der anderen fünf zu landen. Somit schließen sich das Ereignis, das 4 landet, und das Ereignis, das beispielsweise 3 landet, gegenseitig aus, da der Würfel nicht gleichzeitig auf 4 und 3 landen kann.
Andererseits sagt man im Bereich der Wahrscheinlichkeit, dass sich zwei Ereignisse gegenseitig ausschließen, solange sie keine Ergebnisse miteinander teilen . Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass ein Ereignis wahrscheinlich als eine Menge möglicher Ergebnisse eines Experiments betrachtet wird. Es können verschiedene Ereignisse definiert werden, die Ergebnisse teilen oder nicht teilen, und diejenigen, die Ergebnisse nicht teilen, werden als sich gegenseitig ausschließend betrachtet.
In formaleren mathematischen Begriffen und unter Verwendung der Notation der Mengentheorie schließen sich die Ereignisse A und B gegenseitig aus, wenn ihre Schnittmenge die leere Menge ist , das heißt, sie schneiden sich nicht. Mit anderen Worten, A und B schließen sich gegenseitig aus, solange A ∩ B = Ø ist.
Wann schließen sich zwei Ereignisse gegenseitig aus?
In Fällen, in denen uns die Logik nicht im Voraus sagt, ob zwei Ereignisse sich gegenseitig ausschließen, liefern Mengenlehre und Wahrscheinlichkeit die Lösung. Hier sind drei einfache Möglichkeiten, um zweifelsfrei festzustellen, wann zwei Ereignisse sich gegenseitig ausschließen oder disjunkt sind.
Beobachten der Elemente in jedem Satz
Wenn zwei Ereignisse eine endliche und kleine Menge von Elementen enthalten, ist es sehr einfach festzustellen, ob sie disjunkt sind oder nicht, indem man einfach überprüft, ob sie gemeinsame Elemente enthalten oder nicht.
Beispiel
Betrachten Sie zum Beispiel das Experiment, zwei Würfel gleichzeitig zu werfen. Lassen Sie uns nun die folgenden zwei Ereignisse definieren:
- Sei A das Ereignis, dass die Summe der beiden Würfel größer oder gleich 10 ist.
- Sei B das Ereignis, bei dem die Summe der beiden Würfel genau gleich 8 ist.
Es ist leicht zu bestimmen, welche Ergebnisse in jedem Ereignis enthalten sind. Im ersten nur die Ergebnisse (5,5); (5,6) und (6,6) ergeben eine Summe größer oder gleich 10. Andererseits ergeben nur die Ergebnisse (4,4); (5,3) und (6,2) ergeben 8. Nun können wir mit mengentheoretischer Symbologie schreiben:
Da es keine gemeinsamen Elemente gibt, ist die Schnittmenge die leere Menge, und daher schließen sich die Ereignisse gegenseitig aus.
Verwenden von Venn-Diagrammen
Eine weitere sehr einfache Methode, um festzustellen, ob sich zwei Ereignisse gegenseitig ausschließen, besteht darin, sie in einem Venn-Diagramm darzustellen. In diesen Diagrammen wird der Sample-Raum durch ein Rechteck (oder eine andere Form) dargestellt, während alle Ereignisse als interne Bereiche des Sample-Raums dargestellt werden.
In einem Venn-Diagramm sind sich gegenseitig ausschließende Ereignisse leicht als die Bereiche innerhalb des Rechtecks zu erkennen, die sich nicht berühren oder überlappen.
Durch die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung
In einigen Fällen können die beiden oben genannten Methoden nicht angewendet werden. Eine alternative Methode, um zu prüfen, ob sich zwei Ereignisse gegenseitig ausschließen, ist die Wahrscheinlichkeit. Wenn die einzelnen Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses bekannt sind, also P(A) und P(B), sowie die Wahrscheinlichkeit, dass das eine oder andere Ereignis eintritt, also P(AUB), dann wissen wir, dass es zwei Ereignisse gibt sind disjunkt, wenn erfüllt ist, dass:
Ein alternativer Weg führt über die Schnittwahrscheinlichkeit. Zwei Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, solange P(A ∩ B) = 0 .
Beispiele für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse
Einfache Ereignisse schließen sich immer gegenseitig aus
Einfache Ereignisse sind solche, die ein einzelnes Ergebnis enthalten. Beim Würfeln eines sechsseitigen Würfels ist das Ereignis, dass er eine 6 ergibt, ein einfaches Ereignis, da es nur aus dem Ergebnis 6 besteht. Andererseits ist das Ereignis, dass er gerade fällt, nicht einfach, da es so ist bestehend aus drei Ergebnissen, die Sie sind 2, 4 und 6.
Alle einfachen Ereignisse in einem Experiment schließen sich immer gegenseitig aus.
Beispiel
Angenommen, eine Studie bestimmt die Anzahl der pro Woche in einem Krankenhaus geborenen Männer. Der Probenraum S für dieses Experiment ist
Einige einfache Ereignisse wären:
Wie man sieht, kann keines dieser Ereignisse Elemente mit einem anderen teilen, da sie nicht mehr als ein Ergebnis haben und alle unterschiedlich sind, und daher werden sie sich immer gegenseitig ausschließen.
Wirf drei Würfel gleichzeitig
Das gleichzeitige Werfen von drei Würfeln ist ein Experiment, das 36 verschiedene Ergebnisse haben kann, da die Reihenfolge der Würfel keine Rolle spielt: die Ergebnisse (1,2,3); (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,1,2) und (3,2,1) repräsentieren alle dasselbe Ergebnis.
Stellen Sie sich vor, dass die folgenden drei Ereignisse eintreten:
- A = Ereignis, bei dem alle Würfel das gleiche Ergebnis ergeben.
- B = Ereignis, bei dem nur zwei Würfel das gleiche Ergebnis ergeben.
- C = Ereignis, bei dem alle Würfel unterschiedliche Ergebnisse liefern.
Allein durch den gesunden Menschenverstand kann geschlussfolgert werden, dass A, B und C sich gegenseitig ausschließende Ereignisse sind, denn wenn alle Würfel das gleiche Ergebnis liefern (Ereignis A tritt ein), ist es unmöglich, dass nur zwei gleich und einer unterschiedlich sind, oder dass alle unterschiedlich sind.
Kartenspiel
Stellen Sie sich ein Experiment vor, bei dem zwei Karten zufällig aus einem Stapel von 52 Pokerkarten gezogen werden. Lassen Sie uns nun die folgenden Ereignisse definieren:
- A = nur rote Punkte werden gezeichnet.
- B = nur schwarze Punkte werden gezeichnet.
Diese Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, denn wenn die Karten beide rot sind, können sie nicht beide schwarz sein und umgekehrt.
Beispiele für Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen
Wirf drei Würfel gleichzeitig
Nehmen wir dasselbe Experiment mit drei Würfeln, das oben beschrieben wurde, aber definieren Sie jetzt die folgenden Ereignisse:
- A = Ereignis, bei dem alle Würfel gleich sind = {(1,1,1); (2,2,2); (3,3,3);…}
- B = Ereignis, bei dem alle Würfel gerade sind = { (2,2,2); (2,2,4); (2,2,6)…}
Durch den Vergleich der Elemente in A und B ist leicht zu erkennen, dass es Übereinstimmungen geben wird und dass die Schnittmenge von A und B sein wird:
Da die Schnittmenge nicht die leere Menge ist, sind diese Ereignisse nicht disjunkt.
Kartenspiel
Betrachten wir das gleiche Experiment des Ziehens von zwei Karten aus einem Stapel und betrachten wir die folgenden neuen Ereignisse:
- A = mindestens eine Karte ist Herz.
- B = mindestens eine Karte ist ein König.
In diesem Fall treten immer dann, wenn ein Herz-König gezogen wird, A und B gleichzeitig auf. Tatsächlich ist dies nicht das einzige Ergebnis, das passiert, denn wenn ein Pik-König und ein Herz-Ass gezogen werden, werden auch A und B gleichzeitig auftreten. Daher schließen sich A und B nicht gegenseitig aus.
Bedeutung und Anwendung sich gegenseitig ausschließender Ereignisse
In der Mathematik hängt die Berechnung der Wahrscheinlichkeit mehrerer Ereignisse stark davon ab, ob sie sich gegenseitig ausschließen oder nicht. Beispielsweise besagt eines der Wahrscheinlichkeitsaxiome, dass die Vereinigungswahrscheinlichkeit mehrerer Ereignisse genau dann gleich der Summe der individuellen Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses ist , wenn sich alle Ereignisse gegenseitig ausschließen . Mit anderen Worten,
Nur wenn A und B disjunkte oder sich gegenseitig ausschließende Ereignisse sind.
Wenn sie sich nicht gegenseitig ausschließen, zählt die Summe der Wahrscheinlichkeiten doppelt so hoch wie die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Ergebnisses beider Ereignisse, dh die Wahrscheinlichkeit einer Überschneidung. Aus diesem Grund wird in diesen Fällen die Vereinigungswahrscheinlichkeit anders berechnet:
Bei drei Ereignissen A, B und C, die sich nicht gegenseitig ausschließen und sich auch überschneiden, wird es noch komplizierter:
In diesem Fall muss die Schnittwahrscheinlichkeit der drei Ereignisse P( A ∩ B ∩ C) zuletzt addiert werden, da sie dreimal subtrahiert wurde, indem die Schnittpunkte der verschiedenen Ereignispaare subtrahiert wurden.
