Die Axiome der Wahrscheinlichkeit

Die Axiome sind eine Reihe von Aussagen, die ohne die Notwendigkeit eines Beweises als wahr akzeptiert werden und auf denen alle Theorien und Theoreme der Wissenschaft basieren. Daher sind die Axiome der Wahrscheinlichkeit jene grundlegenden Aussagen, auf denen die Wahrscheinlichkeitstheorie basiert . Sie stellen den ultimativen Bezugsrahmen dar, auf den sich alle existierenden Theoreme der Wahrscheinlichkeitstheorie logisch beziehen sollten. Sie wurden 1933 von dem russischen Mathematiker Andrey Nikolaevich Kolmogorov postuliert und entstammen ausschließlich dem gesunden Menschenverstand.

Der Zweck der Wahrscheinlichkeitsaxiome besteht darin, das mathematische Konzept der Wahrscheinlichkeit zu formalisieren, um sicherzustellen, dass die numerischen Werte, die wir der Wahrscheinlichkeit zuweisen, dass etwas eintritt, mit unserer intuitiven Vorstellung von Wahrscheinlichkeit übereinstimmen.

Vorläufige Definitionen

Die Wahrscheinlichkeitstheorie basiert auf nur drei Axiomen , aber bevor wir ins Detail gehen, ist es notwendig, einige grundlegende Definitionen sowie einige Konventionen rund um die in der Wahrscheinlichkeit verwendete Symbologie festzulegen:

• Experiment. Es ist jede Aktion oder jeder Prozess, der ein Ergebnis oder eine Beobachtung erzeugt. Zum Beispiel ist das Werfen einer Münze ein Experiment (ein Vorgang oder eine Aktion), das zu Kopf oder Zahl führen kann.
• Probenraum ( S ). Bezieht sich auf die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Experiments und wird mit dem Symbol S bezeichnet. Im obigen Münzwurfbeispiel besteht der Stichprobenraum aus der Menge von nur zwei Ergebnissen: S = {Kopf, Zahl}.
• Ereignis ( E ). Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Stichprobenraums, d. h. eine beliebige Anzahl möglicher Ergebnisse des Experiments. Ereignisse werden normalerweise mit Großbuchstaben und tiefgestellten Buchstaben (wie E ₁ , E ₂ , E ₃ usw.) oder mit unterschiedlichen Buchstaben (A, B, C, …) gekennzeichnet. Zum Beispiel ist das Erscheinen von Kopf beim Werfen einer Münze ein Ereignis. Das Aufkommen von Schwänzen ist ein anderes Ereignis.
• Wahrscheinlichkeit ( P ): Es ist ein Zahlenwert, der einem Ereignis zugeordnet wird und der den Grad der Gewissheit angibt, den man über sein Eintreten hat. Als allgemeine Regel gilt: Je sicherer Sie sind, dass ein Ereignis (z. B. E ₁ ) eintritt, desto höher ist der Wahrscheinlichkeitswert, den Sie diesem Ereignis zuweisen.

setzt

Zusätzlich zu diesen Definitionen ist es auch nützlich, sich einige Operationen zu merken, die sich auf Mengen beziehen. Der Schnittpunkt zwischen zwei Mengen ergibt eine neue Menge mit den beiden gemeinsamen Elementen, sie wird mit dem Symbol ∩ bezeichnet und „und“ gelesen. Andererseits ist die Vereinigung zwischen zwei Mengen eine neue Menge mit allen gemeinsamen und nicht gemeinsamen Elementen von beiden, sie wird durch das Symbol ∪ dargestellt und wird als „oder“ gelesen.

Beispiel:

• Der Ausdruck P(E ₁ ∩ E ₂ ) wird gelesen „Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis E ₁ und Ereignis E ₂ gleichzeitig auftreten“
• Der Ausdruck P(E ₁ ∪ E ₂ ) wird gelesen „Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis E ₁ oder Ereignis E ₂ “

Axiom 1 der Wahrscheinlichkeit

Das erste Axiom der Wahrscheinlichkeit besagt, dass bei einem gegebenen Experiment die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses (E) eine nichtnegative reelle Zahl sein muss. Dies wird formal ausgedrückt als:

Axiom 1 repräsentiert die intuitive Vorstellung, dass es bedeutungslos ist, von einer negativen Wahrscheinlichkeit zu sprechen . Es legt auch eine Nullwahrscheinlichkeit als Untergrenze fest, die einem unmöglichen Ereignis zugewiesen wird. Letzteres ist formal definiert als jedes Ergebnis (oder jede Menge von Ergebnissen), das nicht im Stichprobenraum des Experiments enthalten ist.

Beispiel:

Bei einem einmaligen Würfelwurf wird der Abtastraum nur durch die Menge S={1, 2, 3, 4, 5, 6} gebildet. Das erste Axiom besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, eines der Ergebnisse (z. B. 4) zu erhalten, eine Zahl größer als Null sein muss ( P(4)>0 ). Andererseits ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis 7 ist, was nicht Teil des Stichprobenraums ist, null ( P(7)=0 ).

Beachten Sie, dass das erste Axiom nicht die Größe der Wahrscheinlichkeit möglicher Ereignisse angibt, das heißt, es gibt nicht an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit sein muss, dass der Würfelwurf zum Beispiel 4 ergibt. Es gibt nur an, dass es so sein muss irgendeine positive Zahl. .

Axiom 2 der Wahrscheinlichkeit

Das zweite Wahrscheinlichkeitsaxiom besagt, dass für jedes Experiment die Wahrscheinlichkeit des Stichprobenraums 1 ist , oder formal:

Eine einfache Möglichkeit, Axiom 2 zu verstehen, besteht darin, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis, was auch immer es sein mag, in dem Experiment erhalten wird, 1 ist.

Beispiel:

Wie oben erwähnt, gibt es beim Werfen einer Münze nur zwei mögliche Ergebnisse: Kopf oder Zahl, also ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie Kopf oder Zahl ergibt, gemäß Axiom 2 1.

Wenn das erste Axiom die Untergrenze der Wahrscheinlichkeit auf Null setzt, setzt das zweite Axiom seine Obergrenze auf 1. Dies liegt daran, dass der Stichprobenraum ein bestimmtes Ereignis ist und seine Wahrscheinlichkeit daher die maximal mögliche Wahrscheinlichkeit sein muss.

Axiom 3 der Wahrscheinlichkeit

Wenn die Ereignisse E ₁ , E ₂ , …, E _n keine gemeinsamen Ergebnisse haben (ihr Schnittpunkt ist eine leere Menge), werden sie als sich gegenseitig ausschließend bezeichnet, da das Eintreten des einen das Eintreten des anderen ausschließt. Das dritte Axiom besagt, dass die Vereinigungswahrscheinlichkeit sich gegenseitig ausschließender Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes einzelnen Ereignisses ist . Mit anderen Worten:

Für den einfachsten Fall von nur zwei sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen (wie beim Münzwurf) wird Axiom 3 wie folgt formuliert:

Dieses Axiom formalisiert die Idee, dass ein Ereignis umso wahrscheinlicher ist, je mehr mögliche Ergebnisse es gibt. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Vereinigung zweier sich gegenseitig ausschließender Ereignisse per Definition die Summe aller Ergebnisse beider Ereignisse enthalten muss.

Anwendung der Axiome

Zusätzlich zu den oben genannten Beispielen können die drei Axiome verwendet werden, um nützliche Theoreme in der Wahrscheinlichkeitstheorie zu konstruieren und zu beweisen. Ein einfaches Beispiel ist die Bestimmung der Beziehung zwischen den Wahrscheinlichkeiten eines beliebigen Ereignisses und seiner Ergänzung.

Wenn E ein beliebiges Ereignis ist, dann ist sein Komplement (dargestellt durch E ^c ) als das Ereignis definiert, dass irgendetwas außer E eintritt , oder, was auf dasselbe hinausläuft, dass E nicht eintritt . Diese Definition hat zwei Konsequenzen:

• Dass E und E ^c sich gegenseitig ausschließen.
• Die Vereinigung zwischen E und E ^c ergibt den Abtastraum S ( E ∪ E ^c = S ).

Da sie sich gegenseitig ausschließen, haben wir das , basierend auf dem dritten Axiom

Aber da diese Vereinigung zu S führt , dann

Wenn man nun das zweite Axiom anwendet , wird daraus

die neu angeordnet ist als

Da wir schließlich aus dem ersten Axiom wissen , dass P(E ^c ) eine nicht negative Größe sein muss, schließen wir daraus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, immer gleich 1 minus der Wahrscheinlichkeit ist, dass das Ereignis nicht eintritt, und dass jede der beiden Wahrscheinlichkeiten einen Wert im Intervall [0, 1] haben muss.

Quellen

Devone, JL (1998). Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwissenschaften und Wissenschaften (4. Aufl.). Internationale Thomson-Verlage.