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Das „Maximum“ und „Minimum“ kann entweder zur Berechnung der Spannweite eines Datensatzes in der deskriptiven Statistik oder zur Berechnung der Extremwerte einer Funktion in der Differentialrechnung verwendet werden. Hier sprechen wir über beide Verwendungen.
Das Maximum und Minimum in der Statistik
In der Statistik sind das Stichprobenmaximum und -minimum, auch größte und kleinste Beobachtungen genannt, die Werte der größten und kleinsten Elemente in einem Datensatz (dh der Stichprobe).
Wenn es Ausreißer in der Stichprobe gibt, enthalten sie notwendigerweise das Stichprobenmaximum oder -minimum oder beides, je nachdem, ob sie extrem hoch oder niedrig sind. Wenn sie jedoch nicht ungewöhnlich weit von den anderen Beobachtungen entfernt sind, sind das Stichprobenmaximum und -minimum nicht unbedingt Ausreißer.
Daher sind die Minima und Maxima auch nützlich, um einen bestimmten Datensatz zu verstehen. Nehmen wir dieses Beispiel mit dem Gewicht von 12 Kindern.
38 50 13 110 26 42 81 22 36 49 77 98
Unter Verwendung des obigen Datensatzes von Kindergewichten können wir das Minimum und Maximum finden. Das Minimum ist einfach die niedrigste Beobachtung, während das Maximum die höchste Beobachtung ist. Der einfachste Weg, um zu wissen, was das Minimum und Maximum eines Datensatzes ist, besteht darin, sie vom kleinsten zum größten zu organisieren:
13 22 26 36 38 42 49 50 77 81 98 110
Für unsere Daten beträgt das Minimum also 13 und das Maximum 110.
Das Maximum und Minimum in der Berechnung
In der Analysis beziehen sich die Begriffe Maximum und Minimum auf die Extremwerte einer Funktion, also den größten und kleinsten Wert, den die Funktion erreicht.
Maximum bedeutet die Obergrenze oder der größtmögliche Betrag. Das absolute Maximum einer Funktion ist die größte Zahl, die im Intervall der Funktion enthalten ist. Mit anderen Worten, wenn f(a) größer oder gleich f(x) ist, dann ist f(a) für alle x im Definitionsbereich der Funktion das absolute Maximum.
Beispielsweise hat die Funktion f(x) = -16×2 + 32x + 6 einen maximalen Wert von 22 für x = 1 . Jeder Wert von x erzeugt einen Wert der Funktion, der kleiner oder gleich 22 ist, also ist 22 ein absolutes Maximum. In grafischer Hinsicht ist das absolute Maximum einer Funktion der Wert der Funktion, der dem höchsten Punkt auf dem Diagramm entspricht.
Im Gegensatz dazu bedeutet das Minimum die untere Grenze oder den kleinstmöglichen Betrag. Das absolute Minimum einer Funktion ist die kleinste Zahl in ihrem Wertebereich und entspricht dem Wert der Funktion am tiefsten Punkt ihres Diagramms.
Die Theorie zum Finden der Maximal- und Minimalwerte einer Funktion basiert auf der Tatsache, dass die Ableitung einer Funktion gleich der Steigung der Tangente ist. Wenn die Werte einer Funktion mit zunehmendem Wert der unabhängigen Variablen zunehmen, haben die Tangentenlinien zum Graphen der Funktion eine positive Steigung, und die Funktion wird als steigend bezeichnet.
Wenn umgekehrt die Werte der Funktion mit zunehmendem Wert der unabhängigen Variablen abnehmen, haben die Tangentenlinien eine negative Steigung und die Funktion wird als abnehmend bezeichnet. Genau an dem Punkt, an dem die Funktion von steigend zu fallend oder von fallend zu steigend übergeht, ist die Tangente horizontal (Steigung 0) und die Ableitung ist Null.
Quellen
- Becerril, E. (sf). Zunehmende und abnehmende Funktionen .
- Franco, A. (2016). Statistik: Maximal- und Minimalwerte.
- Requena, B. (2014). Maxima und Minima einer Funktion .
- Santiago , R., Gomez, J. & Parra, B. (2003). Theorie der Maxima und Minima .
