Die Steigungsschnittform der linearen Gleichung

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Die Steigungsschnittform einer Gleichung ersten Grades ist eine Möglichkeit, diese Gleichung in Form der Gleichung einer geraden Linie auszudrücken . Mit anderen Worten, es wird mit der gleichen mathematischen Form wie eine Funktion ausgedrückt, die, wenn sie in einem kartesischen Koordinatensystem grafisch dargestellt wird, eine gerade Linie ergibt. Eine so ausgedrückte lineare Gleichung hat die folgende mathematische Form:

Geradengleichung in Steigungsabschnittsform

Wie zu sehen ist, ist diese Art der Darstellung linearer Gleichungen dadurch gekennzeichnet, dass die Variable, die wir üblicherweise als abhängige Variable betrachten (in den meisten Fällen und , obwohl dies variieren kann), in einem der Elemente der Gleichung isoliert ist (normalerweise das linke). mit Koeffizient 1; während das andere Mitglied aus einem Term besteht, der die unabhängige Variable (normalerweise x ) und einen unabhängigen Term enthält.

Interpretation der linearen Gleichung in Steigungsabschnittsform

Auf diese Weise ausgedrückt stellt der Koeffizient der unabhängigen Variablen, in diesem Fall m , die Steigung der Geraden dar, wenn diese Gleichung in einem kartesischen Koordinatensystem graphisch dargestellt wird.

Andererseits gibt der unabhängige Term, in diesem Fall b , den Punkt an, an dem die Linie die Ordinatenachse oder y-Achse schneidet oder schneidet, wie in der folgenden Grafik gezeigt. Genau aus diesem Grund wird es als Steigungsabschnittsform bezeichnet.

Hanginterpretation

Die Steigung ( m ) gibt an, wie stark sich der Wert von y eines Punktes auf der Geraden ändert , wenn man den Wert von x um eine Einheit erhöht , also die Steigung der Geraden darstellt. Dieser Wert kann jede rationale Zahl sein, sowohl positiv als auch negativ. Es gibt drei mögliche Wertebereiche, die unterschiedlich interpretiert werden:

Eine positive Steigung (m>0) zeigt an, dass die Linie ansteigt, wenn wir uns im Diagramm von links nach rechts bewegen.
Wenn der Term der unabhängigen Variablen nicht erscheint (d. h. wenn es kein x in der Gleichung gibt), bedeutet dies, dass die Steigung null ist (m=0). In diesem Fall ist die Linie horizontal oder parallel zur Abszissenachse (x-Achse).
Wenn die Steigung negativ ist (m < o), geht die Linie nach unten, wenn wir uns in der Grafik von links nach rechts bewegen.

Interpretation der Kreuzung

Der unabhängige Term b repräsentiert den Schnittpunkt der Geraden mit der Ordinatenachse, also mit der y-Achse im kartesischen Koordinatensystem. In den Fällen, in denen es keinen unabhängigen Term gibt, wird davon ausgegangen, dass sein Wert Null ist (b = 0), sodass die Linie durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft.

Sonderfälle der Geradengleichung in Steigungsschnittform

Fall 1: y = b

Wenn die Gleichung die vorherige Form hat, d. h. wenn der Term der unabhängigen Variablen nicht erscheint, versteht es sich, dass die Steigung Null ist und dass die Gleichung daher eine horizontale Linie darstellt, die durch den Punkt (0; b ).

Fall 2: y = mx

positive Steigung Steigungsabschnittsform

Wenn es keinen unabhängigen Term gibt, bedeutet dies, dass sein Wert Null ist und er daher die y-Achse bei 0 schneidet. Dies bedeutet, dass die Linie durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft.

Fall 3: 0 = mx + b

Steigungsabschnittsform mit undefinierter Steigung

In diesem Fall besteht es aus einer vertikalen Linie (parallel zur y-Achse), die die Abszissenachse (oder x-Achse) im Punkt x = – b/m schneidet, wie in der vorherigen Grafik gezeigt.

Dies ist eine ungewöhnliche Form der Geradengleichung, bei der der Koeffizient m und der unabhängige Term b ihre normale Bedeutung verlieren. Eine vertikale Linie hat eine undefinierte Steigung, das heißt, ihre Steigung existiert nicht. Dies ist nicht dasselbe wie zu sagen, dass seine Steigung Null ist.

Da es sich andererseits um eine vertikale Linie parallel zur y-Achse handelt, schneidet sie diese Achse niemals. Daher zeigt der unabhängige Term b nicht mehr den Schnittpunkt an, wie es in den vorherigen Fällen der Fall war.

Vorteile der Steigungsschnittform

Gegenüber den anderen Darstellungsformen linearer Gleichungen hat die Steigungsschnittform folgende Vorteile:

Gibt sofort die Werte der Steigung und des y-Achsenabschnitts der Linie zurück.
Das Obige ermöglicht es, auf sehr einfache und schnelle Weise den Graphen einer linearen Gleichung in einem kartesischen Koordinatensystem zu visualisieren.
Indem Sie den Wert der Neigung angeben, können Sie mithilfe der Tangente schnell den Winkel berechnen, den die Linie mit der x-Achse bildet.
Sie können schnell feststellen, ob zwei Linien parallel zueinander sind oder nicht, indem Sie einfach ihre Steigungen vergleichen.
Damit können Sie schnell feststellen, ob zwei Linien senkrecht zueinander stehen oder nicht.
Wenn wir uns nur die Form der Gleichung ansehen, wissen wir sofort, ob es sich um eine steigende, fallende, horizontale oder vertikale Linie handelt.
Lässt Sie die y-Koordinate eines beliebigen Punktes auf der Linie anhand seines x-Wertes in einem Schritt berechnen.
Es erleichtert die Substitutionsmethode zum Lösen von Systemen linearer Gleichungen mit zwei Variablen, da die Gleichung bereits für eine von ihnen (y) gelöst ist.

Schritte zum Umwandeln der Standardform in die Steigungsschnittform

Neben der Steigungsschnittform kann die Geradengleichung auch auf andere Weise dargestellt werden, von denen die wichtigste die Standardform ist:

In diesem Fall sind die Koeffizienten A, B und C ganze Zahlen. Wenn Sie eine auf diese Weise ausgedrückte Gleichung haben und sie in Steigungsabschnittsform schreiben möchten, müssen Sie nur die folgenden Schritte ausführen:

Schritt 1: Ax wird von beiden Seiten der Gleichung subtrahiert.

Schritt 2: Alle Koeffizienten und der unabhängige Term werden durch den Koeffizienten B (einschließlich seines Vorzeichens) dividiert.

Schritt 3: Wenn möglich, vereinfache alle Brüche, die bei der Division entstanden sind.

Beispiele für die Transformation von der Standardform in die Steigungsschnittform

Beispiel 1: 3x + 2y = 4

Schritt 1:

Schritt 2:

Schritt 3:

Wie Sie sehen können, entspricht diese Gleichung einer absteigenden Linie, die die y-Achse bei 2 schneidet.

Beispiel 2: x – 4y = 6