Was sind die reellen Zahlen?

Zahlen haben unterschiedliche Eigenschaften und können in verschiedene Gruppen eingeteilt werden. Eine dieser Gruppen, die in verschiedenen Zweigen der Mathematik breite Anwendung finden, sind die reellen Zahlen. Um sie besser zu verstehen, sehen wir uns zunächst an, was die verschiedenen Arten von Zahlen sind.

Die Zahlen

Das erste, was wir über Zahlen lernen , ist, wie man sie zum Zählen verwendet; Wir beginnen damit, sie mit unseren Fingern abzugleichen, um einfache Operationen auszuführen. Somit sind unsere zehn Finger die Basis des Dezimalsystems. Von dort aus zählen wir so große Mengen wie möglich und stellen fest, dass die Zahlen unendlich sind. Wenn wir also Null (0) hinzufügen, wenn wir nichts zu zählen haben, werden die natürlichen Zahlen gebildet.

Mit den natürlichen Zahlen führen wir Rechenoperationen durch und wenn wir von einer Zahl eine andere Zahl subtrahieren, müssen wir die negativen Zahlen einführen. Wenn wir also die negativen Zahlen zu den natürlichen addieren, erhalten wir die Menge der ganzen Zahlen.

Zu den arithmetischen Operationen, die wir mit Zahlen durchführen, gehört die Division. Und wir stellen fest, dass es Fälle gibt, in denen beim Teilen einer Zahl durch eine andere das Ergebnis keine ganze Zahl ist; In vielen Fällen kann dieses Divisionsergebnis nur durch den Divisionsausdruck selbst, also einen Bruch, genau dargestellt werden. So ist die Menge der rationalen Zahlen aufgebaut, bei der alle Zahlen als Bruch geschrieben werden und die ganzen Zahlen die Zahl 1 als Nenner haben.

Es waren die alten Zivilisationen, die beobachteten, dass es Zahlen gab, die nicht als Brüche dargestellt werden konnten. Bei der Arbeit mit geometrischen Figuren fanden sie die Zahl Pi, das Verhältnis zwischen Radius und Länge eines Kreises, eine Zahl, die nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann. Dies gilt auch für die Quadratwurzel der Zahl 2 (d. h. die Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl 2 ergeben würde). Und es gibt viele Zahlen, die in verschiedenen Wissenszweigen auftauchen, die nicht Teil der Menge der rationalen Zahlen sind. Diese Zahlen, die sich nicht exakt als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen lassen, nennt man irrationale Zahlen. Die Menge der rationalen und irrationalen Zahlen bildet dann die Menge der reellen Zahlen.

Die reellen Zahlen sind Teil einer noch größeren Menge von Zahlen: den komplexen Zahlen. Diese Erweiterung der Menge der reellen Zahlen entsteht, wenn wir die Quadratwurzel einer negativen Zahl berechnen wollen; Da das Produkt zweier negativer Zahlen immer positiv ist, gibt es keine reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert negativ ist. Dann wird die imaginäre Zahl i definiert , die die Quadratwurzel von -1 darstellt, und die Menge der komplexen Zahlen entsteht.

Dezimaldarstellung

Alle Zahlen können in Dezimalform ausgedrückt werden; Beispielsweise kann die rationale Zahl 1/2 in Dezimalform als 0,5 ausgedrückt werden. Anders als die rationale Zahl 1/2, die durch eine einzelne Dezimalstelle genau dargestellt werden kann, haben andere rationale Zahlen unendlich viele Dezimalstellen und haben dies nichtSie können mit der Dezimaldarstellung exakt ausgedrückt werden. Dies ist der Fall bei der Zahl 1/3; Seine Dezimaldarstellung ist 0,33333…, mit unendlich vielen Dezimalstellen. Diese rationalen Zahlen nennt man periodische Dezimalzahlen, da es sich in allen Fällen um eine sich unendlich oft wiederholende Zahlenfolge handelt. Im Fall der Zahl 1/3 ist diese Folge 3; im Fall der Zahl 1/7 ist ihre Dezimalform 0,1428571428571…, und die Folge, die sich unendlich wiederholt, ist 142857. Irrationale Zahlen sind keine periodischen Dezimalzahlen; es gibt keine Folge, die sich in ihrer dezimalen Darstellung unendlich oft wiederholt.

Visuelle Darstellung

Die reellen Zahlen können visualisiert werden, indem man jede von ihnen einem der unendlich vielen Punkte entlang einer geraden Linie zuordnet, wie in der Abbildung gezeigt. In dieser grafischen Darstellung befindet sich die Zahl Pi, deren Wert ungefähr 3,1416 beträgt, die Zahl e , die ungefähr 2,7183 beträgt, und die Quadratwurzel der Zahl 2, ungefähr 1,4142. Von der Zahl 0 nach rechts befinden sich die positiven reellen Zahlen in steigender Form, und nach links die negativen, die ihren Betrag in dieser Richtung erhöhen.

Einige Eigenschaften reeller Zahlen

Reelle Zahlen verhalten sich wie ganze oder rationale Zahlen, mit denen wir besser vertraut sind. Wir können sie auf die gleiche Weise addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren; einzige Ausnahme ist die Division durch die Zahl 0, eine Operation, die nicht möglich ist. Die Reihenfolge der Additionen und Multiplikationen ist nicht wichtig, da das Kommutativgesetz weiterhin gilt und das Distributivgesetz in gleicher Weise gilt. Ebenso sind zwei reelle Zahlen x und y eindeutig geordnet, und nur eine der folgenden Beziehungen ist richtig:

x = y , x < y oder x > y

Die reellen Zahlen sind unendlich, genau wie die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen. Im Prinzip ist dies offensichtlich, da sowohl die ganzen Zahlen als auch die rationalen Teilmengen der reellen Zahlen sind. Aber es gibt einen Unterschied: Bei ganzen Zahlen und rationalen Zahlen sagt man, sie seien abzählbar unendliche Zahlen; stattdessen sind die reellen Zahlen unendlich unzählbar.

Eine Menge heißt abzählbar oder abzählbar, wenn jeder ihrer Bestandteile eine natürliche Zahl zugeordnet werden kann. Bei ganzen Zahlen ist die Assoziation offensichtlich; bei rationalen Zahlen kann es als die Assoziation mit einem Paar natürlicher Zahlen, dem Zähler und dem Nenner, angesehen werden. Diese Zuordnung ist aber bei reellen Zahlen nicht möglich.

Quellen

• Arias Cabezas, Jose Maria, Maza Saez, Ildefonso. Arithmetik und Algebra . In Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, Hrsg. Mathematik 1. Bruño Editorial Group, Limited Company, Madrid, 2008.
• Carlos Ivorra. Logik und Mengenlehre . 2011.