Formler til at finde inertimomentet

Rotationsinertimomentet eller simpelthen rotationsinertien er en skalær fysisk størrelse, der er typisk for ethvert objekt, der har masse, og som måler, hvor svært det er at få det til at rotere omkring en bestemt rotationsakse. Det er rotationsækvivalenten til lineær inerti, og som sådan er det en størrelse, der udtrykker vanskeligheden ved at ændre et objekts hastighed, uanset om det er i hvile eller i bevægelse, med den forskel, at det i dette tilfælde handler om vinkel hastighed.

Denne størrelse er af stor betydning i beskrivelsen af ​​rotationsbevægelsen, da den giver os mulighed for at forstå forskellen i opførsel af legemer, der på trods af at de har den samme ydre form og masse, opfører sig anderledes, når de udsættes for drejningsmomentkræfter. spin. Denne forskel opstår som følge af forskellen i fordelingen af ​​kroppens masse omkring rotationsaksen. Ovenstående indebærer, at det samme legeme kan have forskellige rotationsinertimomenter afhængigt af dets position i forhold til rotationsaksen, hvilket giver anledning til forskellige formler til at beregne inertimomentet.

Når ovenstående er sagt, er det klart, at der er så mange formler til at finde inertimomentet som mulige former for eksisterende objekter og rotationsakser. Der er dog nogle særlige tilfælde af regulære geometriske former, der roterer omkring akser, som opstår naturligt i praksis. I de følgende afsnit vil vi se de vigtigste formler til at bestemme disse legems rotationsinertimoment.

Formel for inertimomentet for en punktpartikel

Inertimomentet for en punktpartikel svarer til den oprindelige definition af denne fysiske størrelse. Dette udtryk kommer fra udtrykket for rotationskinetisk energi, når det er skrevet i form af vinkelhastighed, w.

Antag, at vi har en partikel med masse m , der kredser om en central akse som følgende:

Den kinetiske energi af denne partikel, ligesom enhver anden bevægelig partikel, bestemmes af halvdelen af ​​produktet mellem dens masse og dens hastighed (størrelsen af ​​dens hastighed) hævet til kvadratet, det vil sige 1/2 mv ² . Men hvis den eneste bevægelse, som denne partikel beskriver, er rotation omkring aksen (der er ingen translation), kan vi udtrykke den lineære hastighed af partiklen som en funktion af dens vinkelhastighed, ved at skrive v = rω. Ved at gøre dette udtrykkes den kinetiske energi, som i dette tilfælde udelukkende er rotationskinetisk energi, som:

Hvor inertimomentet, I , af partiklen er defineret som:

I dette udtryk er m massen af ​​punktpartiklen, og r er rotationsradius eller, hvad der er det samme, afstanden fra rotationsaksen til partiklen.

Formel for inertimomentet for en samling punktpartikler

Antag nu, at vi ikke har en enkelt partikel, der drejer rundt om en akse, men at vi har et system, der består af n partikler, hver med en bestemt masse, m i, _og hver roterer med en afstand r _i fra rotationsaksen , såsom tre-partikelsystemet vist nedenfor.

Hvis vi ville beregne den samlede kinetiske energi af dette system, skulle vi kun tilføje kinetiske energier for hver af de tre partikler. Hvis vi udvider denne idé til det generelle tilfælde af n partikler og antager, at de alle bevæger sig med samme vinkelhastighed (fordi de roterer sammen), så vil systemets samlede rotationskinetiske energi være givet ved:

Hvorfra det følger, at det samlede inertimoment for et system af n partikler, der kredser sammen om den samme akse, hver med sin egen masse og sin egen svingningsradius, er givet ved:

Denne formel fungerer både for punktpartikler og for sfæriske partikler af enhver størrelse, så længe rotationsaksen er uden for kuglen. Hvis denne betingelse er opfyldt, svarer radius til afstanden mellem aksen og kuglens centrum, og massen svarer til kuglens samlede masse.

Integral formel for inertimoment af stive legemer

Ovenstående formel for inertimoment gælder for systemer dannet af punkt- og diskrete partikler. Den kan dog udvides til at omfatte stive legemer, der har en kontinuerlig massefordeling, ligesom det tilnærmelsesvis sker med makroskopiske legemer.

I disse tilfælde består beregningen af ​​inertimomentet i at dele kroppen i små masseelementer (Δm _i ), hver af dem placeret i en afstand r _i fra rotationsaksen, og derefter anvende den foregående ligning. Men hvis vi skubber størrelsen af ​​masseelementet til grænsen, hvor det bliver et infinitesimalt element eller en massedifferential (dm), så bliver summeringen integralet, som vist nedenfor:

Dette er det generelle udtryk for at finde inertimomentet for ethvert stivt legeme, uanset dets form eller massefordeling. I de fleste tilfælde, for at udføre integrationen, erstattes masseelementet, dm , med produktet af densiteten af ​​legemet ganget med volumenforskellen, dV . Dette gør det muligt at udføre integrationen over hele det stive legemes volumen, selv om massefordelingen ikke er ensartet (så længe man ved, hvordan den varierer afhængigt af positionen).

I dette tilfælde bliver det integrerede udtryk for inertimomentet:

Dernæst vil vi præsentere resultatet af at integrere det tidligere udtryk for forskellige stive kroppe med regelmæssige former såsom ringe, cylindre og kugler, blandt andre. I alle de tilfælde, der er beskrevet nedenfor, er dimensionerne og masserne af de betragtede kroppe repræsenteret med store bogstaver for at skelne dem fra integrationsvariablerne.

Formel for inertimomentet for en tynd ensartet ring med radius R om sin midterakse

Et af de enkleste tilfælde, når man integrerer den foregående ligning, er en ensartet ring, der roterer omkring sit symmetricentrum. Følgende figur viser denne sag.

I det særlige tilfælde, hvor ringens tykkelse er ubetydelig sammenlignet med dens radius, kan vi betragte den som en masse fordelt langs en omkreds uden tykkelse, således at alle masseelementerne i det væsentlige er i samme radius, i I dette tilfælde, R. Givet disse betingelser forlader radius integralet og efterlader kun integralet af differentialmassen, dm, som simpelthen er ringens masse, M. Resultatet er:

I dette udtryk angiver CM, at det er inertimomentet omkring dets massecentrum.

Formel for inertimomentet for en fast kugle med radius R, der drejer om sit centrum

I tilfælde af en solid kugle med radius R og ensartet tæthed, som roterer omkring en hvilken som helst af dens diametre (en akse, der passerer gennem dens centrum) som den, der er vist nedenfor, kan det foregående integral løses på forskellige måder, bl.a. ved hjælp af et sfærisk koordinatsystem.

Resultatet af integrationen i dette tilfælde er:

Formel for inertimomentet for en sfærisk skal med indre radius R ₁ og ydre radius R ₂ omkring dens centrum

Hvis det i stedet for en fast kugle er en hul kugle eller kugleformet skal med tykke vægge, skal vi overveje to radier, den ydre og den indre. Disse er vist i den følgende figur.

I dette tilfælde er løsningen at betragte den sfæriske skal som en kugle med radius R2, hvorfra en kugle af samme materiale er blevet fjernet fra dens centrum, hvis radius er R1. Efter at have bestemt massen, som den store kugle ville have haft, og massen af ​​den lille kugle, der blev trukket tilbage gennem tætheden af ​​den oprindelige skal, trækkes inertien af ​​begge kugler fra for at opnå:

Formel for inertimomentet for en tynd sfærisk skal med radius R omkring dens centrum

I tilfælde af at tykkelsen af ​​den sfæriske skal er ubetydelig sammenlignet med dens radius eller, hvad der er det samme, at R ₁ er praktisk talt lig med R ₂ , kan vi beregne inertimomentet, som om det var en overfladefordeling af masse, alt sammen placeret i en afstand R fra centrum.

I dette tilfælde har vi to muligheder. Den første er at løse integralet fra bunden. Det andet er at tage det foregående resultat, det for den tykke sfæriske skal, og opnå grænsen, når R1 har tendens til R2. Resultatet er som følger:

Formel for inertimomentet for en tynd stang med længde L om en vinkelret akse gennem dens massecentrum

Når vi har en tynd stang, kan vi i det væsentlige tænke på den som en lineær fordeling af massen, uanset formen på dens profil (dvs. uanset om den er en cylindrisk, firkantet eller en hvilken som helst anden formet stang). I disse tilfælde er det eneste, der betyder noget, at dejen fordeles jævnt på langs af stangen.

I dette tilfælde udtrykkes inertimomentet som:

Formel for inertimomentet for en tynd stang med længden L omkring en vinkelret akse gennem den ene ende

Dette er det samme tilfælde som ovenfor, men med hele stangen roterende omkring en akse vinkelret fra den ene ende:

Da stangens masse i gennemsnit er i større afstand fra rotationsaksen, vil inertimomentet være større. Faktisk er det fire gange større end det foregående tilfælde, som vist ved følgende udtryk:

Bemærk, at i dette tilfælde passerer aksen ikke gennem massecentret, så CM-underskriften for inertimomentsymbolet er udeladt.

Formel for inertimomentet for en massiv cylindrisk stang med radius R omkring dens midterakse

Denne sag løses på en meget enkel måde ved hjælp af et cylindrisk koordinatsystem og betragter cylinderen, som om den var dannet af koncentriske cylindriske skaller af samme længde, men med forskellige radier. Derefter integreres radius fra r = 0 til r = R.

Resultatet af denne proces er formlen for inerti af en cylindrisk stang, som er:

Det skal bemærkes, at da dette resultat ikke afhænger af cylinderens længde, kan det samme udtryk bruges for en cirkulær skive.

Formel for inertimomentet for en hul cylinder med indre radius R ₁ og ydre radius R ₂ omkring dens midterakse

Denne sag ligner den for den tykke sfæriske skal. Det påføres, når tykkelsen af ​​skallen eller forskellen mellem dens ydre og indre radier er i samme størrelsesorden som selve radierne, og derfor kan vi ikke overveje, at massen er koncentreret på en overflade. Tværtimod må vi overveje, at det er en tredimensionel fordeling af massen langs tykkelsen af ​​skallen.

Som i tilfældet med den tykke sfæriske skal kan inertimomentet for en hul cylinder med en indre radius på R ₁ og en ydre radius på R ₂ findes ved hjælp af direkte integration, eller ved at trække inertimomentet fra cylinder, der blev trukket tilbage ved åbning af det centrale hul, af inertimomentet for en massiv cylinder, der har samme tæthed som skallen, ved at bruge formlen i det foregående afsnit for hver af disse to inerti.

Resultatet af en af ​​disse to strategier er det samme og præsenteres nedenfor:

Som i det foregående tilfælde, da dette resultat ikke afhænger af længden af ​​cylinderen, kan vi bruge det til at beregne inertimomentet for en cirkulær skive med et hul i midten, såsom for eksempel en skive eller en Blu-ray disk.

Formel for inertimomentet for en tynd cylindrisk skal med radius R omkring dens centrale akse

I tilfælde af at vi har en hul cylinder som den vist i den følgende figur, hvor tykkelsen af ​​den cylindriske skal er meget lille i forhold til cylinderens radius, kan vi antage, at massen kun er fordelt på overfladen af ​​radius R .

Som i de andre tilfælde kan vi udføre den direkte integration ved hjælp af arealmassetætheden, eller vi kan evaluere resultatet af den tykke cylindriske skal i grænsen, hvor R1 har tendens til R2. Resultatet er:

Igen bemærker vi, at dette resultat er uafhængigt af længden. Det betyder, at det gælder lige så meget for en tynd bøjle. Faktisk kan vi verificere, at det er det samme resultat opnået i afsnittet, der svarer til en tynd ring.

Formel for inertimomentet for en regulær rektangulær plade omkring en vinkelret akse gennem dens centrum

Overvej endelig tilfældet med en rektangulær plade, der roterer om en akse vinkelret på en hvilken som helst af dens overflader og passerer gennem dens massecenter, som den vist nedenfor.

Resultatet af direkte integration er:

Som i de foregående tilfælde er dette resultat uafhængigt af pladens højde eller tykkelse, så det gælder lige så meget for et ark papir som for en solid cementblok.

Referencer

Khan Academy. (nd). Rotationsinerti (artikel) . https://en.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/rotational-inertia

OneClass. (2020, 6. oktober). OneClass: Starter med formlen for inertimomentet for en stang . https://oneclass.com/homework-help/physics/6942744-moment-of-inertia-bar.en.html

Serway, RA, Beichner, RJ, & Jewett, JW (1999). Fysik for videnskabsmænd og ingeniører med moderne fysik: 2: bind I (femte udgave). McGraw Hill.

Snapsolve. (nd). Inertimomentet for en hul tyk sfærisk skal . https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073