Hvad er sandsynligheden for tilfældigt at vælge et primtal?

I matematik er primtal et af de almindelige emner, når man studerer heltal. Da primtal er uendelige, er en interessant øvelse at øve med dem at finde ud af, hvad der er sandsynligheden for, at et tal fra 1 til X valgt tilfældigt er et primtal.

Hvad er primtal

Primtal er dem, der kun er delelige med 1 og med sig selv, det vil sige med det pågældende tal. Det betyder, at når det divideres med et hvilket som helst andet tal, giver resultatet ikke et heltal. Det vurderes også, at der er et uendeligt antal primtal.

I modsætning til primtal er sammensatte tal dem, der kan divideres med 1, med sig selv og med andre tal.

Tallet 1 betragtes ikke som et primtal, og det er heller ikke et sammensat tal.

Primtal og Eratosthenes-sigten

For hurtigt at finde alle primtallene skabte den græske matematiker Eratosthenes (3. århundrede f.Kr.) en hurtig måde at få alle primtallene op på et bestemt tal. Denne metode er kendt som “Eratosthenes si”.

Eratosthenes Sieve er en algoritme, der gør det muligt at kende alle primtal mindre end et givet naturligt tal. For at gøre dette oprettes en tabel med alle de naturlige tal mellem 2 og det valgte tal (n). I dette eksempel er n 100.

Derefter overstreges de tal, der ikke er primtal. Start først med 2 og streg alle dens multipla ud. Når der findes et ukrydset tal, er alle dets multipla overstreget, og så videre. Denne procedure slutter, når kvadratet af det næste tal, der bekræftes som primtal, opnås, der er større end “n”.

Ved at bruge Eratosthenes-sigten får vi 25 primtal mellem 0 og 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 , 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Andre eksempler på primtal

Andre eksempler på primtal mellem 100 og 1000 er: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 173, 173, 173, 171, 9 , 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 307, 311, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 349 , 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449. 499 , 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613. 659 , 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773. 829 , 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 9, 9, 9, 9, 9 og 9.

primtalsproblem

Som det næsten altid er tilfældet i matematik, er den bedste måde at forstå, hvordan primtal beregnes på, ved at løse problemer. Lad os nu se et simpelt problem for at vide, med hvilken sandsynlighed vi kan vælge et primtal.

Først vil vi vælge et positivt heltal, som kan være 1, 2, 3 osv., op til et bestemt tal X. Derefter skal vi tilfældigt vælge et af disse tal. Det betyder, at alle X-tal har sandsynlighed for at blive valgt.

Løsningen på dette problem er enkel for tal X, der er lave. Problemet løses ved at følge disse trin:

• Første skridt:
  • Tæl antallet af primtal, der er mindre end eller lig med X.
• Andet trin:
  • Divider antallet af primtal mindre end eller lig med X med selve tallet X. Det vil sige, at hvis vi vil kende sandsynligheden for at vælge et bestemt primtal fra 1 til 10, skal vi dividere antallet af primtal med 10.

For at finde sandsynligheden for, at et primtal fra 1 til 10 er valgt, skal vi for eksempel dividere antallet af primtal med 10. Da der er 4 primtal fra 1 til 10: 2, 3, 5, 7, er sandsynligheden for at vælge en primtal er: 4/10 = 0,4, det vil sige 40%.

På samme måde, hvis vi vil vide, hvad sandsynligheden er for, at et primtal fra 1 til 50 er valgt, kan de foregående trin udføres. Vi tæller primtallene mindre end 50, som er 15: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 og 47. Og vi dividerer dette beløb med 50: 15 /50 = 0,3, det vil sige 30%. Derfor er der 30 % chance for at vælge et primtal fra 1 til 50.

Hvad er primtalssætningen

En anden måde at kende primtallene op til et vist tal på og beregne sandsynligheden for at vælge et af dem er at bruge primtalssætningen . Denne teorem blev udtalt af den tyske matematiker Gauss i løbet af det 18. århundrede og demonstreret næsten et århundrede senere af andre matematikere, såsom franskmanden Jacques Hadamard og belgieren Charles-Jean de la Vallée Poussin.

Primtalssætningen siger, at der er cirka X / ln(X) af primtal, der er mindre end eller lig med X. I denne sætning:

• ln(X): er den naturlige logaritme af X.
• X: er det tal op til, som vi ønsker at kende primtallene til.

Når værdien af ​​X stiger, falder den relative fejl mellem antallet af primtal mindre end X og sætningen X / In(X).

Sådan anvender du primtalssætningen

Med primtalssætningen kan vi løse problemer svarende til den foregående, især hvis vi vil kende primtallene blandt større mængder af tal.

Ved primtalssætningen ved vi, at der tilnærmelsesvis er X/ln(X) primtal, der er mindre end eller lig med X. Desuden er der i alt X positive heltal mindre end eller lig med X. Derfor er sandsynligheden at et tilfældigt udvalgt tal i dette interval er primtal er: ( X / ln(X) ) / X = X / ( ln(X) . X ) = 1 / ln(X).

For eksempel kan vi bruge dette resultat til at beregne, tilnærmelsesvis, sandsynligheden for tilfældigt at vælge et primtal blandt de første million heltal.

For at gøre dette skal vi beregne den naturlige logaritme af en million. Derfor har vi:

P(1.000.000) = (X/ln(X) / X = 1 / ln(X)

P(1.000.000) = 1 / ln(1.000.000)

Så vi får ln(1.000.000) = 13,8155 og 1 / ln(1.000.000) er cirka 0,07238. Derfor har vi cirka 7,238 % chance for tilfældigt at vælge et primtal fra de første million heltal.

Bibliografi

• López Mateos, M. Grundlæggende matematik. (2017). Spanien. CreateSpace.
• dk. Matematikbogen. (2020). Spanien. dk.
• Gracian, E. Primtal: en lang vej til det uendelige. (2010). Spanien. RBA bøger.