De mest almindelige utallige sæt

Et sæt tal kan ikke tælles, når det ikke er muligt at tildele et unikt naturligt tal til alle dets elementer . Med andre ord er utallige mængder dem, der ikke har en en-til-en overensstemmelse med de naturlige tal.

Vi bruger normalt naturlige tal intuitivt til at tælle, og det gør vi ved at tildele et naturligt tal til hvert element i gruppen, som vi ønsker at tælle, sekventielt. For eksempel, når vi tæller antallet af fingre, vi har på en hånd, tildeler vi hver af fingrene et unikt naturligt tal, der starter med 1 og slutter med 5. Vi ved så, at der er 5 fingre på hænderne, fordi det er den højeste værdi vi tildeler til fingre. Vi tæller med andre ord fingrene.

Denne idé kan ikke anvendes på nogle sæt tal. I nogle tilfælde er mængderne så store, at selv at bruge uendelige naturlige tal ikke ville være nok til at nummerere alle elementer i sættet. Da mængden af ​​naturlige tal er uendelig, antyder ideen om, at der er utallige mængder, ideen om, at der er nogle uendeligheder, der er større end andre, og kun de mængder, der har en uendelighed af samme “størrelse” som mængden af ​​naturlige tal kan tælles de naturlige tal. Antallet af elementer i en mængde kaldes kardinal, så utallige mængder er dem, hvis kardinal er større end de naturlige tals.

Nogle egenskaber ved tællelige og utallige sæt

For at forstå, hvorfor nogle sæt kan tælles, og nogle ikke er, hjælper det at kende nogle egenskaber ved sæt:

• Hvis A er en delmængde af B og A er utællelig, så er B også utælelig. Med andre ord skal ethvert sæt, der indeholder et utalligt sæt, i sig selv være utælleligt.
• Hvis A er utællelig og B er en hvilken som helst mængde (tællelig eller ej), så er foreningen AUB også utælelig.
• Hvis A er utællelig og B er ethvert sæt, så er det kartesiske produkt A x B også utælleligt.
• Hvis A er uendelig (selv tælleligt uendelig), så er potensmængden af ​​A utallig.

Eksempler på de mest almindelige utallige sæt

Sættet af reelle tal (R)

Sættet af reelle tal er det første eksempel på et utalligt sæt. Men hvordan ved vi, at de er utallige, hvis de har uendelige elementer, og vi også har uendelige naturlige tal at tildele? Det gør vi takket være Cantors diagonale argument.

Kantors diagonal

Cantors diagonale argument giver os mulighed for at vise, at delmængden af ​​reelle tal, der ligger mellem to veldefinerede grænser, for eksempel mellem 0 og 1, er en utallig mængde. Som en konsekvens af de allerede nævnte egenskaber for utallige mængder, skal det komplette sæt af alle reelle tal også være utælleligt.

Antag, at vi opretter en uendelig liste af reelle tal mellem 0 og 1. Det er fuldstændig irrelevant, hvordan denne liste er opbygget. Det eneste, der betyder noget, er, at alle tal er unikke. Nu vil vi tildele hvert af disse tal et unikt naturligt tal, der starter ved 1 og arbejder sekventielt. Et eksempel på denne liste er præsenteret i følgende tabel:

På dette tidspunkt tildeler vi et unikt naturligt tal til alle numrene på vores liste. Da denne liste er uendelig, og hvert reelt tal svarer til et naturligt tal, så “bruger” vi alle de naturlige tal i denne tabel. Hvad Canto gjorde var at vise, at der er mindst et ekstra reelt tal, som ikke er på denne liste og derfor ikke kan tælles. Dette tal er bygget ved at tage alle elementerne i diagonalen, der krydser tabellen, og derefter tilføje 1. Det vil sige, at det nye tal starter med det første ciffer i det første tal øget med en enhed, derefter vil det have det andet ciffer af det andet tal øget med en enhed, derefter det tredje ciffer i det tredje tal og så videre.

I den følgende tabel er elementerne på diagonalen fremhævet med fed skrift, og det tal, der er resultatet af operationen, tilføjes til den sidste række:

Det resulterende tal er 0,33198226…

Som vi kan se, da det første ciffer i det nye nummer (som er 3) er forskelligt fra det første ciffer i det første nummer på listen (som er 2), så vil det være et andet tal end det første, selvom alle de andre tal er nøjagtigt de samme. Da det andet ciffer (3) er forskelligt fra det andet ciffer i det andet tal (2), vil det også være forskelligt fra det andet ciffer.

Det samme argument kan fortsættes i det uendelige ved at gå videre langs diagonalen og sikre, at det resulterende tal vil være forskelligt med mindst et ciffer fra alle de uendelige tal i tabellen.

Men da vi allerede “bruger” eller har tildelt alle de naturlige tal, før vi oprettede dette nye tal, så har vi ikke nogen unikke naturlige tal tilbage at tildele det, så vi konkluderer, at sættet af reelle tal mellem 0 og 1, og derfor er forlængelse af alle reelle tal et utalligt sæt.

Sættet af transcendentale tal

De transcendentale tal er dem, der hører til mængden af ​​reelle tal, men er ikke algebraiske tal. Dette betyder, at de ikke er rødder af en polynomialligning af formen:

hvor alle koefficienterne er heltal. Lad os kalde A for mængden af ​​alle algebraiske reelle tal og T resten af ​​de reelle tal, det vil sige de transcendentale. Det er let at se, at det samlede sæt af reelle tal, R , er foreningen af ​​mængderne A og T , dvs.

Det kan vises, at mængden af ​​algebraiske tal kan tælles. Vi har også allerede bevist, at de reelle tal er utallige. Da R er utallig, kan den ikke dannes ved foreningen af ​​to tællelige sæt. Når vi ved, at A kan tælles, konkluderer vi, at T er utælleligt.

Sættet af binære talsekvenser

En sekvens af binære tal er simpelthen en streng med 0’er og 1’er af enhver længde. Hvis vi forener alle mulige sekvenser af binære tal, får vi mængden af ​​sekvenser af binære tal. Dette er intet andet end en delmængde af de reelle tal, hvor de eneste cifre er 0 og 1.

Det er meget nemt at vise, at dette sæt tal er utælleligt ved hjælp af det samme Cantor-argument, som vi viser, at R er utælleligt. Den eneste advarsel er, at i stedet for at tilføje 1 til tallene på diagonalen, vender vi simpelthen deres værdi, erstatter 0 med 1 og omvendt.

Som før vil den resulterende binære sekvens være ulig ethvert uendeligt sæt af sekvenser, vi måtte have inkluderet i den originale liste, så det er et utalligt sæt.

Andre talsekvenser med forskellig grund

Argumentet fra sekvenser af binære tal og fra reelle tal kan udvides til en hvilken som helst sekvens af tal af en hvilken som helst base. I denne forstand vil sættet af alle sekvenser af hexadecimale tal være utallige; så vil sættet af sekvenser af ternære, kvartære tal osv. være.

Referencer

Almindelige eksempler på utallige sæt . (2020, 16. marts). PeoplePerProject. https://en.peopleperproject.com/posts/9312-common-examples-of-uncountable-sets

Ivorra Castillo, C. (sf). SETTEORI . UV.es. https://www.uv.es/ivorra/Libros/TC.pdf

Libretekster. (2021, 7. juli). 1.4: Tællelige og utellelige sæt . Matematik LibreTexts. https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/An_Introduction_to_Number_Theory_(Veerman)/01%3A_A_Quick_Tour_of_Number_Theory/1.04%3A_Countable_and_Uncountable_Sets

Schwartz, R. (2007, 12. november). Tællelige og utallige sæt . Brun matematik. https://www.math.brown.edu/reschwar/MFS/handout8.pdf

Utallige sæt | Eksempler på utallige sæt . (2020, 21. september). Cuemath. https://www.cuemath.com/learn/Mathematics/uncountable-sets/