Tabla de Contenidos
I statistik er det meget almindeligt, at man står over for situationer, hvor man ønsker at beregne fagforeningssandsynlighed for flere forskellige begivenheder. For eksempel kan ejeren af en slikbutik være interesseret i at afgøre, hvad der er sandsynligheden for, at det næste barn, der kommer ind i hans butik, køber en hvid chokoladebar eller en mælkechokoladebar. I dette tilfælde ønsker vi at bestemme sandsynligheden for, at en af to mulige hændelser sker, hvilket ifølge mængdeteorien er foreningssandsynligheden for begge hændelser, eller P(AUB).
I det beskrevne tilfælde består beregningen af denne sandsynlighed blot af summen af de individuelle sandsynligheder, minus sandsynligheden for skæringspunktet mellem begge begivenheder, det vil sige:
Grunden til, at krydssandsynligheden skal trækkes fra, er, at ved at tilføje sandsynligheden for begge begivenheder, tælles ethvert skæringspunkt to gange. Dette er en forholdsvis enkel proces at forstå. Det kan dog også ske, at vi ønsker at bestemme fagforeningssandsynligheden ikke for to, men for tre eller flere begivenheder. Hvad skal der gøres i sådanne tilfælde? I det næste afsnit vil vi se på en enkel måde at bestemme formlen, der skal anvendes i tilfældene med tre hændelser og fire hændelser, og derefter vil vi bruge disse resultater sammen med ovenstående formel til at generalisere bestemmelsen af foreningssandsynligheden til et vilkårligt antal begivenheder.
Grundlæggende gennemgang
For at forstå processen med at beregne fagforeningssandsynligheder er det nødvendigt kort at huske nogle vigtige udtryk, der vil blive brugt senere:
eksperiment . Sandsynligvis er et eksperiment enhver proces, der kan gentages flere gange og altid producerer et resultat. Hvert eksperiment er forbundet med et bestemt sæt mulige resultater, der altid vil være det samme.
Resultat . Vi vil kalde konsekvensen af et eksperiment for et resultat, såsom det særlige ansigt, der kommer frem, når man kaster en terning.
Prøveplads (S) . Sættet af alle mulige udfald af et eksperiment.
begivenhed . Ethvert sæt af mulige resultater.
Venn diagram . Grafisk repræsentation, der viser sammenhænge mellem hændelser og mellem sandsynligheden for hændelser i et eksperiment.
Fagforeningens sandsynlighed for tre begivenheder
Antag, at vi udfører et eksperiment, og vi ønsker at bestemme sandsynligheden for, at en af 3**3 forskellige begivenheder indtræffer, som måske eller måske ikke forekommer samtidigt. Vi vil kalde disse tre begivenheder A, B og C.
I disse tilfælde kan der opstå flere forskellige situationer. For eksempel kan det ske, at ingen af begivenhederne deler resultater med nogen anden, i hvilket tilfælde vi siger, at begivenhederne udelukker hinanden, hvilket er eksemplificeret i følgende Venn-diagram:
Cirkler A, B og C repræsenterer de tre hændelser og omslutter et sæt resultater inden for prøverummet, som er det grå rektangel identificeret med bogstavet S. I disse tilfælde er foreningssandsynligheden simpelthen givet ved summen af sandsynligheden for hver separat begivenhed:
På den anden side kan en af begivenhederne også dele resultater med en af de to andre begivenheder, eller endda med begge. Dette er illustreret i et Venn-diagram som områder, der skærer hinanden.
I disse tilfælde tager summen af sandsynligheder nogle udfald i betragtning mere end én gang, så det er nødvendigt at fratrække disse sandsynligheder, der er blevet overtællet. Det vil sige, at vi skal trække sandsynligheden for skæringspunktet mellem hvert par af hændelser fra. Men i tilfælde, hvor der er udfald til stede i alle tre hændelser (såsom dem i midten af Venn-diagrammet ovenfor), fjerner subtraktion af skæringspunkterne mellem parrene bidraget fra det centrale område, hvor parrene skærer hinanden. Af denne grund skal vi igen tilføje dette lille område, der svarer til sandsynligheden for skæringspunktet mellem A, B og C.
Endelig er foreningssandsynligheden for de tre begivenheder:
BEMÆRK: Selvom dette udtryk blev angivet for det særlige tilfælde, hvor de tre begivenheder skærer hinanden, er dette den mere generelle form for tre-begivenhedens tilfælde, da det kan konverteres til foreningssandsynligheden for ethvert sæt af tre begivenheder, uanset om de skærer hinanden eller ikke. For eksempel, i tilfælde af gensidigt udelukkende hændelser, er alle skæringssandsynligheder nul, så udtrykket reduceres til summen af de individuelle sandsynligheder vist i begyndelsen af dette afsnit.
Unionens sandsynlighed for fire begivenheder
Antag nu, at vi udfører et nyt eksperiment og er interesseret i sandsynligheden for forening mellem fire begivenheder: A, B, C og D. Det mest generelle tilfælde er, at de alle kan skære hinanden, som vist i følgende diagram:
I dette tilfælde tæller summen af de fire simple sandsynligheder fire gange sandsynligheden for udfaldene i område I, tre gange dem for områder II, III, IV og V og to gange for områder VI, VII, VIII og IX. For at rette op på dette skal vi først trække skæringssandsynlighederne for alle par fra (A og B, A og C, A og D, B og C, B og D og C og D). Dette trækker igen skæringsområderne for hver gruppe på tre (ABC, ABD, ACD og BCD) for mange gange, så disse områder skal tilføjes igen, og så videre, indtil alle områder tælles én gang.
Resultatet for tilfældet med fire begivenheder, uanset om de udelukker hinanden eller ej, er:
Unionssandsynlighed for mere end fire hændelser
Indtil dette punkt kan vi allerede detektere et mønster mellem formlerne for foreningssandsynlighederne for to, tre og fire begivenheder. De starter alle med summen af de simple sandsynligheder, subtraherer derefter skæringssandsynlighederne mellem alle mulige par af hændelser, addér derefter skæringssandsynlighederne for hver mulig gruppe af tre hændelser, og så videre, skiftevis addering og subtrahering af skæringspunkterne. flere begivenheder, indtil vi når skæringspunktet mellem alle begivenheder. For et lige antal hændelser er dette sidste skæringspunkt altid negativt (fratrukket), mens det for et ulige antal hændelser altid er positivt (tillagt).
Referencer
- Arrizabalaga R., M. (2015, september). SANDSYNLIGHEDSTEORI . AUTONOM MEXICO STATE UNIVERSITY. https://core.ac.uk/download/pdf/55528069.pdf
- DeVore, J. (2002). Sandsynlighed og statistik for teknik og videnskab (5. udgave). Thomson International.
- Manuel, M. (2020, 1. juli). Sandsynlighed for begivenhedernes forening . Nem matematik. https://lasmatesfaciles.com/2020/06/29/probabilidad-de-la-union-de-sucesos/
- Marta, M. (2021, 27. marts). Sammenslutning af begivenheder eller hændelser . Superprof. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/union-de-sucesos.html
