Hældningsskæringsformen for den lineære ligning

Tabla de Contenidos

Hældningsskæringsformen af en ligning af første grad er en måde at udtrykke denne ligning på i form af ligningen for en ret linje . Det er med andre ord udtrykt med samme matematiske form som en funktion, der, når den tegnes i et kartesisk koordinatsystem, resulterer i en ret linje. En lineær ligning udtrykt på denne måde har følgende matematiske form:

Som det kan ses, er denne måde at repræsentere lineære ligninger på karakteriseret ved at have den variabel, som vi almindeligvis betragter som den afhængige variabel (i de fleste tilfælde og , selvom dette kan variere) isoleret i et af ligningens medlemmer (normalt til venstre) med koefficient 1; mens det andet medlem er sammensat af et led, der indeholder den uafhængige variabel (normalt x ) og et uafhængigt led.

Fortolkning af den lineære ligning i hældningsskæringsform

Når den udtrykkes på denne måde, repræsenterer koefficienten for den uafhængige variabel, i dette tilfælde m , hældningen af linjen, når denne ligning er tegnet i et kartesisk koordinatsystem.

På den anden side angiver det uafhængige led, i dette tilfælde b , det punkt, hvor linjen skærer eller skærer ordinataksen eller y-aksen, som vist i den følgende graf. Det er netop derfor, det kaldes skråningsskæringsform.

Hældningsfortolkning

Hældningen ( m ) angiver, hvor meget værdien af y af et punkt på linjen ændres ved at øge værdien af x med en enhed , således at den repræsenterer linjens hældning. Denne værdi kan være et hvilket som helst rationelt tal, både positivt og negativt. Der er tre mulige værdiintervaller, der fortolkes forskelligt:

En positiv hældning (m>0) indikerer, at linjen går opad, når vi bevæger os fra venstre mod højre på grafen.
Når det uafhængige variabelled ikke optræder (det vil sige, når der ikke er et x i ligningen), betyder det, at hældningen er nul (m=0). I dette tilfælde er linjen vandret eller parallel med abscisseaksen (x-aksen).
Når hældningen er negativ (m<o), går linjen ned, når vi bevæger os fra venstre mod højre på grafen.

Fortolkning af krydset

Det uafhængige led, b , repræsenterer skæringspunktet for linjen med ordinataksen, det vil sige med y-aksen i det kartesiske koordinatsystem. I de tilfælde, hvor der ikke er et uafhængigt led, forstås det, at dets værdi er nul (b=0), så linjen passerer gennem koordinatsystemets oprindelse.

Særlige tilfælde af ligningen af en linje i hældningsskæringsform

Tilfælde 1: y = b

Når ligningen har den foregående form, det vil sige når termen for den uafhængige variabel ikke vises, forstås det, at hældningen er nul, og at ligningen derfor repræsenterer en vandret linje, der går gennem punktet (0;b) ).

Tilfælde 2: y = mx

Når der ikke er et uafhængigt led, betyder det, at dets værdi er nul, og derfor skærer det y-aksen ved 0. Det betyder, at linjen går gennem koordinatsystemets oprindelse.

Tilfælde 3: 0 = mx + b

skråningsskæringsform med udefineret hældning

I dette tilfælde består den af en lodret linje (parallel med y-aksen), der skærer abscisse-aksen (eller x-aksen) i punktet x = – b/m, som vist i den foregående graf.

Dette er en usædvanlig form for ligningen af en linje, hvor koefficienten m og det uafhængige led b mister deres normale betydning. En lodret linje har en udefineret hældning, det vil sige, at dens hældning ikke eksisterer. Dette er ikke det samme som at sige, at dens hældning er nul.

På den anden side, da det er en lodret linje parallel med y-aksen, skærer den aldrig denne akse. Derfor angiver det uafhængige udtryk, b, ikke længere skæringspunktet, som det gjorde i de tidligere tilfælde.

Fordele ved hældningsskæringsformen

Sammenlignet med de andre måder at repræsentere lineære ligninger på, har hældningsskæringsformen følgende fordele:

Returnerer øjeblikkeligt værdierne af hældningen og y-skæringspunktet for linjen.
Ovenstående gør det muligt på en meget enkel og hurtig måde at visualisere grafen for en lineær ligning i et kartesisk koordinatsystem.
Ved at angive værdien af hældningen giver det dig mulighed for hurtigt at beregne den vinkel, som linjen laver med x-aksen ved hjælp af tangenten.
Det giver dig mulighed for hurtigt at vide, om to linjer er parallelle med hinanden eller ej, blot ved at sammenligne deres hældninger.
Det giver dig mulighed for hurtigt at bestemme, om to linjer er vinkelrette på hinanden eller ej.
Bare at se på formen af ligningen, lader os straks vide, om det er en stigende, faldende, vandret eller lodret linje.
Lader dig beregne y-koordinaten for ethvert punkt på linjen givet dets x-værdi i ét trin.
Det letter substitutionsmetoden til løsning af systemer af lineære ligninger af to variable, fordi ligningen allerede er løst for en af dem (y).

Trin til at transformere standardform til hældningsskæringsform

Ud over hældningsskæringsformen kan ligningen af en linje også repræsenteres på andre måder, hvoraf den vigtigste er standardform:

I dette tilfælde er koefficienterne A, B og C heltal. Når du har en ligning udtrykt på denne måde, og du vil skrive den i hældningsskæringsform, skal du kun følge følgende trin:

Trin 1: Axe trækkes fra begge sider af ligningen.

Trin 2: alle koefficienterne og det uafhængige led divideres med koefficienten B (inklusive dets fortegn).

Trin 3: Hvis det er muligt, forenkle enhver brøk, der opstod fra divisionen.

Eksempler på transformation fra standardform til hældningsskæringsform

Eksempel 1: 3x + 2y = 4

Trin 1:

Trin 2:

Trin 3:

Som du kan se, svarer denne ligning til en faldende linje, der skærer y-aksen ved 2.

Eksempel 2: x – 4y = 6