Sådan beregner du forventet værdi i roulette

Sandsynligvis refererer den forventede værdi af en tilfældig variabel til gennemsnitsværdien af ​​et stort antal gange, variablen forekommer . Det beregnes som et vægtet gennemsnit af alle mulige værdier af den stokastiske variabel, hvor vægtningsfaktoren ikke er mere end sandsynligheden for, at hver værdi vil forekomme.

Sandsynlighed er et studieområde af stor betydning inden for hasardspil, blandt hvilke roulette er en af ​​de mest populære og nemmeste at forstå.

Hvad er roulette og hvordan spilles det?

Et typisk amerikansk roulettehjul består af et hjul med en række slots mærket 1 til 36, hvoraf 18 er sorte, mens de andre 18 er røde. Derudover er der to grønne celler eller slots placeret i hver sin ende af hjulet identificeret med henholdsvis tallene 0 og 00, for i alt 38 celler.

Der er også franske rouletter, som ikke har 00-boksen og derfor har 37 kasser i alt.

Spillet består i at dreje hjulet, mens en lille bold kastes i den modsatte retning. Når spinneren og bolden bremser, ender bolden med at lande i en af ​​de 37 eller 38 lommer eller slots. Inden bolden falder til ro, kan deltagerne foretage forskellige typer væddemål. Nogle af de mulige væddemål er:

• Sats på et bestemt tal (betaler normalt 35:1)
• Sats på to tilstødende numre (betaler normalt 17:1)
• Sats på rød eller sort (betaler normalt 1:1)
• Ulige eller lige tal (betaler normalt 1:1)
• Lav eller høj indsats, det vil sige de første 18 numre (fra 1 til 18) eller de sidste 18 (fra 19 til 36) (betaler normalt 1:1)
• First Dozen (1-12) (betaler normalt 2:1)
• Andet dusin (fra 13 til 24) (betaler normalt 2:1)
• Tredje dusin (fra 25 til 36) (betaler normalt 2:1)

Som du kan se, tilbyder hvert af disse væddemål en specifik udbetaling, som afhænger af sandsynligheden for, at det sker.

Dernæst vil vi beregne den forventede værdi af gevinsterne i henhold til de forskellige typer væddemål, som vi kan foretage i et amerikansk roulettehjul. De opnåede resultater her ekstrapoleres let til fransk roulette, blot ved at ændre det samlede antal mulige resultater i nævnerne af alle sandsynligheder.

I alle tilfælde vil vi bestemme den forventede værdi af gevinsten for hver dollar, vi satser, selvom den numeriske værdi kan overføres til enhver anden valuta. Desuden vil multiplikation af denne forventede værdi med den faktiske værdi af væddemålet producere den forventede værdi af væddemålet. Så hvis vi i stedet for at satse $1 satser $100, skal vi bare gange den forventede værdi af $1 bet med 100.

Formel til at beregne den forventede værdi af et væddemål i roulette

Den tilfældige variabel, hvis forventede værdi vi ønsker at bestemme, er mængden af ​​penge, vi i gennemsnit vil vinde, hvis vi laver den samme roulette indsats et stort antal gange. Når vi laver et væddemål, udfører vi et eksperiment, der kun har to mulige udfald: vi vinder eller vi taber. Vi vinder, hvis bolden lander i en kasse, der matcher vores indsats, og ellers taber vi.

Hvis vi kalder X for gevinsten opnået ved at satse (vores stokastiske variabel), p sandsynligheden for succes, x ₁ den fortjeneste, vi vil opnå, hvis vi vinder, q sandsynligheden for fiasko og x ₂ den fortjeneste (eller tab), vi vil have, hvis vi taber, så kan vi beregne den forventede værdi af et væddemål som:

Nu vil vi se, hvordan man anvender denne formel på de forskellige væddemål, vi kan foretage.

Forventet værdi af at satse på et bestemt nummer i roulette

Antag, at vi satser $1 på et bestemt tal (0, 00, 1, 2, 3, …).

Udbetalingen for dette væddemål, hvis vi vinder, er 35 til 1, hvilket betyder, at vi får $35 for hver $1, vi satser, plus vi får vores $1 satset. Vi vil så sige, at værdien af ​​vores tilfældige variabel i tilfælde af succes (x ₁ ) vil i dette tilfælde være +$35, da det er nettooverskuddet. Sandsynligheden for succes (p) er 1/38, da der er i alt 38 forskellige felter, hvor kuglen kan falde, mens vi kun vinder 1 med.

På den anden side, hvis kuglen lander på et hvilket som helst andet tal, taber vi indsatsen, i hvilket tilfælde huset beholder de $1, vi satser. Således vil vores “profit” være -$1, da vi faktisk taber penge. Sandsynligheden for at tabe (q) er 37/38, da enhver anden boks end det tal, vi satser på, vil få os til at tabe. Med disse data kan vi anvende formlen og bestemme den forventede værdi af dette væddemål:

Med andre ord er den forventede værdi af at satse på et bestemt nummer i roulette et tab på 5,3 cent for hver dollar vi satser.

Forventet værdi af væddemål på to tilstødende numre

Antag, at vi satser $1 ved at placere en jeton mellem to tilstødende tal, såsom 2 og 3 eller 17 og 20 (som er lodret ved siden af ​​hinanden).

Udbetalingen for denne indsats, i modsætning til den forrige, er 17 til 1, hvilket betyder, at vi får $17 tilbage for hver $1, vi satser, plus vi får vores $1 tilbage. Gevinsten vil i dette tilfælde være +$17, mens sandsynligheden for succes (p) vil være 2/38, da der er to tal, der vil få os til at vinde, mens der stadig er de samme 38 celler i alt.

På den anden side, hvis vi taber, taber vi igen den samme $1, som vi satsede, men sandsynligheden for at tabe (q) er nu 36/38. Den forventede værdi af dette væddemål er da:

Igen forventes det, at ved at satse på et hvilket som helst par af tilstødende tal i roulette flere gange, vil vi i gennemsnit tabe 5,3 cents for hver dollar, vi satser.

Forventet værdi af væddemål med dusinvis

Der er seks forskellige væddemål, som vi kan foretage i roulette, som inkluderer et dusin mulige gunstige udfald; tre af dem består af væddemål på det første, andet eller tredje dusin tal (ikke inklusive 0 eller 00), og de andre tre består af væddemål på en af ​​de tre kolonner, hvor tallene er arrangeret på roulettebordet.

Udbetalingen for et af disse væddemål er 2 til 1, hvilket betyder, at vi vinder $2 for hver $1, vi satser og får vores $1 tilbage. Sandsynligheden for succes er 12/38, da vi satser på en kurv med 12 forskellige numre. Endelig er sandsynligheden for fejl 26/38 med det samme tab på $1 (eller gevinst på -$1, hvilket er det samme).

Den forventede værdi af vores tilfældige variabel er i dette tilfælde:

Forventet værdi af væddemål på rød eller sort, lige eller ulige, eller væddemål lavt eller højt

Endelig er der seks andre forskellige væddemål, som vi kan foretage i roulette, der både giver den samme sandsynlighed for succes og den samme betaling, hvis vi vinder, såvel som den samme sandsynlighed for fiasko og det samme tab af penge, hvis vi taber, så vi vil beregne deres forventede værdi på samme måde for alle. Disse væddemål er:

• Sats på rødt.
• satse på sort
• Sats på lige tal
• Sats på ulige tal
• Sats på de nederste 18 numre (tallene fra 1 til 18)
• Sats på de høje 18 numre (tallene fra 19 til 36)

Selvom de ligner meget forskellige væddemål, er de faktisk præcis ens. De betaler alle $1 for hver $1, der satses, plus $1 returneret, så de alle netto +$1.

Derudover har de alle samme sandsynlighed for succes (og, som komplement, for fiasko). For eksempel er halvdelen af ​​tallene fra 1 til 36 identificeret med farven rød, mens den anden halvdel er identificeret med sort, så der er en 18/38-sandsynlighed for, at den kommer op i rød eller sort (husk at cellerne i 0 og 00 er grønne, hvilket fuldender de i alt 38 mulige resultater).

Med hensyn til ulige og lige tal, da der er 36 på hinanden følgende tal, vil halvdelen være lige tal (2, 4, 6, 8, 10, 12, ,…,34 og 36), og den anden halvdel vil være ulige (1, 3 , 5, 7, 9, 11, …, 33 og 35). Vi skal huske, at nul ikke betragtes som et lige eller ulige tal, så hverken 0- eller 00-boksen er en del af nogen af ​​de to resultater.

Endelig er der 18 lave tal og 18 høje tal, så sandsynligheden for at få det ene eller det andet resultat er også 18/38.

På den anden side inkluderer fiasko i alle disse tilfælde den anden halvdel af tallene, der ikke tælles med i indsatsen plus 0 og 00, så der er i alt 20 mulige negative udfald. Dette indebærer en sandsynlighed for fejl på 20/38.

Den forventede værdi af et af disse væddemål er da:

Hvordan fortolkes disse resultater?

Dette resultat betyder ikke, at hvis vi for eksempel går ind i et kasino og satser $1 på 21, vil vi tabe $0,053. I virkeligheden, hvis vi spiller én gang , vil vi enten gå hjem $1 mindre eller $35 mere.

Hvad dette resultat betyder, er, at hvis vi satser roulette mange gange og altid satser på et enkelt tal, vil vi nogle gange vinde $35 og andre gange vil vi tabe $1, men i gennemsnit ender vi med at tabe $0,053 for hver satsede dollar.

Dette resultat bekræfter det populære ordsprog om, at “banken altid vinder”, med henvisning til det faktum, at selvom et kasino nogle gange udbetaler en jackpot til en heldig spiller, vil de altid ende med at vinde alt, hvad de tabte, og mere end det. alle de små væddemål, hvor deltagerne taber.

Referencer

DeVore, J. (2002). Sandsynlighed og statistik for teknik og videnskab (5. udgave). Thomson International.

Elisa, M. (2021, 23. april). Sådan vinder du på Roulette: Introduktion til sandsynligheder og forventede værdier . Medium. https://www.cantorsparadise.com/how-to-win-at-roulette-intro-to-probabilities-and-expected-values-f23baed1065e

Forventet værdi i statistik: Definition og beregninger . (2021, 8. juni). Statistik Sådan. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/

Gennemsnit (forventet værdi), varians og standardafvigelse af diskret tilfældig variabel | matermobil . (2021, 1. januar). MateMobile. https://matemovil.com/media-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-discreta/

Studiekraft. (2021, 8. juni). Forventet værdi i statistik: Definition og beregninger [Video]. Statistik Sådan. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/