Tabla de Contenidos
Formlerne til at beregne arealet og volumen af en kugle er
- Overflade = 4πr 2
- Volumen = (4/3)πr 3
2. Beregning af areal og rumfang af en kegle
En kegle er en pyramide med en cirkulær base, hvis skrå sider mødes i et centralt punkt på keglens akse, en linje vinkelret på bundens plan, der går gennem midten af den omkreds, der udgør keglens bund, som vist Du kan se i figuren ovenfor. For at beregne arealet af dens overflade eller dens volumen skal radius af basen r og længden af siden s være kendt . Hvis værdien af sidelængden s ikke er kendt , kan den beregnes ved at kende højden af keglen h (se figuren ovenfor).
s = √ (r 2 + h 2 )
Det samlede overfladeareal af keglen kan beregnes som summen af arealet af basen og arealet af den laterale overflade.
- Basisareal: πr 2
- Sideareal: πrs
- Samlet areal = πr 2 + πrs
For at beregne volumenet af en kegle behøver du kun basens radius og højden.
- Volumen = 1/3 πr 2 timer
3. Beregning af overfladeareal og volumen af en cylinder
Overflade- og volumenberegninger er lettere for en cylinder end for en kegle. Cylinderen har en cirkulær base, og linjerne, der, når de drejes, genererer sidefladen, er parallelle og vinkelrette på basen. For at beregne dets overfladeareal eller volumen er det kun nødvendigt med radius r og højden h .
Som i tilfældet med keglen er overfladearealet summen af de overflader, der udgør den; summen af arealet af den øvre base og den nedre base (som er lige store) og arealet af den laterale overflade.
- Overflade = 2πr 2 + 2πrh
- Volumen = πr 2t
4. Beregning af overflade og rumfang af et rektangulært prisme
Et rektangel udfoldet i tre dimensioner bliver til et rektangulært prisme; Eller bare en kasse. Når alle siderne af et rektangulært prisme er lige store, bliver prismet en terning. Derfor beregnes både overfladearealet og volumenet med de samme formler. Til dette er det nødvendigt at kende størrelsen af de tre sider af prismet; a, b og c, i den øverste figur.
- Areal = 2(ab) + 2(bc) + 2(ac)
- volumen = abc
Hvis vi har en terning med side a , bliver de foregående formler
- Arealet af en terning = 6a 2
- Rumfang af en terning = en 3
5. Beregning af areal og rumfang af en pyramide med kvadratisk base
I dette tilfælde ser vi de formler, der bruges til at beregne overfladearealet og volumenet af en pyramide med en kvadratisk base og ligesidede trekanter på dens flader. Til beregningerne er det nødvendigt at kende siden af kvadratet af basen b og højden h , dette er afstanden fra midten af kvadratet af basen til toppunktet, som vist på figuren ovenfor. Og s vil være højden af hver ligesidet trekant, der udgør pyramidens flader, som kan beregnes med følgende formel.
s = √ ((b/2) 2 + h 2 )
Som i de foregående tilfælde er overfladens areal summen af arealet af basen plus arealet af de fire ligesidede trekanter af siderne.
- Overflade = 2bs + b 2
- Volumen = (1/3) b 2t
6. Beregning af overfladeareal og volumen af et ligebenet trekantet prisme
For at anvende formlerne til beregning af overfladens areal og volumenet af et ligebenet trekantet prisme er tre parametre nødvendige ifølge figuren ovenfor; bunden af den ligebenede trekant b , højden af trekanten h og længden af prismet l . Definitionerne er afsluttet med siden s af den ligebenede trekant. Siden s af trekanten kan beregnes ud fra trekantens andre data med følgende formel.
s = √ ((b/2) 2 + h 2 )
Formlerne til beregning af overfladeareal og volumen er som følger.
- Areal = bh + 2 l s + l b
- Volumen = (1/2)bh l
Hvis du vil beregne overfladearealet og volumenet af et prisme, der ikke er en ligebenet trekantet, kan du anvende følgende procedure. Du kan bestemme arealet A og omkredsen P af basen og bruge følgende formler.
- Overflade = 2A + Pl
- Volumen = A l
7. Beregning af arealet og længden af en cirkulær sektor
Den øverste figur viser sektoren af en cirkel med radius r defineret af vinklen θ , som kan udtrykkes i grader eller radianer. For at beregne arealet af den cirkulære sektor og længden af buen er det nødvendigt, at vinklen θ udtrykkes i radianer, så hvis den er udtrykt i grader, skal konverteringen udføres ved hjælp af følgende formel.
vinkel θ i radianer = (vinkel θ i grader) π /180
Arealet af den cirkulære sektor og længden af buen beregnes med følgende formler.
- Areal = (θ/2) r 2 θ i radianer
- Bue L = θr θ i radianer
Arealet og omkredsen af en cirkel er et særligt tilfælde af en sektor, som opstår, når vinklen θ er lig med 2 π . Så arealet og omkredsen af en cirkel beregnes som følger.
- Arealet af en cirkel = π r 2
- Omkreds = 2 π r
8. Beregning af arealet af en ellipse
En ellipse, også kendt som en oval, og som kan identificeres som en aflang cirkel, er det sæt af punkter, hvis sum af afstande til to faste punkter kaldet foci er konstant. I figuren ovenfor er foci repræsenteret af to punkter. En ellipse kan defineres ved dens to halvakser, som vist på figuren; halvaksen a og halvaksen b . Arealet af en ellipse beregnes med følgende formel.
- Areal = πab
9. Beregning af areal og omkreds af en trekant
Trekanten er en af de enkleste geometriske former, og det er nemt at beregne omkredsen, idet man kender længden af hver af dens sider a, b og c .
- omkreds = a + b + c
For at beregne arealet af trekanten kræves længden af en af dens sider, f.eks. b i figuren ovenfor, og højden h svarende til den side, bestemt som længden af segmentet tegnet fra det modsatte toppunkt vinkelret til siden b . Arealet af trekanten beregnes som
- Areal = (1/2)bh
10. Beregning af areal og omkreds af et parallelogram
Et parallelogram er en firkant, hvis modsatte sider er parallelle, som vist på figuren ovenfor. Da de modstående sider er parallelle, vil længden af de modsatte sider være ens. I figurens tilfælde er de siderne af længden a og b . Omkredsen af et parallelogram er summen af dets sider.
- Omkreds af et parallelogram = 2a + 2b
For at beregne arealet af et parallelogram er højden h nødvendig ; afstanden mellem to parallelle sider. Arealet kan beregnes med højden og den side, der svarer til denne højde, b for figurens tilfælde.
- Areal af et parallelogram = bh
Et rektangel er et særligt tilfælde af et parallelogram; når højden h er lig med siden a eller, som er den samme, når de tilstødende sider er vinkelrette, er parallelogrammet et rektangel, og omkreds- og arealformlerne er som følger.
- Omkreds af et rektangel = 2a + 2b
- Arealet af et rektangel = ab
Til gengæld er et kvadrat et særligt tilfælde af et parallelogram og et rektangel; når siderne a og b er lige store og tilstødende sider er vinkelrette. Formlerne for omkreds og areal af et kvadrat med side a er som følger.
- omkredsen af et kvadrat = 4a
- Arealet af et rektangel = a 2
11. Beregning af arealet og omkredsen af en trapez
Et trapez er en firkant, der har to modsatte sider, der er parallelle. Derfor er længden af dens fire sider forskellig, i den øverste figur b , B , c og d , og for at beregne dens omkreds er det nødvendigt at kende de fire værdier. Omkredsen af et trapez beregnes ved at lægge de fire værdier sammen.
- Omkreds = b + B + c + d
For at beregne arealet af en trapez er det nødvendigt at kende højden h , der kan observeres i den øverste figur, og det er afstanden mellem de to parallelle sider.
- Areal = (1/2) (b + B)h
12. Beregning af arealet og omkredsen af en regulær sekskant
En polygon med seks lige store sider er en regulær sekskant. Længden af hver side r er lig med afstanden af hvert toppunkt fra midten af sekskanten. Apotemet ( a i den øverste figur) er den mindste afstand fra sekskantens centrum til en af siderne; er højden af hver ligesidet trekant, der udgør sekskanten. Omkredsen af en regulær sekskant beregnes som
- omkreds = 6r
Mens man skal beregne arealet af en regulær sekskant, bruges følgende formel
- Areal = (3√3/2)r 2
13. Beregning af arealet og omkredsen af en regulær ottekant
En regulær ottekant er en polygon med otte lige store sider. Hvis længden af hver side af ottekanten er r , beregnes omkredsen af en regulær ottekant som
- omkreds = 8r
Mens man skal beregne arealet af en regulær ottekant, bruges følgende formel
- Areal = 2(1+√2)r 2
Springvand
Wenninger, Magnus J. Models of Polyhedra Cambridge University Press, 1974.
