Hvordan variansen af ​​en Poisson-fordeling beregnes

Variansen af ​​en tilfældig variabel er et mål for dens spredning omkring middelværdien . Det betyder, at det er en størrelse, der angiver den gennemsnitlige spredning af værdierne af variablen på begge sider af middelværdien eller amplituden af ​​dens sandsynlighedsfordeling. Denne parameter er en vigtig størrelse for enhver tilfældig variabel, uanset dens sandsynlighedsfordeling.

På den anden side er Poisson -fordelingen en diskret sandsynlighedsfordeling, der tjener til at modellere den frekvens, med hvilken diskrete hændelser forekommer inden for et tidsinterval , selvom den også kan henvises til i forhold til andre kontinuerte variable, såsom længden af ​​en ledning , en overflade osv.

Poisson-fordelingen er af stor betydning, da den tillader modelleringsprocesser lige så dagligt som antallet af personer, der ankommer i en linje til billetkontoret på en pengeautomat, såvel som processer så komplekse som antallet af radioaktive henfald i et givet tidsinterval. fra en prøve af atomaffald.

Matematisk definition af Poisson-fordelingen

En stokastisk variabel X følger en Poisson-fordeling, hvis dens sandsynlighedsmassefunktion eller PMF har følgende form:

I formlen er λ en altid positiv parameter for fordelingen, og x repræsenterer de forskellige værdier, som den stokastiske variabel kan tage. I Poisson-processer repræsenterer parameteren λ generelt hastighed eller frekvens pr. tidsenhed, pr. arealenhed og så videre.

Som vi vil vise senere, er λ igen middelværdien af ​​Poisson-fordelingen, såvel som dens varians.

Nu hvor vi ved, hvad denne fordelingsfunktion er, og hvad den er til, lad os se på en mere formel definition af varians, den generelle måde at beregne den på og endelig, hvordan variansen beregnes for det særlige tilfælde af Poisson-fordelingen.

Hvad er variansen?

Matematisk svarer variansen af ​​en tilfældig variabel X, angivet i statistik med Var(X) , til den forventede værdi af kvadratet af variablens afvigelse fra dens middelværdi, som er udtrykt med følgende formel:

Selvom den tidligere definition kan bruges til at beregne variansen af ​​enhver tilfældig variabel, kan den også lettere beregnes ved at bruge det første og andet ordinære moment eller momenter omkring oprindelsen (m 1 , m 2 ₎ som _følger :

Denne måde at beregne variansen på er mere bekvem end den første, så det vil være den, vi vil bruge i denne artikel til at beregne variansen af ​​Poisson-fordelingen.

Beregning af variansen af ​​Poisson-fordelingen

Beregning af gennemsnittet eller det første almindelige øjeblik

Lad os huske, at for enhver diskret fordeling kan middelværdien eller forventningen til X bestemmes ved hjælp af følgende udtryk, som definerer det første øjeblik:

Vi kan tage denne sum fra x=1 og frem, da det første led er nul. Også, hvis vi nu gange og dividere alt med λ og også erstatte x!/x med (x-1)! , får vi:

Dette udtryk kan forenkles ved at foretage ændringen af ​​variablen y = x – 1 , og efterlade:

Funktionen inde i summeringen er igen Poisson-sandsynlighedsfunktionen, som per definition er summeringen af ​​alle sandsynligheder fra nul til uendelig af enhver sandsynlighedsfunktion, der skal være lig med 1.

Vi har allerede det første øjeblik eller middelværdien af ​​Poisson-funktionen. Vi vil nu bruge dette resultat og forventningen til kvadratet af X til at finde variansen.

Beregning af det andet almindelige øjeblik

Det andet øjeblik er givet af:

Vi kan bruge et lille trick til at løse denne sum, der består i at erstatte x ² med x(x-1)+x:

Hvor vi bruger det foregående resultat i det andet led af summeringen, multiplicerer og dividerer vi med λ ² for at få eksponenten λ ^x-2 , og vi anvender ændringen af ​​variabel y = x – 2 .

Nu er der kun tilbage at erstatte disse to momenter i formlen for variansen, og vi får det forventede resultat:

Referencer

Devore, J. (2021). Sandsynlighed og statistik for teknik og naturvidenskab . CENGAGE LÆRING.

Rodó, P. (2020, 4. november). Poisonfordeling . Økonomipedia. https://economipedia.com/definiciones/distribucion-de-poisson.html

UNAM [Luis Rincon]. (2013, 16. december). 0625 Poisson Distribution [Video]. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=y_dOx8FhHpQ