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La definición de eventos mutuamente excluyentes se puede dar de distintas formas. Para comenzar, se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos si la ocurrencia de cualquiera de los dos excluye la la posibilidad de que suceda el otro. Esto quiere decir que son eventos que no pueden ocurrir simultáneamente. Por ejemplo, al lanzar un dado una sola vez, el resultado de caer en cualquiera de las seis caras excluye que caiga en cualquiera de las otras cinco. Así, el evento en el que cae 4 y el evento en el que cae, por ejemplo, 3, son mutuamente excluyentes, ya que el dado no puede caer en 4 y 3 al mismo tiempo.
Por otro lado, en el campo de la probabilidad se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes siempre que no compartan resultados entre sí. Esto viene del hecho de que, en probabilidad, se considera un evento como un conjunto de posibles resultados de un experimento. Se pueden definir distintos eventos que compartan o no resultados, y aquellos que no compartan resultados son los que se consideran como mutuamente excluyentes.
En términos matemáticos más formales, y utilizando la notación de la teoría de conjuntos, los eventos A y B serán mutuamente excluyentes si su intersección es el conjunto vacío, es decir, no se intersectan. Dicho de otra forma, A y B serán mutuamente excluyentes siempre que A ∩ B = Ø.
¿Cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes?
En los casos en los que la lógica no nos diga de antemano si dos eventos son mutuamente excluyentes, la teoría de conjuntos y la probabilidad nos proporcionan la solución. A continuación, se presentan tres formas fáciles de determinar, sin lugar a dudas, cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos.
Observando los elementos en cada conjunto
Cuando dos eventos contienen un conjunto finito y pequeño de elementos, resulta muy sencillo determinar si son o no disjuntos, simplemente verificando si contienen o no elementos en común.
Ejemplo
Consideremos, por ejemplo, el experimento de lanzar dos dados simultáneamente. Ahora definamos los siguientes dos eventos:
- Sea A el evento en el que la suma de los dos dados sea mayor o igual a 10.
- Sea B el evento en el que la suma de los dos dados sea exactamente igual a 8.
Es fácil determinar cuáles resultados están incluidos en cada evento. En el primero, solo los resultados (5,5); (5,6) y (6,6) dan como resultado una suma mayor o igual que 10. Por otro lado, solo los resultados (4,4); (5,3) y (6,2) dan como resultado 8. Así que ahora se puede escribir, utilizando la simbología de la teoría de conjuntos:
Como no hay elementos comunes, la intersección es el conjunto vacío y, por lo tanto, los eventos son mutuamente excluyentes.
Utilizando diagramas de Venn
Otra manera muy sencilla de determinar si dos eventos son mutuamente excluyentes es al representarlos en un diagrama de Venn. En estos diagramas, se representa el espacio muestral por medio de un rectángulo (u otra figura), mientras que todos los eventos se representan como áreas internas del mismo.
En un diagrama de Venn, los eventos mutuamente excluyentes se reconocen fácilmente, ya que son aquellas áreas dentro del rectángulo que no se tocan ni se solapan.
Por la probabilidad de unión
En algunos casos, los dos métodos anteriores no se pueden aplicar. Una forma alternativa de verificar si dos eventos son o no mutuamente excluyentes es a través de la probabilidad. Si se conocen las probabilidades individuales de cada evento, esto es, P(A) y P(B), así como la probabilidad de que ocurra uno u otro evento, o sea, P(A U B), entonces sabremos que dos eventos son disjuntos si se cumple que:
Una forma alternativa es a través de la probabilidad de intersección. Dos eventos serán mutuamente excluyentes siempre que P(A ∩ B) = 0.
Ejemplos de eventos mutuamente excluyentes
Los eventos simples siempre son mutuamente excluyentes
Los eventos simples son aquellos que contienen un solo resultado. Al lanzar un dado de seis caras, el evento de que salga 6 es un evento simple, porque está conformado únicamente por el resultado 6. En cambio, el evento de que salga par no es simple, ya que está conformado por tres resultados, que son 2, 4 y 6.
Todos los eventos simples de un experimento siempre serán mutuamente excluyentes.
Ejemplo
Supongamos que en un estudio se determina el número de varones nacidos por semana en un hospital. El espacio muestral, S, de este experimento es
Algunos eventos simples serian:
Como se puede observar, al no tener más de un resultado y ser todos diferentes, ninguno de estos eventos puede compartir elementos con otro y, por lo tanto, siempre serán mutuamente excluyentes.
Lanzar tres dados simultáneamente
El lanzamiento de tres dados al mismo tiempo es un experimento que puede tener 36 resultados diferentes, ya que el orden de los dados no importa: los resultados (1,2,3); (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,1,2) y (3,2,1) todos representan el mismo resultado.
Imaginemos que se plantean los siguiente tres eventos:
- A = evento en el que todos los dados dan el mismo resultado.
- B = evento en el que solo dos dados dan el mismo resultado.
- C = evento en el que todos los dados dan resultados distintos.
Solo por sentido común, se puede concluir que A, B y C son todos eventos mutuamente excluyentes, ya que si todos los dados dan el mismo resultado (se da el evento A) es imposible que solo dos sean iguales y uno diferente, o que todos sean diferentes.
Juego de cartas
Imaginemos un experimento en el que se sacan al azar dos cartas de un mazo de 52 cartas de póquer. Ahora definamos los siguientes eventos:
- A = se sacan solo pintas rojas.
- B = se sacan solo pintas negras.
Estos eventos son mutuamente excluyentes, ya que, si las cartas son ambas rojas, no pueden ser ambas negras y viceversa.
Ejemplos de eventos que no son mutuamente excluyentes
Lanzamiento de tres dados simultáneamente
Tomemos el mismo experimento de los tres dados descrito anteriormente, pero ahora definamos los siguientes eventos:
- A = evento en el que todos los dados son iguales = {(1,1,1); (2,2,2); (3,3,3);…}
- B = evento en el que todos los dados son pares = { (2,2,2); (2,2,4); (2,2,6)…}
Al comparar los elementos dentro de A y B, es fácil darse cuenta que habrá coincidencias, y que la intersección de A y B será:
Como la intersección no es el conjunto vacío, entonces estos eventos no son disjuntos.
Juego de cartas
Repitiendo el mismo experimento de retirar dos cartas de un mazo, consideremos los siguientes nuevos eventos:
- A = al menos una carta es de corazones.
- B = al menos una carta es un rey.
En este caso, siempre que salga un rey de corazones estarán ocurriendo A y B al mismo tiempo. De hecho, éste no es el único resultado con el que sucede, ya que, si sale un rey de espadas y un as de corazones, también estarán ocurriendo A y B simultáneamente. Por lo tanto, A y B no son eventos mutuamente excluyentes.
Importancia y aplicación de los eventos mutuamente excluyentes
En matemáticas, el cálculo de la probabilidad de múltiples eventos depende en grado sumo de si son o no mutuamente excluyentes. Por ejemplo, uno de los axiomas de la probabilidad establece que la probabilidad de unión de varios eventos es igual a la suma de la probabilidad individual de cada evento si, y solo si, todos los eventos son mutuamente excluyentes. En otras palabras,
Solo si A y B son eventos disjuntos o mutuamente excluyentes.
Si no son mutuamente excluyentes, entonces la suma de las probabilidades cuenta dos veces la probabilidad de los resultados comunes a ambos eventos, i.e. la probabilidad de la intersección. Por esta razón, en estos casos, la probabilidad de unión se calcula de una manera distinta:
Para tres eventos, A, B y C que no sean mutuamente excluyentes y que además se intersecten entre si las cosas se complican todavía más:
En este caso, la probabilidad de intersección de los tres eventos, P(A ∩ B ∩ C), se debe sumar al final, ya que se restó tres veces al restar las intersecciones de los distintos pares de eventos.
