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El movimiento browniano es un movimiento aleatorio observable en partículas muy pequeñas que son suspendidas en un medio como un líquido o un gas. El descubrimiento de este fenómeno se atribuye al botanista Robert Brown (de allí su nombre) quien, en 1827, reportó el movimiento errático de los pequeños granos de polen de la planta Clarkia pulchella al ser suspendidos en agua.
El movimiento browniano es de gran importancia en la historia de la ciencia ya que proporcionó la primera evidencia experimental contundente de la existencia de los átomos y las moléculas. Además, sentó las bases para la determinación experimental de la constante de Avogadro, indispensable para establecer de forma definitiva la masa real de los átomos. Hasta ese momento, la masa de los átomos había sido una escala relativa.
A pesar de haberlo descubierto en las partículas de polen, el mismo Robert Brown confirmó que los movimientos no tenían que ver con el origen biológico de las partículas, ya que partículas de cualquier material inorgánico también describían el mismo movimiento. Brown concluyó, acertadamente, que debía tratarse de una propiedad intrínseca de la materia.
El modelo de Einstein
El primero en desarrollar un modelo matemático del movimiento browniano fue Albert Einstein. En un paper publicado en 1905, Einstein planteó que el causante del movimiento de las partículas de polen eran incesantes colisiones de las moléculas de agua en todas las direcciones. De acuerdo al modelo de Einstein, estas colisiones son completamente aleatorias, así que, en un momento determinado, puede haber más colisiones de un lado de la partícula de polen que del otro, lo que causa que la partícula se mueva.
Los resultados clave de la teoría de Einstein sobre el movimiento browniano fueron:
- La expresión para la distribución de partículas brownianas alrededor de un punto de origen como función del tiempo.
- La relación entre el desplazamiento cuadrático medio de una partícula browniana y su difusividad (D), la cual se puede relacionar directamente con la constante de Avogadro.
La distribución de partículas brownianas
Luego del análisis matemático y estadístico del movimiento browniano y de las partículas de agua en equilibrio termodinámico, Einstein logró demostrar que el desplazamiento medio de las partículas con respecto al origen sigue una distribución normal (una campana de Gauss) dada por la siguiente ecuación:
Donde ρ(x,t) es la densidad como función de la posición y el tiempo, N es el número de partículas brownianas presentes, x es el desplazamiento o distancia desde el punto de origen, D es la difusividad y t es el tiempo.
Esta ecuación predice que, si se parte de un conjunto N de partículas brownianas en un punto dado, estas comenzarán a difundir en todas direcciones y la densidad se distribuirá de forma normal alrededor del punto de partida. A medida que pasa el tiempo, la campana se irá achatando y ensanchando, haciendo que la densidad de partículas sea cada vez más uniforme.
En este sentido, el modelo del movimiento browniano de Einstein proporciona una explicación molecular de la difusión, explicando cómo y por qué las partículas tienden a difundir desde donde están más concentradas (donde su densidad es mayor) hacia donde están menos concentradas (donde su densidad es menor).
La expresión para el desplazamiento cuadrático medio
A partir de la ecuación de la distribución de la densidad, Einstein pudo obtener varios resultados importantes en relación al movimiento browniano. Sin embargo, ninguno es más importante que la expresión para el desplazamiento cuadrático medio de la partícula browniana, o sea, el promedio del cuadrado de los desplazamientos de la partícula en cada tiempo en relación a su punto de partida.
La distribución de Einstein implica que el desplazamiento cuadrático medio viene dado por:
Luego, combinando la función de distribución de la densidad de partículas y la ley de Fick de la difusión, obtuvo una segunda expresión para la difusividad (D), la cual, al sustituirse en la ecuación anterior, da como resultado:
La importancia de la ecuación anterior es que relaciona dos constantes universales, la constante universal de los gases ideales (R) y la constante de Avogadro (NA), con el desplazamiento cuadrático medio de una partícula browniana. De forma alternativa, relaciona este desplazamiento con la constante de Boltzmann, que no es mas que la relación entre las dos constantes antes mencionadas (k=R/NA). Esto abrió la posibilidad de determinar, por medio de un experimento ingenioso pero casi trivial, el valor de una de las constantes más importantes en la teoría atómica.
Jean Baptiste Perrin recibió el Premio Nobel de Física en 1926 por sus contribuciones a la teoría atómica de la materia, y uno de sus experimentos más importantes consistió en la verificación experimental de la teoría de Einstein del movimiento browniano. Su experimento consistió en registrar la posición de una partícula coloidal cada 30 segundos y medir la distancia entre cada posición. Estas distancias corresponden a los desplazamientos de la partícula tras 30 segundos, con lo cual pudo construir una distribución que se ajustó perfectamente a la predicción de Einstein. Además, tras determinar el desplazamiento cuadrático medio de las partículas, logró estimar el valor de la constante o número de Avogadro.
Aplicaciones del movimiento browniano
La teoría detrás del movimiento browniano encuentra múltiples aplicaciones en campos muy diversos y completamente desligados de la física pero que describen movimientos aleatorios. Algunas de las aplicaciones más importantes del movimiento browniano son:
- La descripción de la difusión de partículas a través de un líquido o un gas.
- Describir y analizar la trayectoria de partículas como iones u otros solutos a través de canales y materiales porosos.
- Describe y permite hacer predicciones acerca de las fluctuaciones de los precios en los mercados financieros.
- Se aplica en el modelado del ruido blanco y otros tipos de ruido.
- Se aplica en el campo de la hidrología sintética y en la ciencia de polímeros.
Ejemplos de movimiento browniano
Hay muchos fenómenos que podemos observar en nuestra vida diaria que son consecuencia del movimiento browniano. Algunos ejemplos son:
- El movimiento de pequeñas partículas de polvo suspendidas en la superficie de un líquido.
- El movimiento errático de las pequeñas burbujas de gas que se forman en la superficie de algunas bebidas gaseosas.
- Los movimientos aleatorios de las partículas de polvo suspendidas en el aire en ausencia de corrientes de aire.
Referencias
- Bodner, G. (2004). How Was Avogadro’s Number Determined? Recuperado de https://www.scientificamerican.com/article/how-was-avogadros-number/
- Chi, M. (1973). Practical application of fractional Brownian Motion and noise. Recuperado de https://agupubs.onlinelibrary.wiley.com/doi/pdfdirect/10.1029/WR009i006p01523
- Editores de la Enciclopedia Britannica (2017). Brownian motion. Recuperado de https://www.britannica.com/science/Brownian-motion
- Tongcang Li, Mark G. Raizen (2013). Brownian motion at short time scales. Recuperado de https://doi.org/10.1002/andp.201200232
